1、2.6.3 透鏡的一般變換特性,2.6 透鏡的ft變換性質(zhì),2.6-1透鏡的相位變換作用,2.6.2 透鏡的ft特性,透鏡：光密介質(zhì)（玻璃、塑料等），v c 。,薄透鏡：忽略光線在透鏡內(nèi)由于折射而產(chǎn)生的平移， 0,薄透鏡的作用:若忽略吸收，僅使入射波前產(chǎn)生相位延遲，其大小正比于透鏡各點(diǎn)的厚度。（把透鏡看成是一個(gè)相位型的衍射屏）,2.6-1透鏡的相位變換作用,光波通過透鏡時(shí)產(chǎn)生的總相位延遲：,其中：n是透鏡材料的折射率； kn(x,y) 是由透鏡引起的相位延遲， (x,y) 是透鏡的厚度函數(shù)， k0-(x,y)是由兩個(gè)平面之間剩下的自由空間區(qū)域引 起的相位延遲。,透鏡的相位變換函數(shù)（復(fù)振幅透過率

2、函數(shù)）：,設(shè)： 為緊貼透鏡前面的光場分布， 為緊貼透鏡后面的平面上的光場復(fù)振幅分布， 二者之間有關(guān)系如下：,該式表示了透鏡的作用,只要知道了厚度函數(shù)(x,y) 的表示式，則tl(x,y)就知道了下面分別用兩種方法求(x,y)的表示式,推導(dǎo)方法：,研究無像差、孔徑無限大的正薄透鏡對(duì)點(diǎn)光源的成像過程。如圖所示：,幾何光學(xué)觀點(diǎn)：點(diǎn)物成點(diǎn)像； 波動(dòng)光學(xué)觀點(diǎn)：透鏡將一個(gè)發(fā)散球面波變換成一個(gè)會(huì)聚球面波。,在傍軸近似下,忽略常數(shù)和常相位因子,f 為透鏡焦距,考慮到實(shí)際透鏡的有限孔徑大小, 引入光瞳函數(shù)p(x,y), 透鏡的相位變換函數(shù)(復(fù)振幅透過率函數(shù)）可寫成:,理解透鏡相位變換的物理意義,可通過考察透鏡對(duì)

3、垂直入射的單位振幅平面波的效應(yīng)，來理解透鏡相位變換的物理意義,第一項(xiàng)是常數(shù)相位延遲，第二項(xiàng)可理解球面波的二次曲面近似。,球面透鏡將平面波變換成球面波的結(jié)論, 在很大程度上依賴于傍軸近似。在非傍軸條件下, 即使透鏡表面是理想球面，出射波前（波面）也將顯示出對(duì)理想球面的偏離（像差）。事實(shí)上，常常把透鏡表面磨成非球面形式，以減少出射波前對(duì)球面的偏離，從而“校正”透鏡的像差。,2.6.2 透鏡的ft特性,會(huì)聚透鏡除具有成像性質(zhì)外，另一個(gè)最突出和最有用的性質(zhì)就是它能夠進(jìn)行二維ft。 正因如此，傅立葉分析方法才得以用于光學(xué)。,下面以三種常用的光路結(jié)構(gòu)形式，說明透鏡的ft性質(zhì),設(shè)物體的復(fù)振幅透過率函數(shù)為to

4、(x,y), 其頻譜為to(u,v). 即: to(u,v)=ftto(x,y),（1）物體緊靠透鏡前,略去exp(jkf),由上式可見，后焦面的光場分布與透鏡孔徑所包圍的那一部分入射光場的ft成正比,若物體尺度小于透鏡孔徑,p(x,y)可以略去;同時(shí),令a=1,可得到：,后焦面上坐標(biāo) (xf,yf)處的光場的振幅和相位，由物體中頻率為(u,v)的傅立葉分量的振幅和相位決定。,可見：后焦面上空間坐標(biāo)與空間頻率坐標(biāo)的關(guān)系為:,注意：此時(shí), 積分號(hào)前有一個(gè)二次相位因子，焦平面和物面的光場分布之間的ft不是準(zhǔn)確的，但對(duì)強(qiáng)度分布不影響。,強(qiáng)度分布為:,(2) 物體位于透鏡之前,暫時(shí)不考慮透鏡孔徑的有限

