1、第十模塊 概率與統(tǒng)計 第四十八講 隨機抽樣用樣本估計 總體變量間的相互關(guān)系統(tǒng)計案例,回歸課本,1.樣本及抽樣的定義 (1)在數(shù)理統(tǒng)計中稱研究對象的全體為總體,組成總體的每一個基本單元為個體,從總體中抽取若干個個體x1,x2,xn,這樣的n個個體x1,x2,xn稱為大小為n(容量為n)的一個樣本. (2)抽樣:抽樣是為了獲取總體的信息,特別在客觀實際中對總體的全部個體逐一進行研究,有的是不適宜不可能或不必要的.因此,抽樣調(diào)查是獲取總體信息的重要方法.,2.隨機抽樣 (1)簡單隨機抽樣:從一個總體中通過逐個抽取的方法從中抽取一個樣本,且每次抽取時各個個體被抽到的概率相等,這樣的抽樣稱為簡單隨機抽樣

2、.這樣抽出的樣本稱為簡單隨機樣本.簡單隨機抽樣的基本方法有抽簽法和隨機數(shù)表法.,(2)系統(tǒng)抽樣:系統(tǒng)抽樣被稱為等距抽樣或機械抽樣.它按照時間或空間的等距間隔抽取樣本,即將總體分成幾個部分,然后按照預(yù)先定出的規(guī)則,從每一部分抽取一個個體,得到所需要的樣本,這種抽樣稱為系統(tǒng)抽樣.系統(tǒng)抽樣與簡單隨機抽樣的聯(lián)系在于:將總體均分后的每一部分進行抽樣時,采用的是簡單隨機抽樣.,(3)分層抽樣:當(dāng)總體中一部分個體與另一部分個體有明顯的差異且易于區(qū)別時,常將相近的個體歸成一組,然后按照各部分所占的比例進行抽樣,這種抽樣稱為分層抽樣.其中所分成的各部分稱為層.分層抽樣時,每一個個體被抽到的概率都是相等的.,3.

3、頻率分布表頻率分布直方圖與莖葉圖 (1)頻率分布 樣本中所有數(shù)據(jù)(或者數(shù)據(jù)組)的頻數(shù)和樣本容量的比,就是該數(shù)據(jù)的頻率.所有數(shù)據(jù)(或者數(shù)據(jù)組)的頻率的分布變化規(guī)律叫做頻率分布,可以用頻率分布表頻率分布直方圖頻率分布折線圖莖葉圖等來表示. (2)頻率分布折線圖:連接頻率分布直方圖中各小長方形上端的中點,就得到頻率分布折線圖.,(3)總體密度曲線 如果樣本容量不斷增大,分組的組距不斷縮小,則頻率分布直方圖實際上越來越接近于總體在各小組內(nèi)所取值的個數(shù)與總數(shù)比值的大小,它可以用一光滑曲線來描繪,這條光滑曲線就叫做總體密度曲線. (4)莖葉圖表示數(shù)據(jù)有兩個突出的優(yōu)點,其一是統(tǒng)計圖上沒有原始數(shù)據(jù)的損失,所有

4、信息都可以從這個莖葉圖中得到,其二是在比賽時隨時記錄,方便記錄與表示.,4.用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征 (1)眾數(shù),中位數(shù),平均數(shù) 在一組數(shù)據(jù)中,出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù). 將一組數(shù)據(jù)按大小依次排列,把處在中間位置的一個數(shù)據(jù)(或中間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù))叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù).,如果n個數(shù),x1,x2,xn,那么 (x1+x2+xn)叫做這n個數(shù)的平均數(shù). 總體中所有個體的平均數(shù)叫做總體平均數(shù). 樣本中所有個體的平均數(shù)叫做樣本平均數(shù),如果在n個數(shù)據(jù)中,x1出現(xiàn)了f1次,x2出現(xiàn)f2次,xk出現(xiàn)fk次(這里f1+f2+fk=n),那么 (x1f1+x2f2+xkfk),叫做這n個數(shù)

