1、第七章 自旋與全同粒子,我們已經(jīng)知道，從薛定諤方程出發(fā)可以解釋許多微觀現(xiàn)象，例如計算諧振子和氫原子的能級從而得出它們的譜線頻率，計算離子被勢場散射時的散射截面以及原子對光的吸收和發(fā)射系數(shù)等。計算結(jié)果在相當精確的范圍內(nèi)與實驗符合。但是這個理論還有較大的局限性。首先，薛定諤方程沒有把自旋包含進去，因而用前面的理論還不能解釋牽涉到自旋的微觀現(xiàn)象，如塞曼效應等。此外，對于多粒子體系（原子、分子、原子核、固體等等），前面的理論也不能處理。, 7.1 電子的自旋,一、提出電子自旋的依據(jù),1、1912年反常塞曼效應，特別是氫原子的偶數(shù)重磁場譜線 分裂 ，無法用軌道磁矩與外磁場相互作用來解釋 ，因 為這只能分

2、裂譜線為 （2n+1）重，即奇數(shù)重。,2、原子光譜的精細結(jié)構(gòu) 。比如，對應于氫原子2p1s的躍 遷存在兩條彼此很靠近的兩條譜線，堿金屬原子光譜也 存在雙線結(jié)構(gòu)等,3、斯特恩蓋拉赫實驗（1922年） 基態(tài)銀原子束通過不均勻磁場后，分離成朝相反方向 的兩束。如圖：,結(jié)論：除具有軌道角動量外，電子還應具有自旋角動量。 自旋是一種相對論量子效應，無經(jīng)典對應。,針對以上難以解釋的實驗現(xiàn)象，1925年烏侖貝克和高德 施密特提出假設：,(1)每個電子具有自旋角動量s，它在空間任何方向上的投 影只能取兩個數(shù)值：,(2)每個電子具有自旋磁矩Ms，它和自旋角動量s的關系是,二、電子自旋的假設, 7.2 電子自旋算

3、符和自旋函數(shù),電子具有自旋角動量這一特性純粹是量子特性，它不可 能用經(jīng)典力學來解釋。自旋角動量也是一個力學量，但它和 其他力學量有根本的差別：一般力學量都可表示為坐標和動 量的函數(shù)，自旋角動量則與電子的坐標和動量無關，它是電 子內(nèi)部狀態(tài)的表征，是描寫電子狀態(tài)的第四個變量。,一、自旋算符,自旋角動量滿足的對易關系是：,由于 在空間任意方向上的投影只能取兩個數(shù)值 ， 所以 和 三個算符的本征值都是 ，它們的平方 就都是 ：,所以，,令,將上式與軌道角動量平方算符的本征值 比較，可知s與角量子數(shù) 相當，我們稱s為自旋量子數(shù)。但 這里s只能取一個數(shù)值，即s=1/2.,二、泡利算符,為簡便起見，引進一個

4、算符 ，它和 的關系是,將（7.2-6）式代入（7.2-1）式，得到 所滿足的對易關系：,并且有：,的分量之間具有反對易關系：,三、電子自旋態(tài)的表示方法,考慮了電子的自旋，電子的波函數(shù)應寫為：,由于 只能取兩個數(shù)值 。所以（7.2-11）式實際上上可 以寫為兩個分量,我們可以把這兩個分量排成一個二行一列的矩陣：,于是，,總的歸一化表示為：,在有些情況下， 不含自旋或為空間部分和自旋部分之和， 的本征函數(shù)可分離變量求解。,四、泡利（Pauli）矩陣,在 與 的共同表象中,令,可得出,于是，,為厄米矩陣：,則,同樣可求出：,利用,習慣上?。?（7.2-18）,（7.2-19）,將（7.2-19）式

5、代入（7.2-16）式和（7.2-17）式得到的結(jié)果 便是泡利矩陣,泡利矩陣,自旋算符,（7.2-20）,（7.2-21）,自旋算符用矩陣（7.2-21）表示后，自旋算符的任一個函數(shù) 也表示為二行二列的矩陣：,算符 在 態(tài)中，對自旋求平均的結(jié)果是,算符 在 態(tài)中，對坐標和自旋同時求平均的平均值是, 7.3 簡單塞曼效應,1896年塞曼（P. Zeeman）發(fā)現(xiàn)：置于強磁場中的原子（光源）發(fā)出的每條光譜線都分裂為三條，間隔相同。為此獲1902年諾貝爾物理獎。因為不必引入自旋，所以洛侖茲很快作出了經(jīng)典電磁學解釋。稱為正常塞曼效應。,一、強磁場中的正常塞曼效應,類氫（或堿金屬）粒子：,一、強磁場中的

