1、解析幾何課件(第四版),呂林根 許子道等編,第四章 柱面錐面旋轉(zhuǎn)曲面與二次曲面,第五章 二次曲線的一般理論,第一章 向量與坐標(biāo),第三章 平面與空間直線,第二章 軌跡與方程,解析幾何的基本思想是用代數(shù)的方法來(lái)研究幾何,為將代數(shù)運(yùn)算引導(dǎo)幾何中,采用的最根本最有效的做法-有系統(tǒng)的把空間的幾何結(jié)構(gòu)代數(shù)化,數(shù)量化.,1,第一章 向量與坐標(biāo),1.1 向量的概念,1.3 數(shù)乘向量,1.2 向量的加法,1.4 向量的線性關(guān)系與向量的分解,1.6 向量在軸上的射影,1.5 標(biāo)架與坐標(biāo),1.7 兩向量的數(shù)性積,1.9 三向量的混合積,1.8 兩向量的向量積,1.10 向量的雙重向量積,2,第二章 軌跡與方程,2.

2、1 平面曲線的方程,2.2 曲面的方程,2.4 空間曲線的方程,2.3 母線平行于坐標(biāo)軸的柱面方程,3,第三章 平面與空間直線,3.1 平面的方程,3.3 兩平面的相關(guān)位置,3.2 平面與點(diǎn)的相關(guān)位置,3.4 空間直線的方程,3.6 空間兩直線的相關(guān)位置,3.5 直線與平面的相關(guān)位置,3.7 空間直線與點(diǎn)的相關(guān)位置,4,第四章 柱面錐面旋轉(zhuǎn)曲面 與二次曲面,4.1 柱面,4.3 旋轉(zhuǎn)曲面,4.2 錐面,4.4 橢球面,4.5 雙曲面,5,第五章 二次曲線的一般理論,5.1 二次曲線與直線的相關(guān)位置,5.3 二次曲線的切線,5.2 二次曲線的漸近方向、中心、漸近線,5.4 二次曲線的直徑,5.6

3、 二次曲線方程的化簡(jiǎn)與分類(lèi),5.5 二次曲線的主直徑和主方向,5.7 應(yīng)用不變量化簡(jiǎn)二次曲線方程,6,定義1.1.1 既有大小又有方向的量叫做向量，或稱(chēng)矢量.,向量(矢量)既有大小又有方向的量.,向量的幾何表示：,兩類(lèi)量: 數(shù)量(標(biāo)量):可用一個(gè)數(shù)值來(lái)描述的量;,有向線段,有向線段的方向表示向量的方向.,有向線段的長(zhǎng)度表示向量的大小,1.1 向量的概念,返回,下一頁(yè),第一章 向量與坐標(biāo) 1.1 向量的概念,7,所有的零向量都相等.,模為1的向量.,零向量：,模為0的向量.,單位向量：,或,定義1.1.2 如果兩個(gè)向量的模相等且方向相同，那么叫做相等向量.記為,定義1.1.3 兩個(gè)模相等，方向相

4、反的向量叫做互為反向量.,上一頁(yè),下一頁(yè),返回,第一章 向量與坐標(biāo) 1.1 向量的概念,8,零向量與任何共線的向量組共線.,定義1.1.4 平行于同一直線的一組向量叫做共線向量.,定義1.1.5 平行于同一平面的一組向量叫做共面向量.,零向量與任何共面的向量組共面.,上一頁(yè),返回,第一章 向量與坐標(biāo) 1.1 向量的概念,9,O,A,B,這種求兩個(gè)向量和的方法叫三角形法則.,定理1.2.1 如果把兩個(gè)向量 為鄰邊組成一個(gè)平行四邊形OACB，那么對(duì)角線向量,1.2 向量的加法,下一頁(yè),返回,第一章 向量與坐標(biāo) 1.2 向量的加法,10,O,A,B,C,這種求兩個(gè)向量和的方法叫做平行四邊形法則,定理

5、1.2.2 向量的加法滿(mǎn)足下面的運(yùn)算規(guī)律：,（1）交換律：,（2）結(jié)合律：,（3）,上一頁(yè),下一頁(yè),返回,第一章 向量與坐標(biāo) 1.2 向量的加法,11,O,A1,A2,A3,A4,An-1,An,這種求和的方法叫做多邊形法則,上一頁(yè),下一頁(yè),返回,第一章 向量與坐標(biāo) 1.2 向量的加法,12,向量減法,上一頁(yè),下一頁(yè),返回,第一章 向量與坐標(biāo) 1.2 向量的加法,13,上一頁(yè),返回,第一章 向量與坐標(biāo) 1.2 向量的加法,14,上一頁(yè),返回,第一章 向量與坐標(biāo) 1.2 向量的加法,15,上一頁(yè),返回,第一章 向量與坐標(biāo) 1.2 向量的加法,16,1.3 數(shù)乘向量,下一頁(yè),返回,第一章 向量與坐

6、標(biāo) 1.3 數(shù)乘向量,17,定理1.3.1 數(shù)與向量的乘積符合下列運(yùn)算規(guī)律：,（1）結(jié)合律：,（2）第一分配律：,兩個(gè)向量的平行關(guān)系,（3）第二分配律：,上一頁(yè),下一頁(yè),返回,第一章 向量與坐標(biāo) 1.3 數(shù)乘向量,18,證,充分性顯然；,必要性,兩式相減，得,上一頁(yè),下一頁(yè),返回,第一章 向量與坐標(biāo) 1.3 數(shù)乘向量,19,按照向量與數(shù)的乘積的規(guī)定，,上式表明：一個(gè)非零向量除以它的模的結(jié)果是一個(gè)與原向量同方向的單位向量.,上一頁(yè),下一頁(yè),返回,第一章 向量與坐標(biāo) 1.3 數(shù)乘向量,20,例1設(shè)AM是三角形ABC的中線，求證:,證,如圖,因?yàn)?所以,但,因而,即,上一頁(yè),下一頁(yè),返回,第一章 向

7、量與坐標(biāo) 1.3 數(shù)乘向量,21,例2 用向量方法證明：聯(lián)結(jié)三角形兩邊中點(diǎn)的線段平行于第三邊且等于第三邊的一半.,證,設(shè)ABC兩邊AB，AC之中點(diǎn)分別為M，N，那么,所以,且,上一頁(yè),返回,第一章 向量與坐標(biāo) 1.3 數(shù)乘向量,22,1.4 向量的線性關(guān)系與向量的分解,下一頁(yè),返回,第一章 向量與坐標(biāo) 1.4向量的線性關(guān)系與向量的分解,23,上一頁(yè),下一頁(yè),返回,第一章 向量與坐標(biāo) 1.4向量的線性關(guān)系與向量的分解,24,例2 證明四面體對(duì)邊中點(diǎn)的連線交于一點(diǎn)，且互相平分.,A,B,C,D,E,F,P1,e1,e2,e3,上一頁(yè),下一頁(yè),返回,第一章 向量與坐標(biāo) 1.4向量的線性關(guān)系與向量的分