5、的加權(quán)平均數(shù).,5.兩個變量的相關(guān)關(guān)系 (1)當(dāng)自變量的取值一定時,因變量的取值帶有隨機性,這兩個變量之間的關(guān)系叫做相關(guān)關(guān)系. 如果一個變量的值由小變大時,另一個變量的值也在由小到大,這種相關(guān)稱為正相關(guān);反之,如果一個變量的值由小變大時,另一個變量的值在由大到小,這種關(guān)系稱為負相關(guān).變量間的這種關(guān)系與函數(shù)關(guān)系不同,它是一種非確定關(guān)系.,(2)散點圖:表示具有相關(guān)關(guān)系的兩個變量的一組數(shù)據(jù)的圖形叫做散點圖.,6.回歸直線方程 (1)一般地,設(shè)x和y是具有相關(guān)關(guān)系的兩個變量,且對應(yīng)于n個觀測值的n個點大致分布在一條直線的附近,若所求的直線方程為,我們將這個方程叫做回歸直線方程,a,b叫做回歸系數(shù),相

6、應(yīng)的直線叫做回歸直線. (2)最小二乘法 使離差平方和Q=(y1-bx1-a)2+(y2-bx2-a)2+(yn-bxn-a)2為最小的方法,叫做最小二乘法.,7.回歸分析 (1)回歸直線方程 =bx+a中, 上述方程對應(yīng)的直線叫做回歸直線,而對兩個變量所進行的上述統(tǒng)計分析叫做線性回歸分析. 相關(guān)系數(shù),用相關(guān)系數(shù)來描述線性相關(guān)關(guān)系的強弱.當(dāng)r0時,兩個變量正相關(guān);當(dāng)r0時,兩個變量負相關(guān),r的絕對值越接近1,表明兩個變量的線性相關(guān)性越強,r的絕對值接近于0,表明兩個變量之間幾乎不存在線性相關(guān)關(guān)系.通常當(dāng)|r|大于r0.05時,認(rèn)為兩個變量有很強的線性相關(guān)關(guān)系,因而求回歸直線方程才有意義.,數(shù)據(jù)

7、點和它在回歸直線上相應(yīng)位置的差異(y1- i)是隨機誤差效應(yīng),稱 i=yi- i為殘差,將所得值平方后加起來,用數(shù)學(xué)符號表示為 (yi- i)2稱為殘差平方和,它代表了隨機誤差的效應(yīng).,8.獨立性檢驗 (1)分類變量的定義 如果某種變量的不同“值”表示個體所屬的不同類別,像這樣的變量稱為分類變量.,(2)22列聯(lián)表 一般地,假設(shè)有兩個分類變量X和Y,它們的值域分別為x1,x2和y1,y2,其樣本頻數(shù)列聯(lián)表(稱為22列聯(lián)表)為,K2= 用它的大小可以決定是否拒絕原來的統(tǒng)計假設(shè)H0,如果K2值較大,就拒絕H0,即拒絕事件A與B無關(guān).,考點陪練,1.(2010重慶)某單位有職工750人,其中青年職工

8、350人,中年職工250人,老年職工150人,為了了解該單位職工的健康情況,用分層抽樣的方法從中抽取樣本.若樣本中的青年職工為7人,則樣本容量為( ) A.7 B.15 C.25 D.35 解析:設(shè)樣本容量為n,則依題意有 n=7,n=15,選B. 答案:B,2.(2010湖北)將參加夏令營的600名學(xué)生編號為:001,002,600.采用系統(tǒng)抽樣方法抽取一個容量為50的樣本,且隨機抽得的號碼為003.這600名學(xué)生分住在三個營區(qū),從001到300的第營區(qū),從301到495在第營區(qū),從496到600在第營區(qū),三個營區(qū)被抽中的人數(shù)依次為( ) A.26,16,8 B.25,17,8 C.25,1

