1、11.1正交試驗(yàn)方差分析的數(shù)學(xué)模型 (一)數(shù)學(xué)模型 根據(jù)一般線性模型的假定,若9次試驗(yàn)結(jié)果(如例10.2中的轉(zhuǎn)化率)以x1、x2,x表示,我們首先假定: (1)三個(gè)因素間沒有交互作用。 (2)為9個(gè)數(shù)據(jù)可分解為: x1=+a1+b1+c1+1 x2=+a1+b2+c2+2 x3=+a1+b3+c3+3 x4=+a2+b1+c2+4 x5=+a2+b+c3+5,x6=+a2+b3+c1+6 x7=+a3+b1+c3+7 x8=+a3+b2+c1+8 x9=+a+b+c+9 其中:一般平均;估計(jì)=xi=x1+x2+x9叫全部數(shù)據(jù)的總體平均值。 a1、a2、a3表示A在不同水平時(shí)的效應(yīng)。 b1、b2

2、、b3表示B在不同水平時(shí)的效應(yīng)。 c1、c2、c3表示C在不同水平時(shí)的效應(yīng)。 (3)各因素的效應(yīng)為零,或者,各因素的效應(yīng)的加和為零 ai=0 bi=0 ci=0,(4) i是試驗(yàn)誤差,它們相互獨(dú)立,且遵從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0,1),所以多個(gè)試驗(yàn)誤差的平均值近似等于零。 (二)參數(shù)估計(jì) 有了數(shù)學(xué)模型,還應(yīng)通過(guò)子樣的實(shí)測(cè)值,對(duì)以上的各個(gè)參數(shù)作出估計(jì)。 由數(shù)理統(tǒng)計(jì)知識(shí) E（ ） E（ ）表示 的數(shù)學(xué)期望。即，是的一個(gè)無(wú)偏估計(jì)量?？杀硎緸椋?11.2 正交試驗(yàn)的方差分析法,一、方差分析的必要性 極差分析不能估計(jì)試驗(yàn)中以及試驗(yàn)結(jié)果測(cè)定中必然存在的誤差大小。為了彌補(bǔ)這個(gè)缺點(diǎn)，可采用方差分析的方法。 方差分析

3、法是將因素水平（或交互作用）的變化所引起的試驗(yàn)結(jié)果間的差異與誤差波動(dòng)所引起的試驗(yàn)結(jié)果間的差異區(qū)分開來(lái)的一種數(shù)學(xué)方法 所謂方差分析，就是給出離散度的各種因素將總變差平方和進(jìn)行分解，而你還進(jìn)行統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)的一直數(shù)學(xué)方法。,二、單因素方差分析法 方差分析法的基本思路： （1）由數(shù)據(jù)中的總變差平方和中分出組內(nèi)變差平方和、組間變差平方和，并賦予它們的數(shù)量表示； （2）用組間變差平方和與組內(nèi)變差平方和在一定意義下進(jìn)行比較，如兩者相差不大，說(shuō)明因素水平的變化對(duì)指標(biāo)影響不大；如兩者相差較大，組間變差平方和比組內(nèi)變差平方和大得多，說(shuō)明因素水平的變化影響很大，不可忽視； （3）選擇較好的工藝條件或進(jìn)一步的試驗(yàn)方向。,

4、例11.1 考察溫度對(duì)一化工產(chǎn)品的得率的影響，選了五種不同的溫度，同一溫度做了三次試驗(yàn)，結(jié)果如下：,11.3.1：正交設(shè)計(jì)方差分析的步驟 11.3.2：3水平正交設(shè)計(jì)的方差分析 11.3.3：混合型正交設(shè)計(jì)的方差分析 11.3.4：擬水平法的方差分析 11.3.5：重復(fù)試驗(yàn)的方差分析,11.3：正交試驗(yàn)方差分析,計(jì)算離差的平方和: 設(shè)用正交表安排m個(gè)因素的試驗(yàn)，試驗(yàn)總次數(shù)為n, 試驗(yàn)的結(jié)果分別為x1, x2, , xn. 假定每個(gè)因素有na個(gè)水平，每個(gè)水平做a次試驗(yàn)，則n = ana. 1) 總離差的平方和ST記: 記為 其中 ST反映了試驗(yàn)結(jié)果的總差異，它越大，說(shuō)明各次試驗(yàn)的結(jié)果之間的差異越