8、解,25,連接AF，因?yàn)锳P1是AEF 的中線，所以有,又因?yàn)锳F是ACD 的中線，所以又有,上一頁(yè),下一頁(yè),返回,第一章 向量與坐標(biāo) 1.4向量的線性關(guān)系與向量的分解,26,上一頁(yè),下一頁(yè),返回,第一章 向量與坐標(biāo) 1.4向量的線性關(guān)系與向量的分解,27,上一頁(yè),下一頁(yè),返回,第一章 向量與坐標(biāo) 1.4向量的線性關(guān)系與向量的分解,28,橫軸,縱軸,豎軸,定點(diǎn),空間直角坐標(biāo)系,三個(gè)坐標(biāo)軸的正方向符合右手系.,1.5 標(biāo)架與坐標(biāo),下一頁(yè),返回,第一章 向量與坐標(biāo) 1.5 標(biāo)架與坐標(biāo),29,面,面,面,空間直角坐標(biāo)系共有八個(gè)卦限,2、坐標(biāo)面與卦限,上一頁(yè),下一頁(yè),返回,第一章 向量與坐標(biāo) 1.5

9、標(biāo)架與坐標(biāo),30,空間的點(diǎn),有序數(shù)組,特殊點(diǎn)的表示:,坐標(biāo)軸上的點(diǎn),坐標(biāo)面上的點(diǎn),稱(chēng)為點(diǎn)M的坐標(biāo)，x稱(chēng)為橫坐標(biāo), y稱(chēng)為縱坐標(biāo)， z稱(chēng)為豎坐標(biāo).,3、空間點(diǎn)的直角坐標(biāo),上一頁(yè),下一頁(yè),返回,第一章 向量與坐標(biāo) 1.5 標(biāo)架與坐標(biāo),31,稱(chēng)為向量 的坐標(biāo)分解式.,4、空間向量的坐標(biāo),上一頁(yè),下一頁(yè),返回,第一章 向量與坐標(biāo) 1.5 標(biāo)架與坐標(biāo),32,顯然，,向量的坐標(biāo)：,向徑：,在三個(gè)坐標(biāo)軸上的分向量：,(點(diǎn)M關(guān)于原點(diǎn)O),上一頁(yè),下一頁(yè),返回,第一章 向量與坐標(biāo) 1.5 標(biāo)架與坐標(biāo),33,5、利用坐標(biāo)作向量的線性運(yùn)算,向量的加減法、向量與數(shù)的乘法運(yùn)算的坐標(biāo)表達(dá)式,上一頁(yè),下一頁(yè),返回,第一章

10、向量與坐標(biāo) 1.5 標(biāo)架與坐標(biāo),34,解,6、線段的定比分點(diǎn)坐標(biāo),上一頁(yè),下一頁(yè),返回,第一章 向量與坐標(biāo) 1.5 標(biāo)架與坐標(biāo),35,由題意知：,上一頁(yè),下一頁(yè),返回,第一章 向量與坐標(biāo) 1.5 標(biāo)架與坐標(biāo),36,定理1.5.4 已知兩個(gè)非零向量,7、其它相關(guān)定理,則,共線的充要條件是,定理1.5.6 已知三個(gè)非零向量,，則,共面的充要條件是,上一頁(yè),返回,第一章 向量與坐標(biāo) 1.5 標(biāo)架與坐標(biāo),37,空間一點(diǎn)在軸上的射影,1.6 向量在軸上的射影,下一頁(yè),返回,第一章 向量與坐標(biāo) 1.6向量在軸上的射影,38,空間一向量在軸上的射影,上一頁(yè),下一頁(yè),返回,第一章 向量與坐標(biāo) 1.6向量在軸上

11、的射影,39,關(guān)于向量的射影定理（1.6.1）,證,由此定義，,上一頁(yè),下一頁(yè),返回,第一章 向量與坐標(biāo) 1.6向量在軸上的射影,40,定理1的說(shuō)明：,射影為正；,射影為負(fù)；,射影為零；,(4) 相等向量在同一軸上射影相等；,上一頁(yè),下一頁(yè),返回,第一章 向量與坐標(biāo) 1.6向量在軸上的射影,41,關(guān)于向量的射影定理（1.6.2）,（可推廣到有限多個(gè)）,上一頁(yè),下一頁(yè),返回,第一章 向量與坐標(biāo) 1.6向量在軸上的射影,42,關(guān)于向量的射影定理（1.6.3）,上一頁(yè),下一頁(yè),返回,第一章 向量與坐標(biāo) 1.6向量在軸上的射影,43,解,上一頁(yè),返回,第一章 向量與坐標(biāo) 1.6向量在軸上的射影,44,

12、啟示,實(shí)例,兩向量作這樣的運(yùn)算, 結(jié)果是一個(gè)數(shù)量.,M1,M2,1.7 兩向量的數(shù)量積,下一頁(yè),返回,第一章 向量與坐標(biāo) 1.7 兩向量的數(shù)量積,45,數(shù)量積也稱(chēng)為“點(diǎn)積”、“內(nèi)積”.,結(jié)論 兩向量的數(shù)量積等于其中一個(gè)向量的模和另一個(gè)向量在這向量的方向上的射影的乘積.,定義,上一頁(yè),下一頁(yè),返回,第一章 向量與坐標(biāo) 1.7 兩向量的數(shù)量積,46,關(guān)于數(shù)量積的說(shuō)明：,證,證,上一頁(yè),下一頁(yè),返回,第一章 向量與坐標(biāo) 1.7 兩向量的數(shù)量積,47,數(shù)量積符合下列運(yùn)算規(guī)律：,（1）交換律：,（2）分配律：,若 、 為數(shù)：,（3）若 為數(shù)：,上一頁(yè),下一頁(yè),返回,第一章 向量與坐標(biāo) 1.7 兩向量的數(shù)

13、量積,48,設(shè),數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式,上一頁(yè),下一頁(yè),返回,第一章 向量與坐標(biāo) 1.7 兩向量的數(shù)量積,49,由勾股定理,向量模的坐標(biāo)表示式,向量的模與空間兩點(diǎn)間距離公式,上一頁(yè),下一頁(yè),返回,第一章 向量與坐標(biāo) 1.7 兩向量的數(shù)量積,50,為空間兩點(diǎn).,空間兩點(diǎn)間距離公式,上一頁(yè),下一頁(yè),返回,第一章 向量與坐標(biāo) 1.7 兩向量的數(shù)量積,51,空間兩向量的夾角的概念：,類(lèi)似地，可定義向量與一軸或空間兩軸的夾角.,特殊地，當(dāng)兩個(gè)向量中有一個(gè)零向量時(shí)，規(guī)定它們的夾角可在0與 之間任意取值.,方向角與方向余弦的坐標(biāo)表示式,上一頁(yè),下一頁(yè),返回,第一章 向量與坐標(biāo) 1.7 兩向量的數(shù)量積,52,非零

