1、警察與小偷的博弈摘要針對警察與小偷的博弈問題，我們運(yùn)用博弈論中的混合策略納什均衡的相關(guān)知識，以及數(shù)學(xué)家約翰馮諾伊曼(john von neumann)創(chuàng)立的“最小最大定理”進(jìn)行理論分析并建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型求解，并據(jù)此得出合理的結(jié)論。我們分別建立了如下三種模型：模型一：“0-1”模型，即假設(shè)警察去銀行的概率是1，去酒館的概率是0；相反小偷去酒館的概率是1，而去銀行的概率是0。我們得到警察的收益期望為2萬美元，小偷的收益期望為1萬美元。模型二：“擲硬幣”模型，由于“模型一”不能保護(hù)酒吧的利益，所以在此基礎(chǔ)上我們做出了另一種假設(shè)，即采用“擲硬幣”的模型，去兩個地方的概率均為1/2。得到警察的收益期望

2、為9/4萬美元，而小偷的收益期望為3/4萬美元。模型三：“摸彩球”（即混合策略的納什均衡）模型，由于“模型二”沒有考慮不同地點(diǎn)的財產(chǎn)數(shù)額。于是我們進(jìn)一步分析建立了“模型三”，即警察去銀行的概率為2/3,去酒館的概率為1/3，同時小偷去銀行的概率為1/3,去酒館的概率為2/3。據(jù)此得到警察的收益期望為7/3萬美元，小偷的收益期望為2/3萬美元。在采取混合策略的情況下，警察與小偷取得最優(yōu)策略，獲勝機(jī)會一樣大。他們雙方并不需要在意自己的任何具體策略，而是找出自己的策略，讓對方覺得他們的任何策略對自己的下一步行動都沒有影響。這樣可以充分利用偶然性來避免對方發(fā)現(xiàn)自己的有規(guī)則行為進(jìn)而被對方占得便宜的現(xiàn)象發(fā)

3、生。所以警察與小偷應(yīng)用一種隨機(jī)方法來決定自己的策略。關(guān)鍵詞：博弈論 最小最大定理 混合策略 納什均衡一、問題重述小鎮(zhèn)的一頭有一家酒館，另一頭有一家銀行。一個小偷，要實(shí)施偷盜，警察只能在一個地方巡邏而且小偷也只能去一個地方。銀行需要保護(hù)的財產(chǎn)為2萬美元，酒館為1萬美元。若警察與小偷同去某地，就會被警察抓住，否則小偷偷盜成功。找到警察與小偷各自的最優(yōu)策略，獲勝機(jī)會，指導(dǎo)理論和求解方法。二、模型的假設(shè)與符號說明1模型假設(shè)(1)假設(shè)警察與小偷均是理性“經(jīng)濟(jì)人”。警察追求的是對財產(chǎn)保護(hù)的最大化及抓住小偷維護(hù)治安，而小偷追求的是在維護(hù)自身安全的情況下，所獲得利潤的最大化；(2)假設(shè)警察與小偷雙方不存在串謀

4、行為，將其視為非合作博弈來考慮；(3)假設(shè)在警察巡邏某地，偷盜者在該地?zé)o法實(shí)施偷盜的情況下，小偷的得益為0(沒有收益)，警察的得益為3(保住3萬美元)。 2.符號說明：警察獲得的收益（效用）；u：小偷獲得的收益（效用）；e：警察的收益期望。三、問題分析根據(jù)題意，該實(shí)際問題要通過數(shù)學(xué)模型來得到盡可能接近實(shí)際的結(jié)果。通過建模來分析警察與小偷的最優(yōu)策略，實(shí)現(xiàn)各自的收益的最大化。由于銀行需要保護(hù)的財產(chǎn)價格為2萬美元，酒館為1萬美元。所以警察與小偷之間的博弈可以寫成下表1的關(guān)系.表1 警察小偷去銀行去酒吧去銀行=3，u=0=1，u=2去酒吧=2，u=1=3，u=0警察與小偷的各自收益取值如下表2表2警察

5、收益123小偷收益u210模型一：“0-1”模型，即警察只去銀行巡邏。這樣，警察可以保住銀行2萬美元的財產(chǎn)不被偷竊，但酒館卻損失了1萬美元。模型二：“擲硬幣”模型，由于“模型一”不能保護(hù)酒吧的利益，所以在此基礎(chǔ)上我們做出了另一種假設(shè)，即采用“擲硬幣”的模型，去兩個地方的概率均為1/2。模型三：“摸彩球”（即混合策略的納什均衡）模型，由于“模型二”沒有考慮不同地點(diǎn)的財產(chǎn)數(shù)額。于是我們進(jìn)一步分析建立了“模型三”，即警察去銀行的概率為2/3,去酒館的概率為1/3，同時小偷去銀行的概率為1/3,去酒館的概率為2/3。這時博弈達(dá)到混合策略下的納什均衡。通過計算并分析各種模型下的警察與小偷的收益期望，從中

6、得出他們各自的最優(yōu)策略。四、模型的構(gòu)建、求解與分析1.模型一“0-1”模型，即假設(shè)警察去銀行的概率是1，去酒館的概率是0；相反小偷去酒館的概率是1，而去銀行的概率是0如表3。由于警察只對銀行進(jìn)行巡邏，所以警察可以保住銀行2萬美元的財產(chǎn)不被偷竊，但酒館卻損失了1萬美元。表3銀行酒館警察去巡邏的概率10小偷去偷盜的概率01警察獲得的收益與對應(yīng)概率如表4表4警察的收益123獲得的概率010所以警察的收益期望為由上面的數(shù)據(jù)分析可知，這個結(jié)果是很粗糙的，不是所要求的最優(yōu)解。在這個博弈中，小偷的策略選擇依據(jù)于警察的選擇，如果警察只去銀行，小偷就去酒館，這樣小偷就能獲得1萬美元的收益；警察的行動又依賴于小偷