5、大。試驗(yàn)結(jié)果之所以有差異，一是由因素水平的變化所引起的，二是因?yàn)橛性囼?yàn)誤差。,11.3.1 正交設(shè)計(jì)方差分析的步驟,2) 各因素離差的平方和 由單因素的方差分析 記為 其中 Ki 表示因素的第i 個(gè)水平a次試驗(yàn)結(jié)果的和。 SA反映了因素A的水平變化時(shí)所引起的試驗(yàn)結(jié)果的差異，即因素A對(duì)試驗(yàn)結(jié)果的影響。對(duì)于兩因素的交互作用，我們把它當(dāng)作一個(gè)新的因素。如果交互作用占兩列，則交互作用的離差的平方和等于這兩列的離差的平方和之和。比如 SAxB = S(AxB)1 + S(AxB)2,3) 試驗(yàn)誤差的離差的平方和SE 設(shè)S因+交為所有因素以及要考慮的交互作用的離差的平方和， 因?yàn)?ST = S因+交 +

6、SE, 所以 SE = ST - S因+交 計(jì)算自由度: 試驗(yàn)的總自由度 f總 = 試驗(yàn)總次數(shù) - 1 = n - 1 各因素的自由度 f因 = 因素的水平數(shù) - 1 = na - 1 兩因素交互作用的自由度等于兩因素的自由度之積fAxB = fA X fB 試驗(yàn)誤差的自由度f(wàn)E = f總 - f因+交,計(jì)算平均離差平方和(均方): 在計(jì)算各因素離差平方和時(shí)，我們知道，它們都是若干項(xiàng)平方的和, 它們的大小與項(xiàng)數(shù)有關(guān)，因此不能確切反映各因素的情況。為了消除項(xiàng)數(shù)的影響，我們計(jì)算它們的平均離差的平方和。 因素的平均離差平方和 = (因素離差的平方和)/因素的自由度 = S因/f因 試驗(yàn)誤差的平均離差

7、平方和 = (試驗(yàn)誤差的離差的平方和)/試驗(yàn)誤差的自由度 = SE / fE 求F比:將各因素的平均離差的平方和與誤差的平均離差平方和相比，得出F值。這個(gè)比值的大小反映了各因素對(duì)試驗(yàn)結(jié)果影響程度的大小。,對(duì)因素進(jìn)行顯著性檢驗(yàn): 給出檢驗(yàn)水平，從F分布表中查出臨界值F(f因，fE)。將在“求 F比”中算出的F值與該臨界值比較，若F F(f因，fE)，說(shuō)明該因素對(duì)試驗(yàn)結(jié)果的影響顯著，兩數(shù)差別越大，說(shuō)明該因素的顯著性越大。,11.3.2： 3水平正交設(shè)計(jì)的方差分析,例1 (無(wú)交互作用): 磁鼓電機(jī)是彩色錄像機(jī)磁鼓組件的關(guān)鍵部件之一，按質(zhì)量要求其輸出力矩應(yīng)大于210g.cm。某生產(chǎn)廠過(guò)去這項(xiàng)指標(biāo)的合格

8、率較低，從而希望通過(guò)試驗(yàn)找出好的條件，以提高磁鼓電機(jī)的輸出力矩。根據(jù)工程技術(shù)人員的經(jīng)驗(yàn)，取試驗(yàn)因素和相應(yīng)水平如下表：,解：(選用正交表L9(34) 表頭設(shè)計(jì)： 試驗(yàn)計(jì)劃與試驗(yàn)結(jié)果：,詳細(xì)計(jì)算如下：,列方差分析表如下： 最佳條件的選擇： 對(duì)顯著因子應(yīng)取最好的水平，對(duì)不顯著因子的水平可以任意選取；在實(shí)際中通常從降低成本操作方便等角度加以選擇，上面的例子中對(duì)因子A與B應(yīng)選擇A2B2，因子C可以任選，譬如為節(jié)約材料可選擇C1,驗(yàn)證試驗(yàn)： 對(duì)A2B2C1進(jìn)行三次試驗(yàn)，結(jié)果為：234，240，220，平均值 為231.3. 此結(jié)果是滿意的,（二）有交互作用的正交試驗(yàn)的方差分析 當(dāng)任意兩因素之間(如A與B）

