1、,第 三 十 講 . 周期性微擾下的躍遷率 設(shè)：微擾隨時(shí)間作周期性變化 與t無關(guān) 在一級(jí)近似下，躍遷率為,. 輻射場下原子的躍遷率 當(dāng)微擾影響較小時(shí)，一級(jí)近似很好 現(xiàn)考慮原子被置于一個(gè)純輻射場中,在原子區(qū)域中，無外電場 因 。于是有（電磁場弱，忽略 項(xiàng)） 由于滿足,令,在電磁波很弱的條件下，一級(jí)微擾很小，則 可以證明 即受激輻射和退激發(fā)躍遷幾率相等。,同樣可以證明在 弱輻射場 長波近似 輻射是非極化的（極化各向同性， 等幾率）條件下： 單位時(shí)間躍遷幾率，即躍遷率,其中 為能量密度分布，即光強(qiáng)度分布。 為單位時(shí)間通過垂直傳播方向上的單位面積的能量分布。,. 磁共振 均勻磁場 （在Z 方向 ），將

2、使電子 的簡并態(tài)（自旋 ）發(fā)生分裂，其能量差 其中 當(dāng)電子吸收一光子 ，則將電子激發(fā)到 較高能級(jí)，即自旋向上的態(tài)。,(1) 躍遷幾率和躍遷率 設(shè)：有一垂直于靜場 的磁場。于是，總 磁場為 若振蕩場比靜場小,電子的總哈密頓量在 表象，即在 表 象，中,設(shè) 時(shí)刻，電子自旋態(tài)的本征值為 。在一級(jí)近似下，從本征值為 的自 旋態(tài)躍遷到本征值為 的自旋態(tài)的幾率,若 為單位頻率中的態(tài)密度，則總的 躍遷幾 率為,( 若 t 足夠大或 在共振區(qū)變化很緩慢 ),所以，單位時(shí)間的躍遷幾率（ 躍遷率）為,(2) 兩能級(jí)間的震蕩 電子的總哈密頓量在 表象，即在 表 象中為 設(shè) 時(shí)刻，電子狀態(tài)或稱自旋態(tài)的表示為,若 ，電

3、子處于 本征值為 的本征態(tài)，其表示即為 則有解,時(shí)刻，處于 本征值為 的本征 態(tài)，其表示即為 的幾率為 仍處于 本征值為 的本征態(tài)，其表示 即為 的幾率為,我們直接看到，電子所處的態(tài)隨時(shí)間在這 兩個(gè)態(tài)之間以一定的幾率震蕩。,(3) 一級(jí)近似公式的精確性 我們能直接看到，在 時(shí)，精確解 和一級(jí)近似解才符合。,8.4 散射 （1） 一般描述： 在束縛態(tài)問題中，我們是解本征值問題，以 期與實(shí)驗(yàn)的能量測量值比較。而在散射問題中， 能量是連續(xù)的，初始能量是我們給定的（還有 極化）。這時(shí)有興趣的問題是粒子分布（即散 射到各個(gè)方向的強(qiáng)度）。所以散射問題（特別 是彈性散射），主要關(guān)心的是散射強(qiáng)度，即關(guān) 心遠(yuǎn)處

4、的波函數(shù)。,A散射截面定義： 用散射截面來描述粒子被一力場或靶散射 作用是很方便的。反之，知道散射截面的性質(zhì)， 可以推出力場的許多性質(zhì)。而我們對(duì)原子核和基 本粒子性質(zhì)，很多是這樣推出的。這也是量子力 學(xué)中的逆問題。 一束不寬的（與散射區(qū)域比），具有一定能 量的粒子，轟擊到一個(gè)靶上（當(dāng)然與散射中心尺 度比較起來，是寬的）。為簡單起見，達(dá)到散射 中心時(shí)，可用一平面波描述。,相對(duì)通量， ，定義為：單位時(shí)間通過與 靶相對(duì)靜止的垂直于傳播方向上的單位面積的入 射粒子數(shù)（對(duì)于單粒子，顯然即為幾率流密度）,這時(shí)，單位時(shí)間，經(jīng)散射而到達(dá) 方 向 中的粒子數(shù)為 即 比例常數(shù)一般是 的函數(shù)；如入射方向 為軸 （且

