1、2 對稱性在曲線積分計算中的應(yīng)用2.1 對稱性在第一類曲線積分計算中的應(yīng)用 結(jié)論1 若積分曲線L關(guān)于x軸（或y軸）對稱，記L1為曲線L被坐標(biāo)軸所分割的兩個對稱區(qū)域之一，則有： Lf(x,y)ds=0,f(x,y)為關(guān)于y（或x）的奇函數(shù)； Lf(x,y)ds=2L1f(x,y)ds,f(x,y)為關(guān)于y（或x）的偶函數(shù)。 結(jié)論2 若積分曲線L關(guān)于直線y=x對稱，則當(dāng)點(diǎn)(x,y)L時，有(y,x)L，即L關(guān)于x,y具有輪換對稱性，這時有： Lf(x,y)ds=Lf(y,x)ds=12Lf(x,y)+f(y,x)ds若f(x,y)=-f(y,x)，即f(x,y)關(guān)于直線y=x奇對稱，則Lf(x,y

2、)ds=0；若f(x,y)=(y,x)，即f(x,y)關(guān)于直線y=x偶對稱，則Lf(x,y)ds=2L1f(y,x)ds。其中L1為曲線L被直線y=x所分割的兩個對稱區(qū)域之一。2.2 對稱性在第二類曲線積分計算中的應(yīng)用 設(shè)有曲線積分I=L P(x,y)dx，其中L為光滑的有向曲線弧，如果L關(guān)于某條直線（包括坐標(biāo)軸）對稱，這時利用對稱性計算上述曲線積分時，不僅要考慮P(x,y)的大小和符號，還要考慮投影元素dx的符號。當(dāng)積分方向和坐標(biāo)軸正向之夾角小于2時，投影元素為正，否則為負(fù)。一般地，我們有： 結(jié)論 若積分曲線L關(guān)于某直線對稱，記L1為曲線L被這條直線所分割的兩個對稱區(qū)域之一，則有： Lf(x

3、,y)ds=0,P(x,y)dx在對稱點(diǎn)上取相反的符號； Lf(x,y)ds=2L1f(x,y)ds,P(x,y)dx 在對稱點(diǎn)上取相同的符號。 對于積分L Q(x,y)dy也有類似地結(jié)論。上述結(jié)論都可推廣到空間曲線的情形。3 對稱性在曲面積分計算中的應(yīng)用3.1 對稱性在第一類曲面積分計算中的應(yīng)用 結(jié)論1 若積分曲面關(guān)于某平面（或某點(diǎn)）對稱，記1為曲面被某平面（或某點(diǎn)）所分割的兩個對稱曲面之一，則有： f(x,y,z)dS=0,在對稱點(diǎn)上f(x,y,z)取相反的符號； f(x,y,z)dS=21f(x,y,z)dS,在對稱點(diǎn)上f(x,y,z)取相同的符號。 結(jié)論2 若積分曲面關(guān)于x,y,z具有

4、輪換對稱性，則有： f(x,y,z)dS=f(y,z,x)dS=f(z,x,y)dS =13f(x,y,z)+f(y,z,x)+f(z,x,y)dS3.2 對稱性在第二類曲面積分計算中的應(yīng)用 利用對稱性計算第二類曲面積分同樣需要注意投影元素的符號?，F(xiàn)以曲面積分f(x,y,z)dxdy為例來討論。當(dāng)曲面指定側(cè)上動點(diǎn)的法線方向與z軸正向成銳角時，面積元素dS在xoy面上的投影dxdy為正；成鈍角時為負(fù)。一般地，我們有： 結(jié)論 若積分曲面可分成對稱的兩部分1、2（=1+2），在對稱點(diǎn)上|f|的值相等，則有 f(x,y,z)dxdy=0,在對稱點(diǎn)上fdxdy取相反的符號； f(x,y,z)dxdy=2f(x,y,z)dxdy,在對稱點(diǎn)上fdxdy的符號相同。 對于積分f(x,y,z)dydz, f(x,y,z)dzdx也有類似的結(jié)論。 總之，應(yīng)用對稱性計算積分時應(yīng)注意以下幾點(diǎn)： 必須兼顧被積函數(shù)和積分區(qū)域兩個方面，只有當(dāng)兩個方面都具有某種對稱性時才能利用。如果只有積分區(qū)域具有某種對稱性，這時根據(jù)具體情況，我們可以把被積函數(shù)經(jīng)過恒等變形使之具有某種對稱性，再考慮利用上述結(jié)論。 對第二類曲線積分和第二類曲面積分，在利用對稱性時，尚需考慮積分路線的方向和曲面的側(cè)，確定投影元素的符號，需慎重。