1、第三節(jié)線性方程組解的結(jié)構(gòu),上節(jié)課定理2.1給出了非齊次線性方程組有解時, 解的個數(shù)與方程組系數(shù)矩陣與增廣矩陣的秩的關(guān)系. 并且給出了方程組的解法.,本節(jié)主要討論方程組有無窮多解時, 這些解之間的關(guān)系.,一 齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu),設(shè)齊次線性方程組為,寫成縮寫形式，即,齊次線性方程組解的性質(zhì),齊次線性方程組Ax=0的兩個解向量的和仍是解向量.,設(shè)(k1, k2, , kn)及(l1, l2, , ln) 是齊次方程組Ax=0的兩個解向量，則有,說明 (k1+ l1, k2+ l2, , kn+ ln ) 是Ax=0的解向量.,性質(zhì)1,證,齊次線性方程組Ax=0的一個解向量乘以常數(shù)k仍為解向量.,

2、設(shè)(l1, l2, , ln)為齊次方程組(2)的解向量，那么,故(kl1, kl2, , kln) 為齊次方程組Ax=0的解向量.,注：解向量的任意線性組合仍為解向量.,性質(zhì)2,證,齊次線性方程組Ax=0解向量的維數(shù)為n, 當它有無窮多解時, 解向量的個數(shù)大于n, 因此所有解向量構(gòu)成的向量組線性相關(guān), 這樣解向量組就必存在最大線性無關(guān)組, 使得每一解向量可由這個最大線性無關(guān)組線性表出.,設(shè)1, 2, , k是齊次線性方程組(2)的一組解向量，并且,1. 1, 2, , k是線性無關(guān)的；,2.方程組(2)的任意一個解向量均可由1, 2, , k 線性表出.,則稱1, 2, , k 是齊次方程組

3、(2)的一個基礎(chǔ)解系.,基礎(chǔ)解系是齊次方程組解向量組的最大線性無關(guān)組. 而一個向量組的最大線性無關(guān)組不唯一, 同一向量組的不同最大線性無關(guān)組所含向量個數(shù)相同, 這樣齊次線性方程組Ax=0的基礎(chǔ)解系所含向量個數(shù)是唯一確定的.,定義,齊次線性方程組(2)的系數(shù)矩陣A的秩 R(A)=rn時，方程組有基礎(chǔ)解系，并且基礎(chǔ)解系含有n-r個解向量.,因為 R(A)=rn ，所以 A 中至少有一個r階子式不為零，不妨設(shè) A 中位于左上角的r階子式不為零，按照上節(jié)定理2.1的分析，方程組(2)有無窮多解，并且,證,定理3.1,問題：方程組Ax=0是否總有基礎(chǔ)解系? 基礎(chǔ)解系中含有多少個解向量? 與R(A)有何關(guān)

4、系?,或,寫成向量形式,逐次令自由變量(xr+1, xr+2, xn)為,代入得到方程(2)的n-r個解向量：,下面說明 1, 2, n-r 就是方程組(2)的一個基礎(chǔ)解系.,首先它可以看成是在n-r個n-r維基本單位向量：(1,0,0), (0,1,0),(0,0,1) 中的每個向量上添加r個分量而得到的，所以 線性無關(guān).,其次, 設(shè)=k1, k2, , kn是方程組的任意一個解向量, 再將解的表達式寫成上向量形式，得：,即,方程組任意解均可由1, 2, n-r 線性表出.,推論,設(shè)齊次方程組,(2),的系數(shù)矩陣的秩為r，則任意的n-r個線性無關(guān)的解向量都是它的基礎(chǔ)解系.,設(shè)1, 2, n-