14、向量 的方向角：,非零向量與三條坐標(biāo)軸的正向的夾角稱(chēng)為方向角.,上一頁(yè),下一頁(yè),返回,第一章 向量與坐標(biāo) 1.7 兩向量的數(shù)量積,53,由圖分析可知,向量的方向余弦,方向余弦通常用來(lái)表示向量的方向.,上一頁(yè),下一頁(yè),返回,第一章 向量與坐標(biāo) 1.7 兩向量的數(shù)量積,54,當(dāng) 時(shí)，,向量方向余弦的坐標(biāo)表示式,上一頁(yè),下一頁(yè),返回,第一章 向量與坐標(biāo) 1.7 兩向量的數(shù)量積,55,方向余弦的特征,上式表明，以向量 的方向余弦為坐標(biāo)的向量就是與 同方向的單位向量,上一頁(yè),返回,第一章 向量與坐標(biāo) 1.7 兩向量的數(shù)量積,56,兩向量夾角余弦的坐標(biāo)表示式,由此可知兩向量垂直的充要條件為：,上一頁(yè),下一

15、頁(yè),返回,第一章 向量與坐標(biāo) 1.7 兩向量的數(shù)量積,57,解,上一頁(yè),下一頁(yè),返回,第一章 向量與坐標(biāo) 1.7 兩向量的數(shù)量積,58,證,上一頁(yè),下一頁(yè),返回,第一章 向量與坐標(biāo) 1.7 兩向量的數(shù)量積,59,1.8 兩向量的向量積,下一頁(yè),返回,第一章 向量與坐標(biāo) 1.8 兩向量的向量積,60,上一頁(yè),下一頁(yè),返回,第一章 向量與坐標(biāo) 1.8 兩向量的向量積,61,上一頁(yè),下一頁(yè),返回,第一章 向量與坐標(biāo) 1.8 兩向量的向量積,62,上一頁(yè),下一頁(yè),返回,第一章 向量與坐標(biāo) 1.8 兩向量的向量積,63,上一頁(yè),返回,第一章 向量與坐標(biāo) 1.8 兩向量的向量積,64,定義,設(shè),混合積的坐

16、標(biāo)表達(dá)式,1.9 三向量的混合積,下一頁(yè),返回,第一章 向量與坐標(biāo) 1.9 三向量的混合積,65,（1）向量混合積的幾何意義：,關(guān)于混合積的說(shuō)明：,上一頁(yè),下一頁(yè),返回,第一章 向量與坐標(biāo) 1.9 三向量的混合積,66,解,例1,上一頁(yè),下一頁(yè),返回,第一章 向量與坐標(biāo) 1.9 三向量的混合積,67,解,上一頁(yè),下一頁(yè),返回,第一章 向量與坐標(biāo) 1.9 三向量的混合積,68,式中正負(fù)號(hào)的選擇必須和行列式的符號(hào)一致.,上一頁(yè),返回,第一章 向量與坐標(biāo) 1.9 三向量的混合積,69,1.10 三向量的三重向量積,返回,上一頁(yè),下一頁(yè),第一章 向量與坐標(biāo) 1.10 三向量的三重向量積,定義1.10.

17、1 給定空間三向量,先作其中兩個(gè)向量的向量積,再作所得向量與第三個(gè)向量的向量積,那么最后的結(jié)果仍然是一向量,叫做所給三向量的雙重向量積.,例:,就是三向量,的一個(gè)雙重向量積.,70,空間曲線的一般方程,曲線上的點(diǎn)都滿(mǎn)足方程，不在曲線上的點(diǎn)不能同時(shí)滿(mǎn)足兩個(gè)方程.,空間曲線C可看作空間兩曲面的交線.,特點(diǎn)：,2.1 平面曲線的方程,下一頁(yè),返回,第二章 軌跡與方程2.1 平面曲線的方程,71,例1 方程組 表示怎樣的曲線？,解,表示圓柱面，,表示平面，,交線為橢圓.,上一頁(yè),下一頁(yè),返回,第二章 軌跡與方程2.1 平面曲線的方程,72,例2 方程組,解,上半球面,圓柱面,交線如圖.,表示怎樣的曲線

18、？,上一頁(yè),返回,第二章 軌跡與方程2.1 平面曲線的方程,73,水桶的表面、臺(tái)燈的罩子面等,曲面在空間解析幾何中被看成是點(diǎn)的幾何軌跡,曲面方程的定義：,曲面的實(shí)例：,2.2 曲面的方程,下一頁(yè),返回,第二章 軌跡與方程2.2 曲面的方程,74,根據(jù)題意有,化簡(jiǎn)得所求方程,解,上一頁(yè),下一頁(yè),返回,第二章 軌跡與方程2.2 曲面的方程,75,解,根據(jù)題意有,所求方程為,上一頁(yè),下一頁(yè),返回,第二章 軌跡與方程2.2 曲面的方程,76,以下給出幾例常見(jiàn)的曲面.,解,根據(jù)題意有,所求方程為,特殊地：球心在原點(diǎn)時(shí)方程為,上一頁(yè),下一頁(yè),返回,第二章 軌跡與方程2.2 曲面的方程,77,得上、下半球面

19、的方程分別是：,當(dāng) A2+B2+C2-4D 0 時(shí), 是球面方程.,由,由上述方程可得球面的一般式方程為：,反之，由一般式方程（*），經(jīng)過(guò)配方又可得到：,x2 + y2 + z2 + Ax + By + Cz + D = 0 （*）,(x+A/2)2+(y+B/2)2+(z+C/2)2=(A2+B2+C2-4D)/4,上一頁(yè),下一頁(yè),返回,第二章 軌跡與方程2.2 曲面的方程,78,例4 方程 的圖形是怎樣的？,根據(jù)題意有,圖形上不封頂，下封底,解,以上方法稱(chēng)為截痕法.,上一頁(yè),下一頁(yè),返回,第二章 軌跡與方程2.2 曲面的方程,79,以上幾例表明研究空間曲面有兩個(gè)基本問(wèn)題：,（2）已知坐標(biāo)間

20、的關(guān)系式，研究曲面形狀,（討論旋轉(zhuǎn)曲面）,（討論柱面、二次曲面）,（1）已知曲面作為點(diǎn)的軌跡時(shí)，求曲面方程,上一頁(yè),返回,第二章 軌跡與方程2.2 曲面的方程,80,二、曲面的參數(shù)方程,第二章 軌跡與方程2.2 曲面的方程,81,二、曲面的參數(shù)方程,例7 求以z 軸為對(duì)稱(chēng)軸，半徑為R 的圓柱面的參數(shù)方程.,注意 空間曲面的參數(shù)方程的表達(dá)式不是惟一的.,第二章 軌跡與方程2.2 曲面的方程,82,拋物柱面,平面,拋物柱面方程：,平面方程：,2.3 母線平行于坐標(biāo)軸的柱面方程,下一頁(yè),返回,第二章 軌跡與方程2.3 母線平行于坐標(biāo)軸的柱面方程,83,從柱面方程看柱面的特征：,（其他類(lèi)推）,實(shí) 例,