9、存在交互作用而且顯著時(shí)，則不論因素A、B本身的影響是否顯著，A和B的最佳因素都應(yīng)從A與B的搭配中去選擇 例2 某分析試驗(yàn)，起測(cè)定值受A、B、C三種因素的影響，每因素去兩個(gè)水平，由于因素間存在交互作用，在設(shè)計(jì)試驗(yàn)方案時(shí)，可選用L8(27)表，試驗(yàn)安排結(jié)果如表（試驗(yàn)指標(biāo)要求越小越好）,因素,試驗(yàn)號(hào),1 2 3 4 5 6 7 8 K1 K2 Qi Si,A 1,B 1,AB 3,C 4,BC 6,誤差 7,試驗(yàn)指標(biāo) （經(jīng)簡(jiǎn)化后）,AC 5,1 1 1 1 2 2 2 2 -5 0 6.25 3.125,1 1 2 2 1 1 2 2 +10 -15 81.25 78.125,1 1 2 2 2 2

10、 1 1 0 -5 6.25 3.125,1 2 1 2 1 2 1 2 -30 25 706.25 703.125,2 1 2 1 2 1 2 1 25 -30 256.25 253.15,1 2 2 1 1 2 2 1 -5 0 6.25 3.125,1 2 2 1 2 1 1 2 5 -10 31.25 28.125,0 5 -10 0 -5 10 -15 10,正交試驗(yàn)結(jié)果計(jì)算表,結(jié)果表明B、C、AC對(duì)試驗(yàn)結(jié)果影響最大，B可取B2，而A和C見存在顯著的交互作用，可通過(guò)二元表和二元圖來(lái)確定其最優(yōu)水平,由圖可知，A2C1最好,故最佳試驗(yàn)條件為A2B2C1，這正好是第7號(hào)試驗(yàn)。事實(shí)上，從試驗(yàn)

11、結(jié)果看，它的效果也最好。,說(shuō)明：對(duì)二水平因素，平方和的計(jì)算有一個(gè)簡(jiǎn)單的公式 設(shè)計(jì)算方法對(duì)任何二水平的因素都是適用的，設(shè)共做了n次試驗(yàn)，某一列是二水平，相應(yīng)的K值是K1和K2 則該列的平方和S為:,例4（無(wú)交互作用） 某鋼廠生產(chǎn)一種合金，為便于校直冷拉，需要進(jìn)行一次退火熱處理,以降低合金的硬度。根據(jù)冷加工變形量，在該合金技術(shù)要求范圍內(nèi),硬度越低越好。試驗(yàn)的目的是尋求降低硬度的退火工藝參數(shù)。考察的指標(biāo)是洛氏硬度(HR)，經(jīng)分析研究，要考慮的因素有3個(gè)： 退火溫度A，保溫時(shí)間B，冷卻介質(zhì)C。,11.3.3：混合型正交設(shè)計(jì)的方差分析,解：,方差分析表： 從F值和臨界值的比較看出，各因素均無(wú)顯著影響，相

12、對(duì)來(lái)說(shuō)，B的影響大些。為提高分析精度，我們只考慮因素B，把因素A，C都并入誤差。這樣一來(lái)，SE就變成SA + SC + S4 + S5 = 0.445 + 0.18 + 1.125 + 0.500 = 2.250，再列方差分析表。,方差分析表(2)： 臨界值 F0.05(1，6) = 5.99, F0.01(1, 6) = 13.75 從F值和臨界值的比較來(lái)看，因素B就是顯著性因素了。 因素影響從大到小的順序?yàn)锽CA，選定的最優(yōu)方案應(yīng)為A2B2C1,例6: 鋼片在鍍鋅前要用酸洗的方法除銹。為了提高除銹效率，縮短酸洗時(shí)間，先安排酸洗試驗(yàn)?？疾熘笜?biāo)是酸洗時(shí)間。在除銹效果達(dá)到要求的情況下，酸洗時(shí)間越短越好。要考慮的因素及其水平如表： 選取正交表L9(34)，將因素C虛擬1個(gè)水平。據(jù)經(jīng)驗(yàn)知，海鷗牌比OP牌的效果好，故虛擬第2水平并安排在第1列。,11.3.4 擬水平法的方差分析,解：虛擬水平的因素C的第1水平重復(fù)3次，第二水平重復(fù)6次。因此，離差平方和為： 其余因素的離差平方和為 誤差的離差平方和為：,方差分析表： 從F值和臨界值比較看出，各因素均無(wú)顯著影響