1、商丘 師范學(xué) 院學(xué)報(bào) 咨 , 期月第卷第 年 常微分方程的數(shù)學(xué)思想方法 王慶東 , 營典兵 , , 侯海軍 商丘師范學(xué)院數(shù)學(xué)系 , 河南 商丘商丘師范學(xué)院 計(jì)算機(jī)科學(xué)系 , 河南商丘 摘要對?；辗址匠讨械臄?shù)學(xué)思怒進(jìn)行了探討 , 認(rèn)為其可 歸為模 型化 , 抽 象化 , 化歸 , 逼近 , 數(shù)形結(jié)合幾才面 關(guān)鍵詞?；辗址匠?數(shù)學(xué)思怒 中圖分類號文獻(xiàn)標(biāo)識碼文章編號 一 一一 一 , 一 擴(kuò) , 一 止 , 鄺 腸 , , , , , , , 引言 數(shù)學(xué)思想是對數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)認(rèn)識 , 是從某些具體的數(shù)學(xué) 內(nèi)容和對數(shù)學(xué)的認(rèn)識過程中提煉上升的數(shù)學(xué)觀 點(diǎn) , 它在認(rèn)識活 動中被反復(fù)運(yùn)用 , 帶有普遍的指導(dǎo)

2、意義 , 是建立數(shù)學(xué)以及運(yùn)用數(shù)學(xué)解決 問題的指導(dǎo) 思想數(shù)學(xué)方法是指提 出問題 、 解決問題的 過程中所采用的各種方式 、手段、途徑等, 二者的緊密聯(lián)系即數(shù)學(xué)思想方法可見 , 數(shù)學(xué)思想方法是以具體的教學(xué)內(nèi)容為載體 , 又高于具體數(shù)學(xué)內(nèi)容的一種指導(dǎo)思想和大范圍普遍適用的方法 , 是數(shù)學(xué) 的靈魂學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)思想方法 , 可以使學(xué)生站在更高的 高度審視數(shù)學(xué) , 領(lǐng)悟和把握數(shù)學(xué)的真諦 , 理解數(shù)學(xué)的價(jià)值 , 學(xué)會思考 、解決問題, 實(shí)現(xiàn)知識學(xué) 習(xí) , 培養(yǎng)能力 , 發(fā)展智力的有機(jī)統(tǒng) 常微分方程作為適用范圍廣 , 生命力旺盛的技術(shù)學(xué)科 , 已成為 “ 大眾數(shù)學(xué)觀 ”下問題解決的重要工 具和本科院校 的重要基

3、礎(chǔ)課 , 因此 , 深入挖掘常微分方程中的數(shù)學(xué)思想方法并運(yùn)用于教學(xué) , 對于學(xué) 生從整體上把握常微分方程 的理論與方法 , 及其發(fā) 生發(fā)展規(guī)律 , 提高大學(xué)生的數(shù)學(xué)文化修養(yǎng) 、審美情趣和創(chuàng)新能力等都具有重要的意 義 常微分方程的發(fā)展概況 世紀(jì)常微分方程與微積分相伴而生 , 微積分是她的母體 , 生產(chǎn)生活實(shí)踐是她生命的源泉至世紀(jì)上半葉 , 人們的目 光主要放在常微分方程的 “ 求解 ”上, 常微分方程處于實(shí)域解析理論 階段 工業(yè)革命帶來的數(shù)學(xué) 繁榮促進(jìn)了常微分方程 的成 長 , 先探討解的存在與唯一性而不是一味求解 奇點(diǎn)理論 , 邊值解 , 形式級數(shù)解 、 自守函數(shù)論先后出現(xiàn) , 使常微分方程成