21、橢圓柱面，,雙曲柱面 ，,拋物柱面，,母線/ 軸,母線/ 軸,母線/ 軸,上一頁(yè),下一頁(yè),返回,第二章 軌跡與方程2.3 母線平行于坐標(biāo)軸的柱面方程,84,a,b,橢圓柱面,上一頁(yè),下一頁(yè),返回,第二章 軌跡與方程2.3 母線平行于坐標(biāo)軸的柱面方程,85,y,o,雙曲柱面,上一頁(yè),下一頁(yè),返回,第二章 軌跡與方程2.3 母線平行于坐標(biāo)軸的柱面方程,86,拋物柱面,上一頁(yè),返回,第二章 軌跡與方程2.3 母線平行于坐標(biāo)軸的柱面方程,87,空間曲線的一般方程,曲線上的點(diǎn)都滿(mǎn)足方程，不在曲線上的點(diǎn)不能同時(shí)滿(mǎn)足兩個(gè)方程.,空間曲線C可看作空間兩曲面的交線.,特點(diǎn)：,下一頁(yè),返回,2.4 空間曲線的方程

22、,第二章 軌跡與方程2.4 空間曲線的方程,88,例1 方程組 表示怎樣的曲線？,解,表示圓柱面，,表示平面，,交線為橢圓.,上一頁(yè),下一頁(yè),返回,第二章 軌跡與方程2.4 空間曲線的方程,89,例2 方程組,解,上半球面,圓柱面,交線如圖.,表示怎樣的曲線？,上一頁(yè),返回,第二章 軌跡與方程2.4 空間曲線的方程,90,空間曲線的參數(shù)方程,二、空間曲線的參數(shù)方程,下一頁(yè),返回,第二章 軌跡與方程2.4 空間曲線的方程,91,動(dòng)點(diǎn)從A點(diǎn)出發(fā)，經(jīng)過(guò)t時(shí)間，運(yùn)動(dòng)到M點(diǎn),螺旋線的參數(shù)方程,取時(shí)間t為參數(shù)，,解,上一頁(yè),下一頁(yè),返回,第二章 軌跡與方程2.4 空間曲線的方程,92,螺旋線的參數(shù)方程還可

23、以寫(xiě)為,螺旋線的重要性質(zhì)：,上升的高度與轉(zhuǎn)過(guò)的角度成正比 即,上升的高度,螺距,上一頁(yè),返回,第二章 軌跡與方程2.4 空間曲線的方程,93,如果一非零向量垂直于一平面，這向量就叫做該平面的法線向量,法線向量的特征：,垂直于平面內(nèi)的任一向量,已知,設(shè)平面上的任一點(diǎn)為,必有,一、平面的點(diǎn)法式方程,3.1 平面的方程,下一頁(yè),返回,第三章 平面與空間直線3.1 平面的方程,94,平面的點(diǎn)法式方程,平面上的點(diǎn)都滿(mǎn)足上方程，不在平面上的點(diǎn)都不滿(mǎn)足上方程，上方程稱(chēng)為平面的方程，平面稱(chēng)為方程的圖形,其中法向量,已知點(diǎn),上一頁(yè),下一頁(yè),返回,第三章 平面與空間直線3.1 平面的方程,95,解,所求平面方程為

24、,化簡(jiǎn)得,上一頁(yè),下一頁(yè),返回,第三章 平面與空間直線3.1 平面的方程,96,取法向量,化簡(jiǎn)得,所求平面方程為,解,上一頁(yè),下一頁(yè),返回,第三章 平面與空間直線3.1 平面的方程,97,由平面的點(diǎn)法式方程,平面的一般方程,法向量,二、平面的一般式方程,？,，為一平面.,上一頁(yè),下一頁(yè),返回,第三章 平面與空間直線3.1 平面的方程,98,平面一般式方程的幾種特殊情況：,平面通過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)；,平面通過(guò) 軸；,平面平行于 軸；,平面平行于 坐標(biāo)面；,類(lèi)似地可討論 情形.,類(lèi)似地可討論 情形.,平面的一般方程,上一頁(yè),下一頁(yè),返回,第三章 平面與空間直線3.1 平面的方程,99,設(shè)平面為,由平面過(guò)原

25、點(diǎn)知,所求平面方程為,解,上一頁(yè),下一頁(yè),返回,第三章 平面與空間直線3.1 平面的方程,100,設(shè)平面為,將三點(diǎn)坐標(biāo)代入得,解,上一頁(yè),下一頁(yè),返回,第三章 平面與空間直線3.1 平面的方程,101,將,代入所設(shè)方程得,平面的截距式方程,上一頁(yè),下一頁(yè),返回,第三章 平面與空間直線3.1 平面的方程,102,設(shè)平面為,由所求平面與已知平面平行得,（向量平行的充要條件）,解,上一頁(yè),下一頁(yè),返回,第三章 平面與空間直線3.1 平面的方程,103,化簡(jiǎn)得,令,所求平面方程為,或,上一頁(yè),返回,第三章 平面與空間直線3.1 平面的方程,104,解,3.2 平面與點(diǎn)的相關(guān)位置,下一頁(yè),返回,第三章

26、平面與空間直線3.2 平面與點(diǎn)的相關(guān)位置,105,上一頁(yè),下一頁(yè),返回,第三章 平面與空間直線3.2 平面與點(diǎn)的相關(guān)位置,106,點(diǎn)到平面距離公式,上一頁(yè),下一頁(yè),返回,第三章 平面與空間直線3.2 平面與點(diǎn)的相關(guān)位置,107,在第一個(gè)平面內(nèi)任取一點(diǎn)，比如（0，0，1），,上一頁(yè),返回,第三章 平面與空間直線3.2 平面與點(diǎn)的相關(guān)位置,108,定義,（通常取銳角）,兩平面法向量之間的夾角稱(chēng)為兩平面的夾角.,3.3 兩平面的相關(guān)位置,下一頁(yè),返回,第三章 平面與空間直線3.3 兩平面的相關(guān)位置,109,按照兩向量夾角余弦公式有,兩平面夾角余弦公式,兩平面位置特征：,/,上一頁(yè),下一頁(yè),返回,第三