5、r 是齊次方程組(2)的任意n-r個線性無關(guān)的解向量， 是任意一個解向量.因為R(A)=rn，則由定理3.1知方程組有基礎(chǔ)解系1, 2, n-r .,于是1, 2, n-r可由1, 2, n-r 線性表出且,證,注 利用此推論證明一組向量是否是基礎(chǔ)解系時，只要證明它們是線性無關(guān)的，并且它們的個數(shù)是 nR(A) 個即可。,R1, 2, n-r=R1, 2, n-r ,由p136第18題, 說明兩向量組等價, 因此可由1, 2, n-r線性表出, 由定義 1, 2, n-r是方程組的基礎(chǔ)解系.,例1,求線性方程組,的基礎(chǔ)解系, 并寫出解的結(jié)構(gòu).,解,(-1),(-1),(-1/2),于是原方程組的

6、解為,3,(-1),其中x2, x4 為自由未知量. 寫成向量形式, 即,得方程組的一個基礎(chǔ)解系：,解的結(jié)構(gòu)為,其中k1, k2為任意常數(shù).,例2,若齊次方程組,(2),的解均為齊次方程組,(3),的解，試證: R(A)R(B).,其中A, B分別為兩個方程組的系數(shù)矩陣.,設(shè)方程組(2)的基礎(chǔ)解系為1, 2, , n-R(A) ；方程組(3)的基礎(chǔ)解系為 1, 2, , n-R(B) .,由條件知 1, 2, , n-R(A) 為方程(3)的解，故它們可由1, 2, , n-R(B) 線性表出，,即,根據(jù)第二章第五節(jié)定理5.1即得,證,二 非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu),非齊次線性方程組的記法,齊次

7、方程組,稱(2)為非齊次方程組對應(yīng)(1)的齊次方程組，或為方程組(1)的導出方程組.,(1),(2),非齊次線性方程組的解的性質(zhì),非齊次方程組(1)的任意兩個解向量的差是對應(yīng)齊次方程組(2)的解向量.,設(shè)1, 2 是非齊次方程組Ax=b的解向量，則,證,性質(zhì)1,故 12 是(2)的解向量.,于是 A(12) =A1 A2=0.,非齊次方程組(1)的任意一個解向量與對應(yīng)齊次方程組(2)的任意一個解向量的和仍為非齊次方程組(1)的解向量。,設(shè) 為非齊次方程組Ax=b的解， 為對應(yīng)齊次方程組Ax=0的解，即,于是,故+ 是非齊次方程組(1)的解向量.,證,性質(zhì)2,A =b, A=0.,A(+) =

8、A + A = b+0 =b.,設(shè)0是非齊次方程組(1)的一個解向量，1, 2, , n-r是對應(yīng)齊次方程組(2)的一個基礎(chǔ)解系，則非齊次方程組(1)的解的一般形式為：,其中R(A)= r, k1, k2, , kn-r為任意常數(shù).,非齊次線性方程組的解的結(jié)構(gòu)定理,定理3.2,設(shè) 是(1)的任意一個解向量，于是由非齊次方程組的解向量的性質(zhì)1知 - 0 是對應(yīng)齊次方程組(2)的解向量，它可由其基礎(chǔ)解系1, 2, , n-r 線性表出，即,從而,定理表明：非齊次線性方程組Ax=b全部解向量(稱為非齊次通解，或稱一般解)可以表示為某個已知解向量(特解)加上對應(yīng)的齊次線性方程組Ax=0的全部解向量(齊

9、次通解) .,證,例3,求解線性方程組,寫成通解形式.,解,對方程組的增廣矩陣作行的初等變換,(-3/2),(-2),2,(-2/7),(-5),(1/2),于是方程組的同解方程組為：,其解為：,寫成向量形式為,方程組的通解為,其中,k1, k2為常數(shù).,討論 取何值時，下面線性方程組有解，并求其解.,解法1,例4,由m=n=3, 因此可以通過考察|A|來確定方程組的解. (只適用于m=n的情形),1,1,(1) 當 |A|0時， 即 1且 -2時，,根據(jù)克萊姆法則，方程組有唯一解.,(2) 當 =1 時，原方程組三個方程相同，即,原方程有無窮多個解.,即,顯然,(3)當 = -2 時,2,(-1),1,顯然,所以方程組無解