1、連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率分布,第九講,大綱,什么是連續(xù)型隨機(jī)變量 主要連續(xù)型隨機(jī)變量及其分布介紹 均勻分布 指數(shù)分布 伽瑪分布,概率密度函數(shù),對于離散型隨機(jī)變量我們可以用一系列等式來描述其概率分布的情況 而對于連續(xù)型的隨機(jī)變量，由于變量的可能取值是某一區(qū)間內(nèi)的所有值，這時(shí)我們考察事件X = x的概率顯然沒有什么意義，而必須了解事件a b的概率 為此，引進(jìn)概率密度函數(shù)的概念,概率密度函數(shù)的定義,對于隨機(jī)變量X，如果存在非負(fù)可積函數(shù) f (x)，使對任意實(shí)數(shù)a，b ，(a b)，都有： 則稱X為連續(xù)型的隨機(jī)變量，并稱f (x)為X的概率密度函數(shù)(probability density functio

2、n, pdf) 對應(yīng)于離散型隨機(jī)變量， f (x)為X的概率質(zhì)量(mass)函數(shù)， pmf,說明,討論連續(xù)型隨機(jī)變量落如某一區(qū)間的概率時(shí)，不必區(qū)分是否包括區(qū)間端點(diǎn) 隨機(jī)變量落入某一區(qū)間(a，b)的概率等于曲線 y = f (x)在區(qū)間(a，b)上的面積 概率密度函數(shù)y = f (x)滿足概率的基本性質(zhì) 非負(fù)性 正則性,這兩條性質(zhì)是判定函數(shù) f (x) 是否為隨機(jī)變量 X 的概率密度函數(shù)的充 要條件,概率分布函數(shù),設(shè)X是一連續(xù)型隨機(jī)變量，則函數(shù) F(x) = Pr(X x)稱作X的概率分布函數(shù) 與我們前面學(xué)的次數(shù)或頻率累積分布曲線相似 也稱作累積分布函數(shù)，cdf 對于離散型隨機(jī)變量，定義同樣成立

3、 對于任意實(shí)數(shù)x1 x2，隨機(jī)點(diǎn)落入(x1, x2)上的概率為：,分布函數(shù)的特性,如果將X看作是數(shù)軸上的隨機(jī)點(diǎn)的坐標(biāo)，那么F(x)在x處的函數(shù)值就表示點(diǎn)X落入?yún)^(qū)間 (-, x)上的概率 對于連續(xù)型隨機(jī)變量X，分布函數(shù)F(x)與密度函數(shù) f (x) 有如下關(guān)系： F(x)是f (x)的可變上限積分函數(shù) F(x)的取值隨x的不同而不同,F(x),在 f (x)的連續(xù)點(diǎn)處，有 f (x) = F(x) 在可導(dǎo)處x0,這就是概率密度,分布函數(shù)的性質(zhì),0 F(x) 1 F(x)是非減函數(shù) 若x1 x2，有F(x1) F(x2) F(x)右連續(xù) 對于連續(xù)型隨機(jī)變量， F(x)處處連續(xù) 對于離散型型隨機(jī)變量

4、， F(x) = Pr(X x),F(x)右連續(xù),分布函數(shù)與密度函數(shù)的幾何含義,F(x),f ( x),幾種重要的連續(xù)型隨機(jī)變量,均勻分布 指數(shù)分布 伽瑪分布,均勻分布,一個(gè)質(zhì)點(diǎn)在某個(gè)區(qū)間作均勻運(yùn)動(dòng)，以等可能性落在區(qū)間內(nèi)的任意一點(diǎn) 定義：如果隨機(jī)變量X 的概率密度函數(shù)為： 則稱X服從 a，b 區(qū)間上的均勻分布，記作X Ua，b,分布函數(shù),圖示,例5.38,某人要搭乘一列6：00發(fā)出的火車，他打算乘出租車于5：40出發(fā)到火車站，從他家乘汽車 到火車站，在最順利的情況下要10分鐘，在交通最擁擠時(shí)要50分鐘，到火車站后上火車要5分鐘。假定從他家到火車站汽車行駛時(shí)間X在10，50區(qū)間上服從均勻分布，問

5、此人能趕上火車的概率。,練習(xí),秒表最小刻度值為0.01秒。若計(jì)時(shí)精度是取最近的刻度值，求使用該表計(jì)時(shí)產(chǎn)生的隨機(jī)誤差X 的概率密度函數(shù)f (x) ，并計(jì)算誤差的絕對值不超過0.004秒的概率 計(jì)算均勻分布概率的簡便思路： Pr(c X d)=|d-c|/|b-a|,指數(shù)分布,定義：如果隨機(jī)變量X 的概率密度函數(shù)為： 則稱X服從參數(shù)為l 的指數(shù)分布，記作XE(l) 其分布函數(shù)為：,指數(shù)分布的應(yīng)用,常用于描述兩次事件在特定的時(shí)間間隔內(nèi)發(fā)生的概率，如 電子元件的壽命 病人候診的時(shí)間 機(jī)器發(fā)生兩次故障的間隔 銀行自動(dòng)提款機(jī)支付一次現(xiàn)金所花費(fèi)的時(shí)間 其中參數(shù)l 表示在單位時(shí)間內(nèi)，事件發(fā)生的次數(shù),圖形,pd