9、6,9 D.24,17,9,解析:依題意及系統(tǒng)抽樣的意義可知,將這600名學(xué)生按編號依次分成50組,每一組各有12名學(xué)生,第k(kN*)組抽中的號碼是3+12(k-1).令3+12(k-1)300,得k ,因此第營區(qū)被抽中的人數(shù)是25;令3003+12(k-1)495得 k42,因此第營區(qū)被抽中的人數(shù)是42-25=17.結(jié)合各選項知,選B. 答案:B,3.(2010山東)在某項體育比賽中,七位裁判為一選手打出的分?jǐn)?shù)如下: 90 89 90 95 93 94 93 去掉一個最高分和一個最低分后,所剩數(shù)據(jù)的平均值和方差分別為( ) A.92,2 B.92,2.8 C.93,2 D.93,2.8,解

10、析:去掉一個最高分95分與一個最低分89分后,所得的5個數(shù)分別為9090939493, 所以 故選B. 答案:B,4.(2010福建)若某校高一年級8個班參加合唱比賽的得分如莖葉圖所示,則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)和平均數(shù)分別是( ) A.91.5和91.5 B.91.5和92 C.91和91.5 D.92和92,解析:中位數(shù)為 (91+92)=91.5;平均數(shù)為 (87+89+90+91+92+93+94+96)=91.5. 答案:A,5.(2010湖南)某商品銷售量y(件)與銷售價格x(元/件)負相關(guān),則其回歸方程可能是( ) A. =-10 x+200 B. =10 x+200 C. =-10 x

11、-200 D. =10 x-200 解析:由圖象知選項BD為正相關(guān),選項C不符合實際意義,故選A. 答案:A,類型一抽樣方法的綜合應(yīng)用 解題準(zhǔn)備:1.簡單隨機抽樣:抽簽法:攪拌均勻后逐一抽取. 隨機數(shù)表法:注意編號的靈活性,如對100個個體可用00,01,01,02,99來編號. 2.系統(tǒng)抽樣:對多余個體的剔除不影響總體中每個個體被抽到的等可能性,仍然能保證抽樣的公平性.例如從1002個體中利用系統(tǒng)抽樣抽取容量為20的樣本,剔除2個個體后,每個個體被抽到的可能性仍為,3.分層抽樣:當(dāng)總體中個體差異較大時,往往采用分層抽樣的方法,若有某些層面應(yīng)抽取的個體數(shù)目不是整數(shù)時,可作適當(dāng)?shù)募毼⒄{(diào)整.,【典

12、例1】 為了考察某校的教學(xué)水平,將抽查這個學(xué)校高三年級的部分學(xué)生本年度的考試成績.為了全面反映實際情況,采取以下三種方式進行抽查(已知該校高三年級共有20個班,并且每個班內(nèi)的學(xué)生已經(jīng)按隨機方式編好了學(xué)號,假定該校每班學(xué)生的人數(shù)相同):從高三年級20個班中任意抽取一個班,再從該班中任意抽取20名學(xué)生,考察他們的學(xué)習(xí)成績;每個班抽取1人,共計20人,考察這20名學(xué)生的成績;,把學(xué)生按成績分成優(yōu)秀、良好、普通三個級別,從其中共抽取100名學(xué)生進行考察(已知該校高三學(xué)生共1000人,若按成績分,其中優(yōu)秀生共150人,良好生共600人,普通生共250人).根據(jù)上面的敘述,試回答下列問題:(1)上面三種抽

