1、第十八屆平面向量與解析幾何在高中數(shù)學(xué)新課標(biāo)中，學(xué)生在學(xué)習(xí)平面向量之前，在學(xué)習(xí)解析幾何學(xué)之后，在教材中知識并不統(tǒng)一，很多學(xué)生在學(xué)習(xí)中對“平面向量”解答平面向量問題，而應(yīng)用平面向量不解決解析幾何學(xué)問題。 用向量法對解析幾何問題思維方法清晰，過程簡潔，有意想不到的效果。 著名的教育家布魯納說，學(xué)習(xí)的最高刺激是對學(xué)習(xí)材料的興趣，簡單的重復(fù)會引起學(xué)生的腦疲勞，使學(xué)習(xí)興趣衰退。 這向一盞茶表明了尋求方法變化的重要性，如果我們能夠重視矢量的教育，必然會給學(xué)生擴(kuò)大思路，減輕負(fù)擔(dān)。一、知識整合平面向量是高中數(shù)學(xué)的新內(nèi)容，也是新的高等院校入學(xué)考試的哈伊利石。 矢量知識、矢量觀點(diǎn)廣泛應(yīng)用于數(shù)學(xué)、物理等學(xué)科的多個分支

2、，具有代數(shù)形式和幾何形式的“雙重身份識別”，可以與數(shù)學(xué)融合為一體，與中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的許多主干知識相結(jié)合，形成知識交流點(diǎn)。 在高中數(shù)學(xué)體系中，解析幾何學(xué)占有重要地位，用通常的方法解決一些問題是計算復(fù)雜，即使使用向量進(jìn)行形式和數(shù)量的變換，過程也大大簡化。二、例題分析例1、(2000年全國高等院?？荚噯栴})橢圓的焦點(diǎn)為FF，點(diǎn)p為其上的動點(diǎn)，F(xiàn)P為鈍角時，點(diǎn)p的橫軸的取法為解：設(shè)為F1(-，0)F2(，0 )、P(3cos，2sin )鈍角2220=9cos2-54合并2=5cos2- 10解：點(diǎn)p的橫軸值的范圍為()評價：解決有關(guān)角的問題，必須從數(shù)量積開始。 在本問題中，將條件中的角變換為鈍角后

3、的向量的數(shù)積設(shè)為負(fù)值，用坐標(biāo)運(yùn)算表示不等式，簡潔明了。例2，已知的定點(diǎn)a (-1，0 )和b (1，0 )，p是圓(x-3)2 (y-4)2=4以上的點(diǎn)，求出的最大值和最小值。分析：因為o是AB的中點(diǎn)，所以可以利用向量將問題轉(zhuǎn)換為求向量的最大值。解：設(shè)已知圓的中心為c，則可以從已知得到另外從中點(diǎn)式得到pc.cyx甲組聯(lián)賽o.o乙級聯(lián)賽所以=由于點(diǎn)p在圓(x-3)2 (y-4)2=4以上所以所以即故最大值為100，最小值為20。有些解的問題沒有直接將向量作為已知條件表現(xiàn)出來，但是用向量知識解決的話，自然簡便易于得到。例3、(2020年天津高等院?？荚噯栴}) o是平面上的定點(diǎn)，a、b、c是平面上的

4、不共通線的三個點(diǎn)，如果動點(diǎn)p滿腳丫子，則p的軌跡一定通過ABC ()(a )外心(b )心(c )重心(d )下垂分析：因為是同方向的單位矢量，所以向量相加的平行四邊形是和ABC的平分線(放射性射線)同方向的向量，并因為知道p點(diǎn)的軌跡是ABC的平分線，所以點(diǎn)p的軌跡必定通過ABC的中心。反?。焊鶕?jù)本題的結(jié)論，我們可以很容易地得到有一個角的平分線的直線方程式的求解步驟(1)根據(jù)頂點(diǎn)坐標(biāo)(包含線段的端點(diǎn))或直線方程式求出角兩邊的方向矢量(2)求出平分線的方向矢量(3)由點(diǎn)斜式或點(diǎn)向式得到平分線方程式。 直線的點(diǎn)方向方程式：超過p ()的方向向量，其方程式為例4、(2020年天津)已知常數(shù)、矢量、從

