1、1,內(nèi)容回顧,1、直角坐標(biāo)系下二重積分的計算轉(zhuǎn)化成二次積分,1,選擇積分次序的原則：,(1)積分容易；,(2)盡量少分塊或不分塊.,劃線定限,2,但若被積函數(shù)是不可求積函數(shù)，則需慎重選擇積分,內(nèi)容回顧,次序,否則將導(dǎo)致無法計算.若不小心選錯了積分次序，,則需交換積分次序.,交換積分次序的一般步驟：,3,第三節(jié) 極坐標(biāo)系下二重積分的計算法,回顧極坐標(biāo)的相關(guān)知識,1、直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的關(guān)系：,4,2、常見曲線的極坐標(biāo)方程：,1、圓,2、圓,3、圓,5,2、常見曲線的極坐標(biāo)方程：,5、阿基米德螺線,6、雙紐線,4、心形線,6,所以面積元素為,在極坐標(biāo)系下,可用同心圓r =常數(shù),及射線 =常數(shù)來劃分區(qū)

2、域D.,則小區(qū)域的面積為,一、極坐標(biāo)系下二重積分的表示,7,（極點在區(qū)域D的外部）,則,二、極坐標(biāo)系下二重積分的計算公式,（1）區(qū)域D特征如圖,8,（極點在區(qū)域D的邊界）,二、極坐標(biāo)系下二重積分的計算公式,（2）區(qū)域D特征如圖,則,9,（極點在區(qū)域D的內(nèi)部）,二、極坐標(biāo)系下二重積分的計算公式,（3）區(qū)域D特征如圖,則,10,在下述兩種情況下,往往利用極坐標(biāo)來計算二重積分：,1)當(dāng)積分區(qū)域D為圓域、環(huán)域或扇形域等時,D的邊界,2)被積函數(shù)具有 等形式時,用極坐標(biāo)積分,用極坐標(biāo)表示較為簡單；,較為容易.,11,解,例1,用極坐標(biāo)計算,12,利用本題結(jié)論還可以來推導(dǎo)一個在概率統(tǒng)計中十分有,用的廣義積

3、分Possion積分.,本題若選用直角坐標(biāo)系,則,（無法計算）,13,解,14,作如下三個平面區(qū)域,顯然有,從而,由例1結(jié)果,得,15,又,由夾逼準(zhǔn)則,即,從而,16,解,計算二重積分,例2,區(qū)域D為環(huán)域, 用極坐標(biāo)計算,17,解,R,用極坐標(biāo)計算,例3,18,解,R,用極坐標(biāo)計算,例3,常見錯誤：,19,例4,解,直接做麻煩, 化為極坐標(biāo),20,作業(yè)：,21,內(nèi)容回顧,極坐標(biāo)系下二重積分的計算,21,選用極坐標(biāo)計算的二重積分的特點：,(1) 積分區(qū)域D是圓域或環(huán)域等；,(2)被積函數(shù)具有 形式,22,例5,解,第四節(jié) 二重積分的幾何應(yīng)用,一、求平面圖形的面積,例1,求由曲線 和直線 及x 軸

4、所,圍成的平面圖形的面積.,解,(用直角坐標(biāo)),24,二、求曲頂柱體的體積,例2,解,(用極坐標(biāo)),25,例2,解,平面投影區(qū)域為,所求立體體積為,26,26,利用對稱性簡化二重積分的計算,設(shè)積分區(qū)域D關(guān)于y 軸對稱，,(1) 若f(x,y)關(guān)于 x 是奇函數(shù)，則有,(2) 若f(x,y)關(guān)于 x 是偶函數(shù)，,則有,其中 是D的右半?yún)^(qū)域.,27,27,設(shè)積分區(qū)域D關(guān)于x 軸對稱，,(1) 若f(x,y)關(guān)于 y 是奇函數(shù)，則有,(2) 若f(x,y)關(guān)于 y 是偶函數(shù)，,則有,其中 是D的上半?yún)^(qū)域.,注意：,利用對稱性簡化二重積分的計算,不僅要考慮區(qū)域的對稱性,還要考慮函數(shù)的奇偶性.,28,28,例3 設(shè)有平面區(qū)域,解,29,29,解,選(A).,