13、取方式的總體、個體、樣本分別是什么?每一種抽取方式抽取的樣本中,樣本容量分別是多少?(2)上面三種抽取方式各自采用的是何種抽取樣本的方法?(3)試分別寫出上面三種抽取方式各自抽取樣本的步驟.,分析 本題主要考查基本概念和三種抽樣方法的聯(lián)系與區(qū)別,準(zhǔn)確把握三種抽樣方法的概念與特點是解此題的關(guān)鍵;另外要注意敘述的完整性和條理性. 解 (1)這三種抽取方式的總體都是指該校高三全體學(xué)生本年度的考試成績,個體都是指高三年級每個學(xué)生本年度的考試成績.其中第一種抽取方式的樣本為所抽取的20名學(xué)生本年度的考試成績,樣本容量為20;第二種抽取方式的樣本為所抽取的20名學(xué)生本年度的考試成績,樣本容量為20;第三種

14、抽取方式的樣本為所抽取的100名學(xué)生本年度的考試成績,樣本容量為100.,(2)三種抽取方式中,第一種采用的是簡單隨機抽樣法;第二種采用的是系統(tǒng)抽樣法和簡單隨機抽樣法;第三種采用的是分層抽樣法和簡單隨機抽樣法. (3)第一種方式抽樣的步驟如下:第一步,用抽簽法在這20個班中任意抽取一個班;第二步,從這個班中按學(xué)號用隨機數(shù)表法或抽簽法抽取20名學(xué)生,考察其考試成績. 第二種方式抽樣的步驟如下:第一步,用簡單隨機抽樣法從第一個班中任意抽取一名學(xué)生,記其學(xué)號為a;第二步,在其余的19個班中,選取學(xué)號為a的學(xué)生,加上第一個班的一名學(xué)生,共計20人.,第三種方式抽樣的步驟如下:第一步,分層.因為若按成績

15、分,其中優(yōu)秀生共150人,良好生共600人,普通生共250人,所以在抽取樣本時,應(yīng)該把全體學(xué)生分成三個層次;第二步,確定各個層次抽取的人數(shù).因為樣本容量與總體的個數(shù)之比為100:1000=1:10,所以在每個層次中抽取的個體數(shù)依次為 即15,60,25;第三步,按層次分別抽取.在優(yōu)秀生中用簡單隨機抽樣法抽15人;在良好生中用簡單隨機抽樣法抽取60人;在普通生中用簡單隨機抽樣法抽取25人.,類型二頻率分布直方圖和莖葉圖 解題準(zhǔn)備:1.作頻率分布直方圖的步驟: (1)求極差,即一組數(shù)據(jù)中最大值和最小值的差. (2)決定組距與組數(shù).將數(shù)據(jù)分組時,組數(shù)應(yīng)力求合適,以使數(shù)據(jù)的分布規(guī)律能較清楚的呈現(xiàn)出來.

16、這時應(yīng)注意:一般樣本容量越大,所分組數(shù)越多;為方便起見,組距的選擇應(yīng)力求“取整”;當(dāng)樣本容量不超過100時,按照數(shù)據(jù)的多少,通常分成512組.,(3)將數(shù)據(jù)分組. (4)計算各小組的頻率,作頻率分布表.各小組的頻率 (5)畫頻率分布直方圖.,2.莖葉圖的制作步驟如下: (1)將所有兩位數(shù)的十位數(shù)字作為“莖”,莖按從小到大順序排列,莖相同者共用一個莖,再畫上豎線作為分界線. (2)在分界線的一側(cè)對應(yīng)“莖”處,記錄下“葉”個位數(shù)字,一般共莖的葉按從小到大(或從大到小)的順序同行列出.,【典例2】 為了解某校初中畢業(yè)男生的體能狀況,從該校初中畢業(yè)班學(xué)生中抽取若干名男生進行鉛球測試,把所得數(shù)據(jù)(精確到