5、大小，即令,則后焦面上的光場分布為：,一般情況下，ft前面仍有二次相位因子 ，不是準(zhǔn)確的ft，但不影響強(qiáng)度分布。,當(dāng) do=f 時(shí)，二次相位因子消失，為零。得到準(zhǔn)確的ft關(guān)系：,考慮透鏡孔徑的有限大小,物體的漸暈,方向余弦,空間頻率成分,由于透鏡孔徑有限所引起的對(duì)物體大小的有效限制, 稱為漸暈（vignetting）效應(yīng)。（透鏡有限孔徑對(duì)物面空間頻率成份傳播的限制成為漸暈）。,當(dāng)物體越靠近透鏡，透鏡孔徑比物體大越多時(shí)，物平面上的漸暈效應(yīng)越小。實(shí)際上，往往喜歡把物體放在緊貼著透鏡的地方以盡量減小漸暈，但在理論分析時(shí)，一般把物體放在前焦面上要方便些，因?yàn)檫@時(shí)ft關(guān)系準(zhǔn)確成立。,3物體在透鏡之后,在

6、傍軸近似下，投射到物體上的是一個(gè)向透鏡后焦點(diǎn)會(huì)聚的球面波,入射到物體上的球面波的振幅，近似為,照明物體光波是會(huì)聚球面波,在傍軸近似下，表示為：,因?yàn)橥哥R孔徑有限大小，物體受到照明的特定區(qū)域由光束的會(huì)聚圓錐與物平面的交線確定。 如果透鏡是一個(gè)直徑為d的圓透鏡，那么物平面上有一個(gè)直徑 dd/f 為的圓形區(qū)域被照明。 照明光斑的有限大小在數(shù)學(xué)上可以把透鏡的光瞳函數(shù)沿著光束圓錐投影到物面上來表示，結(jié)果給出一個(gè)物平面上的一個(gè)有效光瞳函數(shù):,物體所透射的光場分布為：,焦面上的光場分布為：,將o(xo,yo) 代入，并略去常相位因子exp(-jkd) , 得:,此式表明: 焦平面上的振幅分布是由投影后的透鏡

7、孔徑所覆蓋的那一部分物體的ft. 只差一個(gè)二次相位因子。,上式, 實(shí)質(zhì)上與當(dāng)物體緊靠著透鏡放置時(shí)相同，只不過孔徑函數(shù)的取值范圍產(chǎn)生了變化；當(dāng)df時(shí)，則與之完全相同。,當(dāng)物體孔徑完全被照明，其中透鏡有效孔徑函數(shù)可以略去，可得到物體ft,這種放置的好處是：ft的大小尺寸可以受實(shí)驗(yàn)者控制。通過改變d，頻譜區(qū)的尺寸可以改變。d ，變換的空間尺寸也變大，直到df ；d ，變換的空間尺寸也變小。增加了靈活性，在空間濾波中應(yīng)用。,上面考慮透鏡的ft性質(zhì)時(shí)，均假設(shè)用平面光波照射；這相當(dāng)于光源位于無窮遠(yuǎn)；ft面（頻譜面）均在透鏡的后焦面上（光源的共軛面上）。 若用發(fā)散球面波照明，即光源在有限遠(yuǎn)處，則在光源的共軛

8、面（像面）上得到物體的ft（頻譜），一般會(huì)相差一個(gè)常相位因子。,透鏡的ft特性(教材上得方法)：,(1) 物在透鏡前：,先寫出單色點(diǎn)源在物平面前的光場分布， 再寫出透過物面后的光場分布， 用菲涅爾衍射寫出透鏡前表面的光場， 再乘上透鏡的相位變換函數(shù)和孔徑函數(shù)，寫出透鏡后的光場分布， 再由菲涅爾衍射得到像平面上的光場分布。,步驟:,(c),(d),(e),(f),將c和e兩式代入d式, 再代入f式, 再整理得到,當(dāng)不考慮孔徑大小的影響時(shí)：,由此式可以看出：點(diǎn)光源共軛面上的光場分布，除二次相位因子外，就是物函數(shù)的ft.,其中:,(2.4.9),當(dāng) p , q = f , 即光源在無窮遠(yuǎn), 平行光入

9、射時(shí), 上式變成:,頻譜面在后焦面, 其中,當(dāng)p , q = f , 即光源在無窮遠(yuǎn), 平行光入射時(shí); 且 d0 = f , 即物在前焦面時(shí), 上式變成:,物體位于前焦面，在后焦面上得到準(zhǔn)確的ft。,(2.4.10),當(dāng)p , q = f ,即光源在無窮遠(yuǎn), 平行光入射時(shí); 且 d0 = 0 時(shí), 即緊貼透鏡時(shí), 上式變成:,(2.4.11),(2) 物在透鏡后：,寫出單色點(diǎn)源在透鏡前表面的光場分布， 寫出透鏡后表面的光場分布， 由菲涅爾衍射寫出物面前的光場分布， 物面后的光場分布， 再由菲涅爾衍射得到光源在共軛面上的光場分布。,(2.4.12),(a),(b),(2.4.13),(c),(d),將 b式和 d式代入 c式, 再代入2.4.13式, 經(jīng)整理得:,(