1、2.3 平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示,2.3.1 平面向量基本定理 2.3.2 平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示,問(wèn)題提出,1. 向量加法與減法有哪幾種幾何運(yùn)算法則？,2.怎樣理解向量的數(shù)乘運(yùn)算a？,（1）|a|=|a|；,（2）0時(shí)，a與a方向相同；,0時(shí)，a與a方向相反；,=0時(shí)，a=0.,3.平面向量共線定理是什么？,5.在物理中，力是一個(gè)向量，力的合成就是向量的加法運(yùn)算.力也可以分解，任何一個(gè)大小不為零的力，都可以分解成兩個(gè)不同方向的分力之和.將這種力的分解拓展到向量中來(lái)，就會(huì)形成一個(gè)新的數(shù)學(xué)理論.,平面向量基本定理和 正交分解及坐標(biāo)表示,探究（一）：平面向量基本定理,思考1：給定平面內(nèi)任

2、意兩個(gè)向量e1，e2，如何求作向量3e12e2和e12e2？,思考2：如圖，設(shè)OA，OB，OC為三條共點(diǎn)射線，P為OC上一點(diǎn)，能否在OA、OB上分別找一點(diǎn)M、N，使四邊形OMPN為平行四邊形？,思考7：根據(jù)上述分析，平面內(nèi)任一向量a都可以由這個(gè)平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量e1，e2表示出來(lái)，從而可形成一個(gè)定理.你能完整地描述這個(gè)定理的內(nèi)容嗎？,若e1、e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，則對(duì)于這一平面內(nèi)的任意向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)1，2，使a1e12e2.,思考8：上述定理稱為平面向量基本定理，不共線向量e1，e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底. 那么同一平面內(nèi)可以作基底的向量有多少組？不同基

3、底對(duì)應(yīng)向量a的表示式是否相同？,若e1、e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，則對(duì)于這一平面內(nèi)的任意向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)1，2，使a1e12e2.,探究(二):平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示,0，180,思考2：如果向量a與b的夾角是90，則稱向量a與b垂直，記作ab. 互相垂直的兩個(gè)向量能否作為平面內(nèi)所有向量的一組基底？,思考3：把一個(gè)向量分解為兩個(gè)互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.如圖，向量i、j是兩個(gè)互相垂直的單位向量，向量a與i的夾角是30，且|a|=4，以向量i、j為基底，向量a如何表示？,思考4：在平面直角坐標(biāo)系中，分別取與x軸、y軸方向相同的兩個(gè)單位向量i、j作為基底，對(duì)于平面內(nèi)

4、的一個(gè)向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)x、y，使得 axiyj.我們把有序數(shù)對(duì)（x，y）叫做向量a的坐標(biāo)，記作a(x，y).其中x叫做a在x軸上的坐標(biāo)，y叫做a在y軸 上的坐標(biāo)，上式叫做向量 的坐標(biāo)表示.那么x、y的 幾何意義如何？,思考5：相等向量的坐標(biāo)必然相等，作向量 a，則 (x，y)，此時(shí)點(diǎn)A是坐標(biāo)是什么？,A(x,y),理論遷移,例1 如圖，已知向量e1、e2，求作向量2.5e13e2.,例2 如圖，寫(xiě)出向量a，b，c，d的坐標(biāo).,a=(2,3),b=(-2,3),c=(-2,-3),d=(2,-3),小結(jié)作業(yè),1.平面向量基本定理是建立在向量加法和數(shù)乘運(yùn)算基礎(chǔ)上的向量

5、分解原理，同時(shí)又是向量坐標(biāo)表示的理論依據(jù)，是一個(gè)承前起后的重要知識(shí)點(diǎn).,2.向量的夾角是反映兩個(gè)向量相對(duì)位置關(guān)系的一個(gè)幾何量，平行向量的夾角是0或180，垂直向量的夾角是90.,3.向量的坐標(biāo)表示是一種向量與坐標(biāo)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，它使得向量具有代數(shù)意義.將向量的起點(diǎn)平移到坐標(biāo)原點(diǎn)，則平移后向量的終點(diǎn)坐標(biāo)就是向量的坐標(biāo).,2.3.3 平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算,2.3.4 平面向量共線的坐標(biāo)表示,問(wèn)題提出,1.平面向量的基本定理是什么？,若e1、e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，則對(duì)于這一平面內(nèi)的任意向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)1，2，使a1e12e2.,2.用坐標(biāo)表示向量的基本原理是什么？,設(shè)i、j是與x軸、y

6、軸同向的兩個(gè)單位向量，若axiyj，則a(x，y).,3.用坐標(biāo)表示向量，使得向量具有代數(shù)特征，并且可以將向量的幾何運(yùn)算轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)運(yùn)算，為向量的運(yùn)算拓展一條新的途徑.我們需要研究的問(wèn)題是，向量的和、差、數(shù)乘運(yùn)算，如何轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)運(yùn)算，對(duì)于共線向量如何通過(guò)坐標(biāo)來(lái)反映等.,平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算 及向量共線的坐標(biāo)表示,探究（一）：平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算,思考1：設(shè)i、j是與x軸、y軸同向的兩個(gè)單位向量，若a=(x1，y1),b=(x2，y2),則ax1iy1j，bx2iy2j，,思考2：根據(jù)向量的坐標(biāo)表示，向量 ab，ab，a的坐標(biāo)分別如何？,ab(x1x2，y1y2); ab(x1x2，y1y2); a(

7、x1，y1).,思考3：如何用數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述上述向量的坐標(biāo)運(yùn)算？,兩個(gè)向量和（差）的坐標(biāo)分別等于這兩個(gè)向量相應(yīng)坐標(biāo)的和（差）； 實(shí)數(shù)與向量的積的坐標(biāo)等于用這個(gè)實(shí)數(shù)乘原來(lái)向量的相應(yīng)坐標(biāo).,ab(x1x2，y1y2); ab(x1x2，y1y2); a(x1，y1).,思考4：如圖,已知點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2)， 那么向量 的坐標(biāo)如何？一般地，一個(gè) 任意向量的坐標(biāo)如何計(jì)算？,(x2x1，y2y1).,任意一個(gè)向量的坐標(biāo)等于表示該向量的有向線段的終點(diǎn)坐標(biāo)減去始點(diǎn)坐標(biāo).,思考6：若向量a=(x，y)，則|a|如何計(jì)算？若點(diǎn)A(x1,y1)，B(x2，y2)，則 如何計(jì)算？,探究（二）：平面向量共線的坐標(biāo)表示,思考1：如果向量a，b共線（其中b0），那么a，b滿足什么關(guān)系？,思考2：設(shè)a=(x1，y1),b=(x2，y2)，若向量a，b共線（其中b0），則這兩個(gè)向量的坐標(biāo)應(yīng)滿足什么關(guān)系？反之成立嗎？,ab.,向量a，b（b0）共線,理論遷移,例1 已知a=(2,1), b=(3,4),求 ab，ab，3a4b的坐標(biāo).,ab(1，5)， ab