6、正常塞曼效應,類氫（或堿金屬）粒子：,能量本征方程為：,也是 的本征函數(shù)。在強磁場中，因為外磁場很強，可以略去自旋軌道耦合。波函數(shù)中自旋和空間部分可以分離變量。哈密頓量H 的本征態(tài)可選為守恒量完全集（H, L2, Lz , Sz)的共同本征態(tài)。能量的本征值為：,當 時，,當 時，,討論： （1）躍遷規(guī)則：,（2）每條光譜線都分裂為三條，間隔相同,Larmor頻率：,（3）不引入自旋也可解釋正常塞曼效應。雖然能級 ，但對 譜線分裂無影響。,鈉黃線的正常塞曼分裂,1897年普雷斯頓（T. Preston）發(fā)現(xiàn)：當磁場較弱時，譜線分裂的數(shù)目可以不是三條，間隔也不盡相同。在量子力學和電子自旋概念建立之

7、前，一直不能解釋。稱為反常塞曼效應（復雜塞曼效應）。,二、弱磁場中的反常塞曼效應, 7.4 兩個角動量的耦合,一、基本對易關系,以 表示體系的兩個角動量算符，它們滿足角動量的 一般對易關系：,和 是相互獨立的，因而 的分量和 的分量都是可對易的：,以 表示 與 之和：,稱為體系的總角動量，它滿足角動量的一般對易關系：,此外，還有一些其他的對易關系：,二、無耦合與耦合表象,以 表示 和 的工同本征矢：,以 表示 和 的工同本征矢：,因為 相互對易，所以它們的共同本征矢：,組成正交歸一的完全系。以這些本征矢作為基矢的表象稱為無 耦合表象，在這個表象中， 都是對角矩陣。,另一方面算符 也是相互對易的

8、，所以它們有共同 本征矢 , j 和 m 表明 和 的對應本征值依次為 和 :,組成正交歸一完全系，以它們?yōu)榛傅谋硐蠓Q為 耦合表象。,概括起來講如下：,1、無耦合表象,基底：,維數(shù)：,封閉關系：,2、耦合表象,基底： 不能區(qū)分角動量1和2了！,封閉關系：,3、無偶合表象基底與偶合表象基底的變換,對于確定的j1和j2,在 維子空間，,上式中 稱為矢量耦合系數(shù)或克來 布希高登（ClebschGordon）系數(shù),表象變換矩陣元，不改變維數(shù)：,無耦合表象耦合表象,耦合表象無耦合表象,三、 的本征值,對于確定的 和 ，總角量子數(shù) 的取值系列為,例如，電子的軌道和自旋的總角動量,當,當,證明：先證明m=

9、m1+m2,于是有：,2.再證明,則 的可能取值為,所以,3.最后證明,因此， 的取值系列為：,都相互對易，它們有共同本征函數(shù)（無耦合表象中 的基矢）, 7.5 堿金屬光譜的精細結(jié)構(gòu),本節(jié)中我們討論在沒有外場的情況下，電子自旋對類氫原子 的能級和譜線的影響。,一、不考慮電子自旋與軌道相互作用,類氫原子的哈密頓量：,其中 是自旋 的本征值， 是磁量子數(shù)。,電子能級（H0的本征值） En只與n有關，不計電子自旋，這 個能級是n2 度簡并的。如果考慮了電子的自旋，ms 可取兩 個值，因而能級En 是2 n2 度簡并。,二、考慮電子自旋與軌道相互作用的情況,自旋和軌道之間的相互作用能量是：,于是，體系