7、的選擇，如果小偷只去銀行，那么警察的最優(yōu)策略就是去銀行巡邏。如果對方知道自己選擇的策略，甚至是策略的傾向性，那么自己的損失將會增大，對方的收益將會增大。2.模型二“擲硬幣”模型，由于“模型一”不能保護(hù)酒吧的利益，所以在此基礎(chǔ)上我們做出了另一種假設(shè)，即采用“擲硬幣”的模型，去兩個地方的概率均為1/2。如表5。表5銀行酒館警察去巡邏的概率1/21/2小偷去偷盜的概率1/21/2警察獲得的收益與對應(yīng)概率如表6表6警察的收益123獲得的概率1/41/41/2所以警察的收益期望為這個模型雖然比模型一精確了許多，但是仍然有些粗糙，模型二沒有考慮到兩地財產(chǎn)的多少，于是我們進(jìn)一步分析建立了“模型三”。3.模型

8、三“摸彩球”（即混合策略的納什均衡）模型，該模型考慮了不同地點(diǎn)的財產(chǎn)數(shù)額，按權(quán)重分配，即警察去銀行的概率為2/3,去酒館的概率為1/3，同時小偷去銀行的概率為1/3,去酒館的概率為2/3如表7。表7銀行酒館警察去巡邏的概率2/31/3小偷去偷盜的概率1/32/3警察獲得的收益與對應(yīng)概率如表8表8警察的收益123獲得的概率1/94/94/9所以警察的收益期望為由上面的數(shù)據(jù)分析可知，模型三（混合策略的納什均衡）顯然比模型一、模型二更為精確。但對于“模型三”，必須考慮“權(quán)重”是如何分配的，只有精確的權(quán)重分配才能得到最優(yōu)的方案，才能使警察和小偷都找到自己的最優(yōu)策略?；谶@樣的考慮，我們通過假設(shè)變量來進(jìn)

9、一步求解確定更精確的結(jié)論。計算方案過程如下：假設(shè)各自概率如下表9（a+b=1,c+d=1）表9銀行酒館警察去巡邏的概率cd小偷去偷盜的概率ab警察獲得的收益與對應(yīng)概率如表10表10警察的收益123獲得的概率a*dc*ba*c+b*d根據(jù)公式可以求解出警察的收益期望為又因?yàn)閍+b=1,c+d=1，所以我們可以求得下式利用matlab編寫程序（見附錄）求得多元函數(shù)e的極值點(diǎn)，此時b=2/3,d=1/3。這與我們所假設(shè)的模型三相同，這說明模型三所得出的解即為實(shí)際問題警察和小偷的最優(yōu)策略。所以警察的最佳巡邏效果方案是：去銀行的概率為2/3,去酒館的概率為1/3；小偷的最優(yōu)策略是去銀行的概率為1/3,去

10、酒館的概率為2/3。當(dāng)我們利用模型三從警察和小偷兩者不同的角度來計算最佳混合策略時，會得到這樣一個結(jié)果：同樣的成功概率。也就是說，警察若采用自己的最佳混合策略，就能將小偷的成功概率(5/9)拉到他采用自己的最佳混合策略所能達(dá)到的成功概率(4/9)。也就是說警察和小偷的獲勝機(jī)會一樣大！這也正是“最小最大定理”的體現(xiàn)！五、模型的評價對于模型三（混合策略的納什均衡），每個參與者并不需要在意自己的任何具體策略，而是找到自己的策略方案，讓對方覺得他們的任何策略對你的下一步行動都沒有影響。一方面要發(fā)現(xiàn)對手任何有規(guī)則的行為，并相應(yīng)采取行動。假如他們確實(shí)傾向于采取某一種特別的行動，這只能表示他們選擇了最糟糕的

11、策略。反過來，也要避免一切會被對方占便宜的模式，堅持自己的最佳混合策略。因此，采取混合或者隨機(jī)策略，并不等同于毫無策略地“瞎出”，這里面仍然有很強(qiáng)的策略性?？梢赃_(dá)到充分利用偶然性來避免對方發(fā)現(xiàn)自己的有規(guī)則行為進(jìn)而被對方占得便宜的現(xiàn)象發(fā)生。所以警察與小偷應(yīng)該采用一種隨機(jī)方法來決定自己的策略，堅持自己的最佳混合策略，這樣警察才能實(shí)現(xiàn)最佳的巡邏效果，小偷獲得最優(yōu)的選擇，兩人獲勝的機(jī)會一樣大，達(dá)到所謂的混合策略下的納什均衡。六、參考文獻(xiàn)1 張維迎博弈論與信息經(jīng)濟(jì)學(xué)上海：上海三聯(lián)書店，上海人民出版社2004；2 吳贛昌.高等數(shù)學(xué)m. 北京：中國人民大學(xué)出版社,2008；3 frank r.giordano等，數(shù)學(xué)建模 機(jī)械工程出版社，2005年1月第三版；4 張凌翼.中南財經(jīng)政法大學(xué)研究生學(xué)報.北京,2008；5劉衛(wèi)國 matlab程序設(shè)計教程，中國水利水電出版社，2006年3月第三版.七、附錄matlab程序clear;