27、章 平面與空間直線3.3 兩平面的相關(guān)位置,110,例1 研究以下各組里兩平面的位置關(guān)系：,解,兩平面相交，夾角,上一頁(yè),下一頁(yè),返回,第三章 平面與空間直線3.3 兩平面的相關(guān)位置,111,兩平面平行,兩平面平行但不重合,兩平面平行,兩平面重合.,上一頁(yè),返回,第三章 平面與空間直線3.3 兩平面的相關(guān)位置,112,定義,空間直線可看成兩平面的交線,空間直線的一般方程,（注：兩平面不平行）,一、空間直線的一般方程,3.4 空間直線的方程,下一頁(yè),返回,第三章 平面與空間直線3.4 空間直線的方程,113,方向向量的定義：,如果一非零向量平行于一條已知直線，這個(gè)向量稱(chēng)為這條直線的方向向量,二、

28、空間直線的對(duì)稱(chēng)式方程,直線的對(duì)稱(chēng)式方程 （點(diǎn)向式方程）,上一頁(yè),下一頁(yè),返回,第三章 平面與空間直線3.4 空間直線的方程,114,上一頁(yè),下一頁(yè),返回,第三章 平面與空間直線3.4 空間直線的方程,115,因此,所求直線方程為,例1 求過(guò)點(diǎn)(1,0,-2)且與平面3x+4y-z+6=0平行,又與直 線 垂直的直線方程.,解: 設(shè)所求線的方向向量為,已知平面的法向量,已知直線的方向向量,取,上一頁(yè),下一頁(yè),返回,第三章 平面與空間直線3.4 空間直線的方程,116,三、空間直線的參數(shù)式方程,令,方向向量的余弦稱(chēng)為直線的方向余弦.,直線的參數(shù)方程,由直線的對(duì)稱(chēng)式方程,上一頁(yè),下一頁(yè),返回,第三章

29、 平面與空間直線3.4 空間直線的方程,117,例2 用對(duì)稱(chēng)式方程及參數(shù)方程表示直線,解,在直線上任取一點(diǎn),取,解得,點(diǎn)坐標(biāo),上一頁(yè),下一頁(yè),返回,第三章 平面與空間直線3.4 空間直線的方程,118,因所求直線與兩平面的法向量都垂直,取,對(duì)稱(chēng)式方程,得參數(shù)方程,令,上一頁(yè),下一頁(yè),返回,第三章 平面與空間直線3.4 空間直線的方程,119,解,所以交點(diǎn)為,所求直線方程,上一頁(yè),返回,第三章 平面與空間直線3.4 空間直線的方程,120,定義,直線和它在平面上的射影直線的夾角 稱(chēng)為直線與平面的夾角,3.5 直線與平面的相關(guān)位置,下一頁(yè),返回,第三章 平面與空間直線3.5 直線與平面的相關(guān)位置,

30、121,直線與平面的夾角公式,直線與平面的位置關(guān)系：,/,上一頁(yè),下一頁(yè),返回,第三章 平面與空間直線3.5 直線與平面的相關(guān)位置,122,解,為所求夾角,上一頁(yè),下一頁(yè),返回,第三章 平面與空間直線3.5 直線與平面的相關(guān)位置,123,直線與平面的交點(diǎn),上一頁(yè),下一頁(yè),返回,第三章 平面與空間直線3.5 直線與平面的相關(guān)位置,124,分析: 關(guān)鍵是求得直線上另外 一個(gè)點(diǎn) M1. M1在過(guò)M且平行 于 平面 P 的一個(gè)平面P1上, 待求直線又與已知直線相交, 交點(diǎn)既在P1上,又在 L上,因此是L與P1的交點(diǎn).,例2 求過(guò)點(diǎn) M (-1,2,-3), 且平行于平面,又與直線,相交的直線方程.,解

31、 過(guò)M作平行于 平面 P 的一個(gè)平P1,上一頁(yè),下一頁(yè),返回,第三章 平面與空間直線3.5 直線與平面的相關(guān)位置,125,求平面 P1與已知直線 L的交點(diǎn),P1:,即P1:,上一頁(yè),返回,第三章 平面與空間直線3.5 直線與平面的相關(guān)位置,126,定義,直線,直線,兩直線的方向向量的夾角稱(chēng)之為該兩直線的夾角.（銳角）,兩直線的夾角公式,3.6 空間兩直線的相關(guān)位置,下一頁(yè),返回,第三章 平面與空間直線3.6 空間兩直線的相關(guān)位置,127,兩直線的位置關(guān)系：,直線,直線,例如，,上一頁(yè),下一頁(yè),返回,第三章 平面與空間直線3.6 空間兩直線的相關(guān)位置,128,解,設(shè)所求直線的方向向量為,根據(jù)題意

32、知,取,所求直線的方程,上一頁(yè),下一頁(yè),返回,第三章 平面與空間直線3.6 空間兩直線的相關(guān)位置,129,解,先作一過(guò)點(diǎn)M且與已知 直線垂直的平面,再求已知直線與該平面的交點(diǎn)N,令,M,N,L,上一頁(yè),下一頁(yè),返回,第三章 平面與空間直線3.6 空間兩直線的相關(guān)位置,130,代入平面方程得 ,交點(diǎn),取所求直線的方向向量為,所求直線方程為,上一頁(yè),返回,第三章 平面與空間直線3.6 空間兩直線的相關(guān)位置,131,P1,于是,點(diǎn)到直線的距離公式,3.7 空間直線與點(diǎn)的相關(guān)位置,下一頁(yè),返回,第三章 平面與空間直線3.7 空間直線與點(diǎn)的相關(guān)位置,132,解,上一頁(yè),返回,第三章 平面與空間直線3.7

33、 空間直線與點(diǎn)的相關(guān)位置,133,水桶的表面、臺(tái)燈的罩子面等,曲面在空間解析幾何中被看成是點(diǎn)的幾何軌跡,曲面方程的定義：,曲面的實(shí)例：,4.1 柱面,下一頁(yè),返回,第四章 柱面、錐面、旋轉(zhuǎn)曲面與二次曲面 4.1 柱面,134,觀察柱面的形成過(guò)程:,定義4.1.1 平行于定直線并沿定曲線移動(dòng)的直線所形成的曲面稱(chēng)為柱面.,這條定曲線叫柱面的準(zhǔn)線，動(dòng)直線叫柱面的母線.,母線,準(zhǔn)線,上一頁(yè),下一頁(yè),返回,第四章 柱面、錐面、旋轉(zhuǎn)曲面與二次曲面 4.1 柱面,135,柱面舉例：,拋物柱面,平面,拋物柱面方程：,平面方程：,上一頁(yè),下一頁(yè),返回,第四章 柱面、錐面、旋轉(zhuǎn)曲面與二次曲面 4.1 柱面,136