5、束和靶都不極化），僅為 的函數(shù)， 它的量綱為 ，即面積量綱,散射微分截面定義：在單位時(shí)間內(nèi)，單個(gè)散 射中心將入射粒子散射到 方向上的單位立 體角中的粒子數(shù)與入射粒子的相對(duì)通量 （幾 率流密度）之比。,而散射總截面 對(duì)于固定散射中心，實(shí)驗(yàn)室坐標(biāo)系和質(zhì)心坐 標(biāo)系是一樣的。但如果兩個(gè)粒子散射，則不一樣 理論上處理問題一般在質(zhì)心坐標(biāo)系（較簡單）， 而實(shí)驗(yàn)上常常靶是靜止的。所以在比較時(shí)，需要 將這兩個(gè)坐標(biāo)系進(jìn)行換算。,B散射振幅： 我們現(xiàn)在討論一種穩(wěn)定情況，即入射束的粒 子不斷入射，長時(shí)間后體系達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)的情況 考慮一個(gè)質(zhì)量為 的粒子被一位勢 散射（當(dāng) ， 趨向0比快）。感 興趣的是滿足這一條件的物理

6、問題。至于庫侖散 射這里不討論。 實(shí)驗(yàn)室系：,質(zhì)心系： 所以，如是兩粒子散射，則約化質(zhì)量為 ，而,薛定諤方程 其定態(tài)解為 當(dāng)粒子以一定動(dòng)量 入射，經(jīng)位勢散射后， 在 很大處，解的漸近形式（彈性散射）為,這時(shí)， 被稱為定態(tài)散射波函數(shù)。 事實(shí)上，將其代入 的本征方程，在 很大時(shí)，保留 次冪,保留到 所以，當(dāng) 很大時(shí),我們稱 為散射振幅, 為散射波. 當(dāng)入射粒子沿 方向入射，則散射與 無 關(guān)（束、靶都是非極化），即 下面我們給出 的物理意義：對(duì)于漸近 解的通量（對(duì)單粒子，即為幾率流密度）,應(yīng)注意，我們是在很遠(yuǎn)地方測量（ ）， 而且測量始終是在一個(gè)小的，但是有一定大小 的立體角中進(jìn)行。因此，上式的一些

7、項(xiàng)的貢獻(xiàn) 可表為,當(dāng) 很大時(shí)， 振蕩很快，而 是一光滑函數(shù)，這一積分 比 快。 所以包含這一因子的項(xiàng) 比 快。,例：,于是，在遠(yuǎn)處，對(duì)于漸近解的幾率流密度矢,而當(dāng)無位勢時(shí)， ，無散射僅有沿 方 向的平面波。 大處，在漸近區(qū)域 對(duì)徑向通 量無貢獻(xiàn)，所以， 對(duì)散射沒貢獻(xiàn)。 在遠(yuǎn)處，單位時(shí)間散射到 方向上立體 角 中的幾率為 （ 為所張立體角對(duì)應(yīng)的面積）,于是 所以，散射振幅的模的平方，即為散射微分截面。 而散射總截面為,現(xiàn)在問題是要從 出發(fā)，求 具有很遠(yuǎn)處的漸近形式為 的解，從而獲得,（2）玻恩近似；Rutherford散射 現(xiàn)在討論如何近似求 解，以至 . 假設(shè) 產(chǎn)生一個(gè)散射（對(duì)自由粒子）. 根

8、據(jù)Fermis Golden Rule，從開始為動(dòng)量本征態(tài) 躍遷到末態(tài)動(dòng)量本征態(tài) 躍遷率為 由于平面波是取為 （ ）,因此 , 即密度為 （ 在 空間） 于是,對(duì)于躍遷到 中的躍遷率為 而入射粒子通量為 （ 入射波函數(shù)為 ）,所以，散射微分截面 稱為散射振幅的一級(jí)玻恩近似。,當(dāng)位勢為有心勢 令 （轉(zhuǎn)移波矢） 則,（計(jì)算時(shí)，取 方向?yàn)?軸） 現(xiàn)為有心勢 于是有,或 這即為有心勢下的一級(jí)玻恩近似的散射振幅。 為 方向,由于一級(jí)玻恩近似是處理位勢作為自由粒子 哈密頓量的一個(gè)微擾，所以要求粒子動(dòng)能比位 能大，即要求高能。 例：注意到，不能利用上述 Born 近似公式 處理庫侖勢， 但能用于 Screened Coulomb potential,這近似描述電子入射到多電子的原子中，這 些電子的電荷分布屏蔽了原子核對(duì)入射電子的作 用。,所以，散射微分截面 高能時(shí)， 則,由 這時(shí)意味著 ，即 很大，也就 是相當(dāng)于大多數(shù)的散射是在原子核附近發(fā)生。 這時(shí)位勢最強(qiáng)，幾乎無屏蔽。,只要上述公式 z 中改成 ，就是 Rutherfor