17、0.1米)進行整理后,分成6組畫出頻率分布直方圖的一部分(如下圖),已知從左到右前5個小組的頻率分布為0.04,0.10,0.14,0.28,0.30.第6小組的頻數(shù)是7.,(1)請將頻率分布直方圖補充完整;,(2)該校參加這次鉛球測試的男生有多少人? (3)若成績在8.0米以上(含8.0米)的為合格,試求這次鉛球測試的成績的合格率; (4)在這次測試中,你能確定該校參加測試的男生鉛球成績的眾數(shù)和中位數(shù)各落在哪個小組內(nèi)嗎? 解 (1)由頻率分布直方圖的意義可知,各小組頻率之和為1,故第6小組的頻率為: 1-(0.04+0.10+0.14+0.28+0.30)=0.14,易知第6小組與第3小組的

18、頻率相等,故兩個小長方形等高.,(2)由(1)知,第6小組的頻率是0.14. 又因為第6小組的頻數(shù)是7,現(xiàn)設(shè)參加這次測試的男生有x人, 根據(jù)頻率定義,得 即x=50(人). (3)由圖可知,第456小組成績在8.0米以上,其頻率之和為:0.28+0.30+0.14=0.72,故合格率為72%. (4)能確定中位數(shù)落在第4小組,而眾數(shù)落在第5小組.,反思感悟 解決該類問題時應(yīng)正確理解圖表中各個量的意義,識圖掌握信息是解決該類問題的關(guān)鍵.頻率分布指的是一個樣本數(shù)據(jù)在各個小范圍內(nèi)所占的比例的大小.一般用頻率分布直方圖反映樣本的頻率分布.其中,頻率分布直方圖中縱軸表示 頻率 頻率分布直方圖中,各小長方

19、形的面積之和為1,因此在頻率分布直方圖中,組距是一個固定值,所以各個長方形高的比也就是頻率之比;,頻率分布表和頻率分布直方圖是一組數(shù)據(jù)頻率分布的兩種形式,前者準(zhǔn)確,后者直觀;眾數(shù)為最高矩形的中點;中位數(shù)為平分頻率分布直方圖面積且垂直于橫軸的直線與橫軸交點的橫坐標(biāo).,探究 某化肥廠甲乙兩個車間包裝肥料,在自動包裝傳送帶上每隔30 min抽取一包產(chǎn)品,稱其重量,分別記錄抽查數(shù)據(jù)如下: 甲:102,101,99,98,103,98,99; 乙:110,115,90,85,75,115,110. (1)這種抽樣方法是哪一種? (2)將這兩組數(shù)據(jù)用莖葉圖表示; (3)將兩組數(shù)據(jù)比較,說明哪個車間產(chǎn)品較穩(wěn)

20、定.,解 (1)因為間隔時間相同,故是系統(tǒng)抽樣. (2)莖葉圖如下:,(3)甲車間: 平均值: (102+101+99+98+103+98+99)=100, 方差: (102-100)2+(101-100)2+(99-100)23.4286.,反思感悟 (1)莖葉圖的優(yōu)點是保留了原始數(shù)據(jù),便于記錄及表示,能反映數(shù)據(jù)在各段上的分布情況. (2)莖葉圖不能直接反映總體的分布情況,這就需要通過莖葉圖給出的數(shù)據(jù)求出數(shù)據(jù)的數(shù)字特征,進一步估計總體情況.,類型三線性回歸的應(yīng)用 解題準(zhǔn)備:求線性回歸方程的步驟為: (1)列表xi,yi,xiyi; (2)計算 (3)代入公式計算b,a的值;(4)寫出回歸方程

21、.,【典例3】 以下是某地搜集到的新房屋的銷售價格y和新房屋的面積x的數(shù)據(jù): (1)畫出數(shù)據(jù)對應(yīng)的散點圖; (2)求線性回歸方程,并在散點圖中加上回歸直線; (3)據(jù)(2)的結(jié)果估計當(dāng)新房屋面積為150 m2時的銷售價格.,解 (1)數(shù)據(jù)對應(yīng)的散點圖如圖所示:,(3)據(jù)(2),當(dāng)x=150時,銷售價格的估計值為: =0.1962150+1.8166=31.2466(萬元).,類型四獨立性檢驗 解題準(zhǔn)備:獨立性檢驗的一般步驟: (1)根據(jù)樣本數(shù)據(jù)制成22列聯(lián)表. (2)根據(jù)公式 K2= 計算K2的值. (3)比較K2與臨界值的大小關(guān)系作統(tǒng)計推斷.,【典例4】 (2009江蘇模擬題)利用統(tǒng)計變量K