34、,從柱面方程看柱面的特征：,（其他類(lèi)推）,實(shí) 例,橢圓柱面，,雙曲柱面 ，,拋物柱面，,母線/ 軸,母線/ 軸,母線/ 軸,上一頁(yè),下一頁(yè),返回,第四章 柱面、錐面、旋轉(zhuǎn)曲面與二次曲面 4.1 柱面,137,1. 橢圓柱面,2. 雙曲柱面,上一頁(yè),返回,第四章 柱面、錐面、旋轉(zhuǎn)曲面與二次曲面 4.1 柱面,138,定義4.2.1 通過(guò)一定點(diǎn)且與定曲線相交的一族直線所產(chǎn)生的曲面叫做錐面.,這些直線都叫做錐面的母線.,那個(gè)定點(diǎn)叫做錐面的頂點(diǎn).,錐面的方程是一個(gè)三元方程.,特別當(dāng)頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)：,4.2 錐面,下一頁(yè),返回,第四章 柱面、錐面、旋轉(zhuǎn)曲面與二次曲面 4.2 錐面,139,n次齊次方程

35、,F(x,y,z)= 0,的圖形是以原點(diǎn)為頂點(diǎn)的錐面；,方程 F(x,y,z)= 0是 n次齊次方程：,準(zhǔn)線,頂點(diǎn),F(x,y,z)= 0.,反之，以原點(diǎn)為頂點(diǎn)的錐面的方程是n次齊次方程,錐面是直紋面,錐面的準(zhǔn)線不唯一，和一切母線都相交的每一條曲線都可以作為它的母線.,上一頁(yè),下一頁(yè),返回,第四章 柱面、錐面、旋轉(zhuǎn)曲面與二次曲面 4.2 錐面,140,請(qǐng)同學(xué)們自己用截痕法 研究其形狀.,橢圓錐面,上一頁(yè),下一頁(yè),返回,第四章 柱面、錐面、旋轉(zhuǎn)曲面與二次曲面 4.2 錐面,141,解,圓錐面方程,或,上一頁(yè),返回,第四章 柱面、錐面、旋轉(zhuǎn)曲面與二次曲面 4.2 錐面,142,定義4.3.1 以一

36、條曲線繞其一條定直線旋轉(zhuǎn)一周所產(chǎn)生的曲面稱(chēng)為旋轉(zhuǎn)曲面或稱(chēng)回旋曲面.,這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的旋轉(zhuǎn)軸,這條曲線叫旋轉(zhuǎn)曲面的母線,4.3 旋轉(zhuǎn)曲面,下一頁(yè),返回,第四章 柱面、錐面、旋轉(zhuǎn)曲面與二次曲面 4.3 旋轉(zhuǎn)曲面,143,曲線 C,C,繞 z軸,上一頁(yè),下一頁(yè),返回,第四章 柱面、錐面、旋轉(zhuǎn)曲面與二次曲面 4.3 旋轉(zhuǎn)曲面,144,曲線 C,C,繞z軸,.,上一頁(yè),下一頁(yè),返回,第四章 柱面、錐面、旋轉(zhuǎn)曲面與二次曲面 4.3 旋轉(zhuǎn)曲面,145,曲線 C,旋轉(zhuǎn)一周得旋轉(zhuǎn)曲面 S,C,S,M,N,z,P,y,z,o,繞 z軸,.,f (y1, z1)=0,M(x,y,z),., S,上一頁(yè),下一頁(yè)

37、,返回,第四章 柱面、錐面、旋轉(zhuǎn)曲面與二次曲面 4.3 旋轉(zhuǎn)曲面,146,曲線 C,旋轉(zhuǎn)一周得旋轉(zhuǎn)曲面 S,C,S,M,N,z,P,.,繞 z軸,.,.,f (y1, z1)=0,M(x,y,z),f (y1, z1)=0,f (y1, z1)=0,., S,上一頁(yè),下一頁(yè),返回,第四章 柱面、錐面、旋轉(zhuǎn)曲面與二次曲面 4.3 旋轉(zhuǎn)曲面,147,建立旋轉(zhuǎn)曲面的方程：,如圖,將 代入,得方程,上一頁(yè),下一頁(yè),返回,第四章 柱面、錐面、旋轉(zhuǎn)曲面與二次曲面 4.3 旋轉(zhuǎn)曲面,148,方程,上一頁(yè),下一頁(yè),返回,第四章 柱面、錐面、旋轉(zhuǎn)曲面與二次曲面 4.3 旋轉(zhuǎn)曲面,149,例1 將下列各曲線繞對(duì)應(yīng)

38、的軸旋轉(zhuǎn)一周，求生成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程,旋轉(zhuǎn)雙葉雙曲面,上一頁(yè),下一頁(yè),返回,第四章 柱面、錐面、旋轉(zhuǎn)曲面與二次曲面 4.3 旋轉(zhuǎn)曲面,150,旋轉(zhuǎn)單葉雙曲面,上一頁(yè),下一頁(yè),返回,第四章 柱面、錐面、旋轉(zhuǎn)曲面與二次曲面 4.3 旋轉(zhuǎn)曲面,151,旋轉(zhuǎn)橢球面,上一頁(yè),下一頁(yè),返回,第四章 柱面、錐面、旋轉(zhuǎn)曲面與二次曲面 4.3 旋轉(zhuǎn)曲面,152,旋轉(zhuǎn)拋物面,上一頁(yè),下一頁(yè),返回,第四章 柱面、錐面、旋轉(zhuǎn)曲面與二次曲面 4.3 旋轉(zhuǎn)曲面,153,幾種 特殊旋轉(zhuǎn)曲面,1 雙葉旋轉(zhuǎn)曲面 2 單葉旋轉(zhuǎn)曲面 3 旋轉(zhuǎn)錐面 4 旋轉(zhuǎn)拋物面 5 環(huán)面,上一頁(yè),下一頁(yè),返回,第四章 柱面、錐面、旋轉(zhuǎn)曲面與二次曲

39、面 4.3 旋轉(zhuǎn)曲面,154,x,0,1 雙葉旋轉(zhuǎn)雙曲面,繞 x 軸一周,上一頁(yè),下一頁(yè),返回,第四章 柱面、錐面、旋轉(zhuǎn)曲面與二次曲面 4.3 旋轉(zhuǎn)曲面,155,x,0,.,繞 x 軸一周,1 雙葉旋轉(zhuǎn)雙曲面,上一頁(yè),下一頁(yè),返回,第四章 柱面、錐面、旋轉(zhuǎn)曲面與二次曲面 4.3 旋轉(zhuǎn)曲面,156,x,0,.,1 雙葉旋轉(zhuǎn)雙曲面,.,繞 x 軸一周,上一頁(yè),下一頁(yè),返回,第四章 柱面、錐面、旋轉(zhuǎn)曲面與二次曲面 4.3 旋轉(zhuǎn)曲面,157,a,2 單葉旋轉(zhuǎn)雙曲面,上題雙曲線,繞 y 軸一周,上一頁(yè),下一頁(yè),返回,第四章 柱面、錐面、旋轉(zhuǎn)曲面與二次曲面 4.3 旋轉(zhuǎn)曲面,158,a,.,上題雙曲線,繞

