1、車輛工程技教研室,第三章 空間問題有限單元法,實際工程中，對于那些形體復雜，三個方向尺寸同量級的結構，必須按空間（三維）問題求解。,空間問題的有限單元法中的位移仍然只有平動位移，所以仍屬于C0連續(xù)問題，因此構造單元并不難。將平面問題有限元法“稍加變動”并“加以推廣”便可用于空間問題。,車輛工程技教研室,車輛工程技教研室,由于通用軟件有很好的前后處理功能，因此空間問題基本上都靠軟件來解決。,車輛工程技教研室,一、空間問題常用單元,二、常應變四面體單元,車輛工程技教研室,一、空間問題常用單元,2. 按位移函數階次分,1. 按形狀分：,四面體單元（三棱錐） 五面體單元（三棱柱） 六面體單元（立方體）

2、,線性單元：四結點四面體，六結點五面體、八結點六面體等 二階單元：十結點四面體，二十結點六面體等 三階單元：二十結點四面體，三十二結點六面體等,車輛工程技教研室,一、空間問題常用單元,4. 構造曲面單元,3. 形函數構造方法：,1）廣義坐標法：僅用在常應變單元,等參元：利用規(guī)則單元作母元，通過等參變換構造曲面單元,2）試湊法：在自然坐標下直接寫出形函數,四面體單元的自然坐標是體積坐標,車輛工程技教研室,二、常應變四面體單元,1. 基本變量,單元內任一點位移:,單元內任一點應變:,單元內任一點應力:,車輛工程技教研室,二、常應變四面體單元,1. 基本變量,單元結點位移:,結點位移:,車輛工程技教

3、研室,2. 單元位移插值函數：,設單元內任一點的位移為坐標的線性函數:,即為廣義坐標,二、常應變四面體單元,車輛工程技教研室,將結點坐標代入u(x,y,z)，得結點x方向位移:,（四個方程、四個未知量）,2. 單元位移插值函數：,二、常應變四面體單元,車輛工程技教研室,解方程組得 后，可將u的表達整理成：,式中:,車輛工程技教研室,按1、2、3、4的順序變換下標，可得其它系數,同樣的過程可得到:,形函數,車輛工程技教研室,則單元位移模式可寫成：,（由結點位移表示的單元內位移）,或：,形函數矩陣,車輛工程技教研室,3. 單元幾何方程：,二、常應變四面體單元,由結點位移求單元內應變,將位移表達式代

4、入，得：,其中：,車輛工程技教研室,B中各元素為常數，則也為常量 常應變單元,車輛工程技教研室,4. 單元物理方程：,二、常應變四面體單元,由結點位移求單元內應力, 應力矩陣,令:,車輛工程技教研室,其中：,車輛工程技教研室,其中：,車輛工程技教研室,5. 單元基本方程：,二、常應變四面體單元,利用變分原理建立單元平衡方程：,其中：,單元剛度矩陣,等效結點荷載,車輛工程技教研室,空間軸對稱問題，采用圓柱坐標系 ，根據軸對稱問題的特點，任一對稱面為 面，沒有 方向的位移。物體上任一點的位移、應變、應力均與 角無關，軸對稱問題可以把三維問題轉化為以 為自變量的二維問題。 圖3-4代表三角形環(huán)形單元，用在 平面上的三角形 表示。軸向位移為 ，沿半徑方向的位移為 。,三、空間軸對稱問題的有限元法,車輛工程技教研室,則，三角形單元的節(jié)點位移為： 與平面問題三角形單元相仿，取位移模式： 帶入節(jié)點位移后，可解出 ，用形函數表達：,三、空間軸對稱問題的有限元法,車輛工程技教研室,三、空間軸對稱問題的有限元法,該式與平面問題的有限元問題中的形函數形式一樣，系數相同，只是將平面問題的坐標軸x,y換成,其中，,車輛工程技教研室,矩陣中含有變量r,z,因此，不是常數矩陣，三角形環(huán)形單元也不是常應變單元。,車輛工程技教研室,根據彈性力學理論，空間軸對稱問題