5、原點(diǎn)通過方向矢量的直線與從定點(diǎn)通過方向矢量的直線在點(diǎn)相交。 其中，為了成為是否存在兩個定點(diǎn)的值而存在的情況下，如果求出的坐標(biāo)不存在，則說明理由本課題主要考察平面向量的概念和計算，分析求軌跡的方法，橢圓的方程式和性質(zhì)，利用方程式判定曲線的性質(zhì)，曲線和方程式的關(guān)系等的幾何學(xué)的基本思想和綜合解題能力解：根據(jù)問題設(shè)定條件，首先求出滿足點(diǎn)p的坐標(biāo)的方程式，并根據(jù)該方程式判斷是否存在兩個定點(diǎn)，以使從點(diǎn)p到兩個定點(diǎn)的距離之和恒定87222222222222222222222222222因此，直線OP和AP的方程式分別是和消去殘奧儀，得到的點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程整理了所以(I )當(dāng)時，方程式是圓方程式，所以不存在符

6、合問題意思的定點(diǎn)e和f(ii )當(dāng)時，方程式表示橢圓，表示焦點(diǎn)和符合問題的兩個定點(diǎn)(iii )當(dāng)時，方程式也表示橢圓、焦點(diǎn)和符合問題的兩個定點(diǎn)點(diǎn)評：本問題以平面向量為載體，考察求軌跡的方法、利用方程解析曲線性質(zhì)、曲線與方程關(guān)系等的幾何基本思想和綜合解題能力。 去掉平面向量的背景，就知道這個問題是下一個問題在OAP中，o (0，0 )、A(0，a )是兩個定點(diǎn)，另一個OP和AP的傾斜度分別是求p的軌跡。教科書有練習(xí)題(數(shù)學(xué)第二卷(上)第96頁練習(xí)題4 )三角形ABC的兩個頂點(diǎn)a、b的坐標(biāo)分別為(-6，0 )、(6，0 )，邊AC、BC所在的直線的斜率之積相等，求出頂點(diǎn)c的軌跡方程式。 在這個例子

7、中，可以看到高等院校入學(xué)考試的主題和教科書的密切關(guān)系。例5.(2020年天津卷理22 )橢圓的中心為原點(diǎn)o，其短軸長度為與焦點(diǎn)F(c，0 ) ()對應(yīng)的基準(zhǔn)線和x軸在點(diǎn)a相交，|OF|=2|FA|、通過點(diǎn)a的直線和橢圓在p、q這兩點(diǎn)相交。(1)求出橢圓的方程式和離心率(2)如果求出直線PQ的方程式(3)證明超過點(diǎn)p，平行于準(zhǔn)線的直線和橢圓與其他點(diǎn)m相交。分析：本主題主要考察橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)、直線方程、平面向量計算、曲線和方程關(guān)系等幾何解析的基本思想方法和綜合解題能力。(1)解：從問題的意義來看，橢圓的方程式可以作為從所知而知橢圓方程是離心率(2)解：從(1)中可以得到a (3，0 )。把直線PQ的方程式作為自由方程式得到根據(jù)問題，由直線PQ的方程式得出.卡卡卡卡卡卡卡653得到直線PQ的方程式是(2)證明：從已知的方程式小心點(diǎn)所以.然后，所以三、集中精制由于矢量具有幾何形式和代數(shù)形式的“雙身份識別”，矢量與解析幾何之間關(guān)系密切，新課標(biāo)強(qiáng)調(diào)矢量與解析幾何結(jié)合考察，我們在平時的解析幾何教學(xué)和復(fù)習(xí)中，把握時間