40、 y 軸一周,2 單葉旋轉(zhuǎn)雙曲面,上一頁(yè),下一頁(yè),返回,第四章 柱面、錐面、旋轉(zhuǎn)曲面與二次曲面 4.3 旋轉(zhuǎn)曲面,159,a,.,.,.,2 單葉旋轉(zhuǎn)雙曲面,上題雙曲線,繞 y 軸一周,上一頁(yè),下一頁(yè),返回,第四章 柱面、錐面、旋轉(zhuǎn)曲面與二次曲面 4.3 旋轉(zhuǎn)曲面,160,3 旋轉(zhuǎn)錐面,兩條相交直線,繞 x 軸一周,上一頁(yè),下一頁(yè),返回,第四章 柱面、錐面、旋轉(zhuǎn)曲面與二次曲面 4.3 旋轉(zhuǎn)曲面,161,.,兩條相交直線,繞 x 軸一周,3 旋轉(zhuǎn)錐面,上一頁(yè),下一頁(yè),返回,第四章 柱面、錐面、旋轉(zhuǎn)曲面與二次曲面 4.3 旋轉(zhuǎn)曲面,162,.,兩條相交直線,繞 x 軸一周,得旋轉(zhuǎn)錐面,.,3 旋轉(zhuǎn)

41、錐面,上一頁(yè),下一頁(yè),返回,第四章 柱面、錐面、旋轉(zhuǎn)曲面與二次曲面 4.3 旋轉(zhuǎn)曲面,163,o,4 旋轉(zhuǎn)拋物面,拋物線,繞 z 軸一周,上一頁(yè),下一頁(yè),返回,第四章 柱面、錐面、旋轉(zhuǎn)曲面與二次曲面 4.3 旋轉(zhuǎn)曲面,164,o,.,拋物線,繞 z 軸一周,4 旋轉(zhuǎn)拋物面,上一頁(yè),下一頁(yè),返回,第四章 柱面、錐面、旋轉(zhuǎn)曲面與二次曲面 4.3 旋轉(zhuǎn)曲面,165,y,.,o,x,z,生活中見(jiàn)過(guò)這個(gè)曲面嗎？,.,4 旋轉(zhuǎn)拋物面,拋物線,繞 z 軸一周,得旋轉(zhuǎn)拋物面,上一頁(yè),下一頁(yè),返回,第四章 柱面、錐面、旋轉(zhuǎn)曲面與二次曲面 4.3 旋轉(zhuǎn)曲面,166,衛(wèi)星接收裝置,例,.,上一頁(yè),下一頁(yè),返回,16

42、7,5環(huán)面,r,R,繞 y軸 旋轉(zhuǎn)所成曲面,上一頁(yè),下一頁(yè),返回,第四章 柱面、錐面、旋轉(zhuǎn)曲面與二次曲面 4.3 旋轉(zhuǎn)曲面,168,5環(huán)面,繞 y軸 旋轉(zhuǎn)所成曲面,.,上一頁(yè),下一頁(yè),返回,第四章 柱面、錐面、旋轉(zhuǎn)曲面與二次曲面 4.3 旋轉(zhuǎn)曲面,169,5環(huán)面,繞 y軸 旋轉(zhuǎn)所成曲面,環(huán)面方程,.,生活中見(jiàn)過(guò)這個(gè)曲面嗎？,.,.,上一頁(yè),下一頁(yè),返回,第四章 柱面、錐面、旋轉(zhuǎn)曲面與二次曲面 4.3 旋轉(zhuǎn)曲面,170,救生圈,.,5 環(huán)面,上一頁(yè),返回,第四章 柱面、錐面、旋轉(zhuǎn)曲面與二次曲面 4.3 旋轉(zhuǎn)曲面,171,二次曲面的定義：,三元二次方程所表示的曲面稱(chēng)之為二次曲面,相應(yīng)地平面被稱(chēng)為一

43、次曲面,討論二次曲面形狀的截痕法：,用坐標(biāo)面和平行于坐標(biāo)面的平面與曲面相截，考察其交線（即截痕）的形狀，然后加以綜合，從而了解曲面的全貌,以下用截痕法討論幾種特殊的二次曲面,二次曲面,4.4 橢球面,下一頁(yè),返回,第四章 柱面、錐面、旋轉(zhuǎn)曲面與二次曲面 4.4 橢球面,172,截痕法,用z = h截曲面,用y = m截曲面,用x = n截曲面,a,b,c,橢球面,上一頁(yè),下一頁(yè),返回,第四章 柱面、錐面、旋轉(zhuǎn)曲面與二次曲面 4.4 橢球面,173,橢球面的方程,橢球面與三個(gè)坐標(biāo)面的交線：,橢球面,上一頁(yè),下一頁(yè),返回,第四章 柱面、錐面、旋轉(zhuǎn)曲面與二次曲面 4.4 橢球面,174,橢圓截面的大

44、小隨平面位置的變化而變化.,橢球面與平面 的交線為橢圓,同理與平面 和 的交線也是橢圓.,上一頁(yè),下一頁(yè),返回,第四章 柱面、錐面、旋轉(zhuǎn)曲面與二次曲面 4.4 橢球面,175,橢球面的幾種特殊情況：,旋轉(zhuǎn)橢球面,由橢圓 繞 軸旋轉(zhuǎn)而成,旋轉(zhuǎn)橢球面與橢球面的區(qū)別：,方程可寫(xiě)為,與平面 的交線為圓.,上一頁(yè),下一頁(yè),返回,第四章 柱面、錐面、旋轉(zhuǎn)曲面與二次曲面 4.4 橢球面,176,球面,截面上圓的方程,方程可寫(xiě)為,上一頁(yè),返回,第四章 柱面、錐面、旋轉(zhuǎn)曲面與二次曲面 4.4 橢球面,177,單葉雙曲面,一、單葉雙曲面,4.5 雙曲面,下一頁(yè),返回,第四章 柱面、錐面、旋轉(zhuǎn)曲面與二次曲面 4.5

45、雙曲面,178,與平面 的交線為橢圓.,當(dāng) 變動(dòng)時(shí)，這種橢圓的中心都在 軸上.,（2）用坐標(biāo)面 與曲面相截,截得中心在原點(diǎn)的雙曲線.,實(shí)軸與 軸相合，虛軸與 軸相合.,上一頁(yè),下一頁(yè),返回,第四章 柱面、錐面、旋轉(zhuǎn)曲面與二次曲面 4.5雙曲面,179,單葉雙曲面圖形,（3）用坐標(biāo)面 ，與曲面相截,均可得雙曲線.,上一頁(yè),下一頁(yè),返回,第四章 柱面、錐面、旋轉(zhuǎn)曲面與二次曲面 4.5雙曲面,180,二、雙葉雙曲面,雙葉雙曲面,上一頁(yè),下一頁(yè),返回,第四章 柱面、錐面、旋轉(zhuǎn)曲面與二次曲面 4.5雙曲面,181,單葉：,雙葉：,.,.,.,在平面上，雙曲線有漸進(jìn)線。 相仿，單葉雙曲面和雙葉雙曲面 有漸