6、f,cdf,Expondist函數(shù),語法：Expondist(x, lambda, cumulative) x：函數(shù)的數(shù)值；Lambda：參數(shù)值l； Expondist(10,0.2,TRUE) = 0.864665，是一個(gè)概率分布值 Expondist(10,0.2,FALSE) = 0.027067 ，是一個(gè)概率密度值,指數(shù)分布與泊松分布,泊松分布中隨機(jī)變量X描述的是在一段時(shí)間中事件發(fā)生的次數(shù)(離散)，指數(shù)分布描述的則是兩次事件發(fā)生之間的時(shí)間間隔(連續(xù)) 兩種分布有同樣的參數(shù)，但參數(shù)的表述形式有所不同,例5.44,已知某工廠生產(chǎn)的筆記本電池的使用壽命X服從參數(shù)=0.4的指數(shù)分布。廠家承諾，

7、如果電池在半年之內(nèi)不能使用的話，可以免費(fèi)更換。已知能夠正常使用的電池的平均利潤為每個(gè)200元，更換電池的成本為每個(gè)600元，請問該廠家最終的平均利潤為多少？ 我們首先需要計(jì)算一下電池的使用壽命在半年以內(nèi)的概率是多少：P(X0.5)=expondist(0.5,0.4,1)=0.1813。 然后計(jì)算電池的平均（期望）利潤為： 2000.8187-6000.1813=54.96（元）,伽瑪分布,指數(shù)分布和伽瑪分布都可以用來計(jì)算等候時(shí)間、產(chǎn)品可靠度、排隊(duì)問題等 不同的是，在指數(shù)分布中是等待第一個(gè)成功事件所需的時(shí)間，而在伽瑪分布中，則等待第n個(gè)成功事件所需的時(shí)間 定義：如果隨機(jī)變量X概率密度函數(shù)為：

8、其中， a 和b 均大于0 則稱X服從參數(shù)為a 和b 的伽瑪分布,圖形,應(yīng)用,伽瑪分布可以用來計(jì)算等候時(shí)間 在泊松過程中，單位時(shí)間成功次數(shù)為l，那么等候第一個(gè)成功事件出現(xiàn)的時(shí)間平均需要b1/ l，若要等候第n個(gè)成功事件出現(xiàn)，則an GAMMADIST函數(shù) 語法：GAMMADIST(x, alpha, beta, cumulative),例5.45,某個(gè)淘寶熱門小鋪平均而言每分鐘的點(diǎn)擊人數(shù)達(dá)到2人次，那么第50個(gè)訪問者會(huì)在半小時(shí)內(nèi)出現(xiàn)的概率是多少？ 該網(wǎng)站第一位訪問者出現(xiàn)的平均時(shí)間b 1/2分鐘，a 50，x30，根據(jù)伽瑪分布，得到： F(X=30; a 50, b1/2)Gammadist(3

9、0, 50, 1/2, 1) =0.9156。,例5.46,小張每天早上7點(diǎn)半左右搭乘公交車上班，一般而言，平均每10分鐘有一班公交車。今天早上他等了20分鐘還沒有公交車到達(dá)，請問今天的情況是否特別偶然? 公交車抵站可以視為泊松過程，因此等候的時(shí)間服從伽瑪分布 等候第一個(gè)公交車出現(xiàn)的時(shí)間平均需要b10分鐘，小張?jiān)谶@20分鐘的時(shí)間里等待下一輛公交車到達(dá)，所以a1。 等候20分鐘尚無公交車到達(dá)的概率為： P(X20; a 1, b10)=1-P(X=20) =1-Gammadist(20, 1, 10, true) = 1-0.8647 = 0.1353,伽瑪分布與泊松分布,兩種分布都是從泊松過程中產(chǎn)生的 泊松分布是一種離散型隨機(jī)變量分布，它描述的是在一個(gè)連續(xù)的時(shí)間或空間中，事件發(fā)生n次的概率 伽瑪分布則是連續(xù)型隨機(jī)變量分布，它描述的是在一個(gè)泊松過程中，事件發(fā)生n次所需一定時(shí)間的概率 它們之間是否存在著某種對應(yīng)關(guān)系？,伽瑪分布與泊松分布,在例5.45中，我們用伽瑪分布計(jì)算了第50個(gè)訪問者會(huì)在半小時(shí)內(nèi)出現(xiàn)的概率 現(xiàn)在對于這一事件，我們也可以用泊松分布來計(jì)算在半小時(shí)內(nèi)出現(xiàn)至少50個(gè)訪問者的概率 由題意可知l = 230 = 60，其概率值為：1-Poisson(49, 60, 1) = 0.9156，結(jié)果與我們用伽瑪分布計(jì)算的完全一樣！ 因此在求解泊松過程的概率問題時(shí)，