10、的哈密頓寫為：,式子中,哈密頓中的 稱為自旋軌道耦合項，由于該項的存在， 和 都不和 對易，所以電子的態(tài)不能用量子數(shù) 和 來描寫。,另一方面,所以 都和 對易， 和 都是好量子數(shù)。,相互對易， 的本征函數(shù)的角度與自旋部分 可選為耦合表象的波函數(shù)。,故 的本征方程為：,當 給定后（ 也一定），求解此方程便可得到能量本征 值，它與（n,l,j）有關，設為 ，是 度簡并的。當n和 L給定后，j可取兩個值；j=l1/2(l=0除外)，即具有相同的量 子數(shù)n,l的能級有兩個，它們之間的差別很小，這就是產(chǎn)生光 譜線精細結(jié)構(gòu)的原因。,原子中， ，因此有,計算表明： 隨Z增大，且 增大時， 電子的分裂都很小。

11、, 7.6 全同粒子體系的特性,一、多粒子體系的描寫,假設我們有 個粒子組成的體系，那么體系的波函數(shù)應該和所有粒子的坐標以及時間有關：,其中“坐標” 包括粒子的空間坐標 和自旋量子數(shù)。體系的Hamiltonian是：,由此即可寫下體系的Schrdinger方程。,二、全同粒子的不可區(qū)分性,1、全同粒子；質(zhì)量、電荷、自旋等內(nèi)在性質(zhì)完全相同的粒子。,2、全同粒子體系：電子系、質(zhì)子系、中子系、光子系、電子 氣、中子星等等。顯然，對于全同粒子體系，哈密頓中的 都相同， 也都有相同的組成，但是在量子力學中，全 同粒子體系與非全同粒子體系有更多的區(qū)別。,在經(jīng)典力學中，即使兩個粒子是全同的，它們也仍然是可區(qū)

12、別的，因為它們各自有自己的軌道。但是在量子力學中，粒子的狀態(tài)用波函數(shù)描寫，當兩個粒子的波函數(shù)在空間中發(fā)生重疊的時候，我們無法區(qū)分哪個是“第一個”粒子，哪個是“第二個”粒子。所以，在量子理論中有“全同粒子不可區(qū)別性原理”：,當一個全同粒子體系中各粒子的波函數(shù)有重疊的時候，這些全同粒子是不可區(qū)別的。,三、波函數(shù)的交換對稱性和粒子的統(tǒng)計性,對全同粒子體系的波函數(shù)引入交換算符 ，它的作用是把波函數(shù)中的第i個粒子和第j個粒子的坐標交換位置：,那么全同粒子的不可區(qū)別性告訴我們：這樣交換以后的狀態(tài)與原來的狀態(tài)是不可區(qū)別的，所以，按照量子力學的基本原理，,而,所以,解得，,也就是說，,若 ，則稱 為交換對稱波

13、函數(shù)，,若 ， 則稱 為交換反對稱波函數(shù)。,交換對稱性或反對稱性是全同粒子體系波函數(shù)的特殊的固有的性質(zhì)，因此也是(微觀)粒子的特殊的、固有的性質(zhì)。它決定了粒子所服從的統(tǒng)計。也就是說，描寫全同粒子體系 狀態(tài)的波函數(shù)只能是對稱的或反對稱的，它們的對稱性不隨時間改變。,自旋為整數(shù)的粒子，波函數(shù)是交換對稱的，服從Bose-Einstein統(tǒng)計，稱為玻色子。例如光子（自旋為1）、介子(自旋為0）。,自旋為半整數(shù)的粒子，波函數(shù)是交換反對稱的，服從Fermi-Dirac統(tǒng)計，稱為費米子。例如電子、質(zhì)子、中子（自旋都是）。, 7.7 全同粒子體系的波 函數(shù) 泡利原理,一 、兩個粒子體系,兩式相加：,兩式相減：,若 時， 因此，兩個全同 Fermi子不能處于同 一個狀態(tài)。,二、N個粒子體系,（7.7-7）式中P表示N各粒子在波函數(shù)中的某一種排列， 表 示對所有可能的排列求和，而C 是歸一化常數(shù)。,如果交換任何兩粒子在行列式中就是兩列相互調(diào)換，就 使得行列式改變符號，所以（7.7-8）式是反對稱的。,三、泡利不相容原理,如果N個單粒子態(tài) 中有兩個單粒子態(tài)相同，則 （7.7-8）行列式中有兩行相同