46、進(jìn)錐面。 用z=h去截它們，當(dāng)|h|無(wú)限增大時(shí)， 雙曲面的截口橢圓與它的漸進(jìn)錐面 的截口橢圓任意接近，即： 雙曲面和錐面任意接近。,漸進(jìn)錐面：,雙曲面及其漸進(jìn)錐面,上一頁(yè),返回,第四章 柱面、錐面、旋轉(zhuǎn)曲面與二次曲面 4.5雙曲面,182,第五章 二次曲線的一般理論,在平面上，由二元二次方程,所表示的曲線，叫做二次曲線。在這一章里，我們將討論二次曲線的幾何性質(zhì)，以及二次曲線的化簡(jiǎn)，最后對(duì)二次曲線進(jìn)行分類(lèi)。,下一頁(yè),返回,第五章 二次曲線的一般理論,183,為了方便起見(jiàn)，特引進(jìn)一些記號(hào)：,上一頁(yè),下一頁(yè),返回,第五章 二次曲線的一般理論,184,上一頁(yè),返回,第五章 二次曲線的一般理論,185,

47、討論二次曲線,與直線,的交點(diǎn)，可以采用把直線方程（2）代入曲線方程（1）然后討論關(guān)于t的方程,（1）,（2）,5.1 二次曲線與直線的相關(guān)位置,下一頁(yè),返回,第五章 二次曲線的一般理論5.1 二次曲線與直線的相關(guān)位置,186,（3）,（4）,對(duì)（3）或（4）可分以下幾種情況來(lái)討論：,上一頁(yè),下一頁(yè),返回,第五章 二次曲線的一般理論5.1 二次曲線與直線的相關(guān)位置,187,上一頁(yè),下一頁(yè),返回,第五章 二次曲線的一般理論5.1 二次曲線與直線的相關(guān)位置,188,上一頁(yè),返回,第五章 二次曲線的一般理論5.1 二次曲線與直線的相關(guān)位置,189,1.二次曲線的漸近方向,定義5.2.1滿(mǎn)足條件(X,Y

48、)=0的方向X:Y叫做二次曲線的漸近方向，否則叫做非漸近方向.,定義5.2.2沒(méi)有實(shí)漸近方向的二次曲線叫做橢圓型的，有一個(gè)實(shí)漸近方向的二次曲線叫做拋物線型的，有兩個(gè)實(shí)漸近方向的二次曲線叫做雙曲型的.,即1)橢圓型：I20 2)拋物型： I20 3)雙曲型： I20,5.2 二次曲線的漸近方向、中心、漸近線,下一頁(yè),返回,第五章 二次曲線的一般理論5.2 二次曲線的漸近方向、中心、漸近線,190,2. 二次曲線的中心與漸近線,定義5.2.3 如果點(diǎn)C是二次曲線的通過(guò)它的所有弦的中點(diǎn)(C是二次曲線的對(duì)稱(chēng)中心)，那么點(diǎn)C叫做二次曲線的中心.,定理5.2.1 點(diǎn)C(x0 ,y0)是二次曲線(1)的中心

49、，其充要條件是：,推論 坐標(biāo)原點(diǎn)是二次曲線的中心，其充要條件是曲線方程里不含x與y的一次項(xiàng).,上一頁(yè),下一頁(yè),返回,第五章 二次曲線的一般理論5.2 二次曲線的漸近方向、中心、漸近線,191,二次曲線(1)的的中心坐標(biāo)由下方程組決定：,如果I20，則(5.22)有唯一解，即為唯一中心坐標(biāo),如果I20，分兩種情況：,上一頁(yè),下一頁(yè),返回,第五章 二次曲線的一般理論5.2 二次曲線的漸近方向、中心、漸近線,192,定義5.2.4 有唯一中心的二次曲線叫中心二次曲線，沒(méi)有中心的二次曲線叫無(wú)心二次曲線，有一條中心直線的二次曲線叫線心二次曲線，無(wú)心二次曲線和線心二次曲線統(tǒng)稱(chēng)為非中心二次曲線.,定義5.2

50、.5 通過(guò)二次曲線的中心，而且以漸近方向?yàn)榉较虻闹本€叫做二次曲線的漸近線.,定理5.2.2 二次曲線的漸近線與這二次曲線或者沒(méi)有交點(diǎn)，或者整條直線在這二次曲線上 成為二次曲線的組成部分.,上一頁(yè),返回,第五章 二次曲線的一般理論5.2 二次曲線的漸近方向、中心、漸近線,193,定義5.3.1 如果直線與二次曲線相交于相互重合的兩個(gè)點(diǎn)，那么這條直線就叫做二次曲線的切線，這個(gè)重合的交點(diǎn)叫做切點(diǎn)，如果直線全部在二次曲線上，我們也稱(chēng)它為二次曲線的切線，直線上的每個(gè)點(diǎn)都可以看作切點(diǎn).,定義5.3.2 二次曲線(1)上滿(mǎn)足條件F1(x0,y0)= F2(x0,y0)=0的點(diǎn)(x0,y0)叫做二次曲線的奇異

51、點(diǎn)，簡(jiǎn)稱(chēng)奇點(diǎn)；二次曲線的非奇異點(diǎn)叫做二次曲線的正常點(diǎn).,5.3 二次曲線的切線,下一頁(yè),返回,第五章 二次曲線的一般理論5.3 二次曲線的切線,194,定理5.3.1 如果(x0,y0)是二次曲線(1)的正常點(diǎn)，那么通過(guò)(x0,y0)的切線方程是 (x-x0)F1 (x0,y0)+ (y-y0)F2 (x0,y0)=0， (x0,y0)是它的切點(diǎn). 如果(x0,y0)是二次曲線(1)的奇異點(diǎn)，那么通過(guò)(x0,y0)的切線不確定，或者說(shuō)過(guò)點(diǎn)(x0,y0)的每一條直線都是二次曲線(1)的切線.,推論 如果(x0,y0)是二次曲線(1)的正常點(diǎn)，那么通過(guò)(x0,y0)的切線方程是：,上一頁(yè),下一頁(yè),返回,第五章 二次曲線的一般理論5.3 二次曲線的切線,195,例1 求二次曲線x2-xy+y2+2x-4y-3=0在點(diǎn)(2,1)的切線方程,解：因?yàn)镕(2,1)=4-2+1+4-4-3=0, 且 F1(2,1)=5/20, F 2 (2,1)=-2 0 所以(2,1)是二次曲線上的正常點(diǎn)，因此得在 點(diǎn)(2,1)的切線方程為： 5/2 (x-2)-2(y-1)=0 即：5x-4y-6=0,上一頁(yè),返回,第五章 二次曲線的一般理論5.3 二次曲線的切線,196,1.二次曲線的直徑,定理5.4.1 二次曲線的一族平行弦的中點(diǎn)軌跡是一條直線.,