22、2的觀測值來判斷兩個分類變量之間的關(guān)系的可信程度. 考查小麥種子經(jīng)滅菌與否跟發(fā)生黑穗病的關(guān)系,經(jīng)試驗觀察,得到數(shù)據(jù)如下表所示:,試按照原試驗?zāi)康淖鹘y(tǒng)計分析推斷. 分析 利用已知條件來判斷兩個分類變量是否具有關(guān)系,可以先假設(shè)兩個變量之間有關(guān)系,再計算K2的值,K2的值越大說明兩個變量間有關(guān)系的可能性越大,再參考臨界值,從而判斷兩個變量有關(guān)系的可信程度.,解 由列表知, a=26,b=184,c=50,d=200, a+b=210,c+d=250,a+c=76,b+d=384,n=460.,有95%的把握認(rèn)為種子滅菌與否與小麥發(fā)生黑穗病是有關(guān)系的.,反思感悟 (1)獨立性檢驗的關(guān)鍵是準(zhǔn)確的計算K2

23、,在計算時,要充分利用22列聯(lián)表. (2)學(xué)習(xí)相關(guān)和無關(guān)的判定一定要結(jié)合實際問題,從現(xiàn)實中尋找例子,從而增強學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.,錯源一對簡單隨機抽樣的理解不到位 【典例1】 下面的抽樣中,是簡單隨機抽樣的個數(shù)是( ) 從無數(shù)個個體中抽取20個個體作為樣本; 從50臺冰箱中一次性抽取5臺冰箱進行質(zhì)量檢查; 某班有40名同學(xué),指定個子最高的5名同學(xué)參加學(xué)校組織的籃球賽; 一彩民選號,從裝有36個大小形狀都相同的號簽的盒子中無放回地抽取6個號簽,A.4 B.3 C.2 D.1 錯解 都是簡單隨機抽樣,故選A. 剖析 不清楚簡單隨機抽樣有以下四個特點:(1)總體個數(shù)有限;(2)逐個抽取;(3)不放回;(

24、4)公平性.每個個體被抽到的可能性相同.因此,要深刻理解概念,深挖其內(nèi)涵.,正解 總體個數(shù)無限,故不是簡單隨機抽樣;雖然“一次性”抽取和“逐個”抽取不影響個體被抽到的可能性,但不滿足簡單隨機抽樣的定義;因為指定5名同學(xué)參賽,每個個體被抽到的可能性不相同,不是等可能抽樣;是簡單隨機抽樣.故選D. 答案 D,錯源二 頻率分布直方圖中小長方形高的含義模糊不清 【典例2】 如圖是一個容量為200的樣本頻率分布直方圖,請根據(jù)圖形中的數(shù)據(jù)填空:,(1)樣本數(shù)據(jù)落在5,9)的頻率為_; (2)樣本數(shù)據(jù)落在9,13)的頻率為_. 錯解 (1)落在5,9)的頻率為0.08. (2)落在9,13)的頻率為0.09.,剖析 頻率分布直方圖中縱軸表示 ,而不直接表示頻率. 正解 (1)落在5,9)的頻率為0.084=0.32; (2)落在9,13)的頻率為0.094=0.36. 答案 0.32 0.36,技法一構(gòu)造22列聯(lián)表進行獨立性檢驗 【典例1】 為觀察藥物A,B治療某病的療效,某醫(yī)生將100例該病病人隨機的分成兩組,一組40人,服用A藥;另一組60人,服用B藥.結(jié)果發(fā)現(xiàn):服用A藥的40人中有30人治愈;服用B藥的60人中有11人治愈.問