4、 長為一 個數(shù)學(xué)分支 , 步入了復(fù)域解析階段從世紀(jì)后半葉開始 , 不解方程而確定解的性質(zhì)的定性理論開始建立 , 數(shù)學(xué)思想方法再次 實(shí)現(xiàn)了大的進(jìn)步 , 朝著解析方法 、幾何方法、數(shù)值方法 個主要方向擴(kuò)展 隨著伯克霍夫 美提 出拓 撲動力 系統(tǒng)年 , 將 一般定性理論進(jìn)行了抽象和升華 , 逐漸發(fā)展成微分動力系統(tǒng) 多年來 , 常微分方程誕生于數(shù)學(xué)與自然科學(xué)進(jìn)行嶄新結(jié)合的 、 世紀(jì) , 成長于生產(chǎn)實(shí)踐和數(shù)學(xué) 的發(fā)展進(jìn)程 , 表現(xiàn)出 收稿期 一一 作者簡介王慶東 一 , 男 , 河南太康人 , 商丘師范學(xué)院副教授 , 主要從事數(shù)學(xué)教育研究 商丘 師 范學(xué)院學(xué)報(bào) 年 強(qiáng)大的生命力和 活力 , 蘊(yùn)涵著豐富的

5、數(shù)學(xué)思想方法 主要數(shù)學(xué)思想方法 模型化 模型化是通過研究模型來揭示原型形態(tài) 、本質(zhì)、特 征的科學(xué)思維方法它可以有目的地集中研究認(rèn)識對象 的主要結(jié)構(gòu)和 關(guān)系 , 抓住事物中的主要矛盾以及矛盾的主要方面 , 具有科學(xué)性和極強(qiáng)的可重復(fù)操作性 , 同時(shí) , 模型化也是實(shí)踐決定認(rèn)識的一 次飛躍過程常微分方程自誕生之初 , 就是模型化的產(chǎn)物 , 尤其在實(shí)域解析理論階段表現(xiàn)得特別充分常微分方程早期多研究 機(jī)械 、 電學(xué)系統(tǒng) , 之后逐漸加強(qiáng)與其它學(xué)科的滲透支援 , 理論開始豐富和深化即使是世紀(jì)年代 , 蓬勃發(fā)展的無線電技術(shù) 中的孤立等幅振蕩 , 也極大地促進(jìn)了極限環(huán)的研究 , 豐富了常微分方程的理 論時(shí)至今

6、日放射性 元素的衰變模型 、 人口乃 至 生態(tài)系統(tǒng)的模型醫(yī)學(xué)方面的傳染病模型 、氣象學(xué) 中的洛侖茲模型 、 軍事方面的軍備竟賽和作戰(zhàn)模型等 , 給我 們展示了常微分 方程模型化的壯闊畫卷隨著常微分方程的不斷發(fā)展 , 常微分方程模型也逐漸現(xiàn)代化 , 在確定連續(xù)模型的基礎(chǔ)上 , 從靜態(tài)優(yōu)化 的微分法模型向動態(tài)模型 、 平衡與穩(wěn)定狀態(tài)模型及動態(tài)優(yōu)化模型發(fā)展 抽象化 “ 量 ”和“ 形 ”作為數(shù)學(xué) 中抽象的材料 , 在兩個研究對象具有相 同的量和形時(shí) , 便可使用相同的方法處理 , 由此決定了數(shù)學(xué) 的抽象性此外 , 概念和規(guī)律定理 、公式等 的抽象也決定了數(shù)學(xué) 內(nèi)容的抽 象性 , 數(shù)學(xué)的抽象化是從簡單

7、到復(fù)雜的逐步深化的 過程 , 常微分方程的發(fā)展也是抽象化的過程 , 通過抽象 , 理論意義進(jìn)一步增強(qiáng) 研究領(lǐng)域抽象化 常微分方程從研究突一 二 , , 的解開始 , 研究 二 平面上的積分曲線 但研究自治系統(tǒng) 濤 , 了 , “ 其本質(zhì)是在中進(jìn)行解的研究 , 由于軌線與積分曲線是以一對多的關(guān)系 , 柳 平面抽象成了相平面 , 研究借助相平面上的相 軌線來進(jìn)行隨著常微分的發(fā)展 研究領(lǐng)域又從相平面推廣到環(huán)面 、柱面、 空間至微分流形上 , 研究范圍不斷抽象 研究對象抽象化 常微分方程的研究對象的抽象化表現(xiàn)在低階到高階 、線性到非線性、靜止到 運(yùn)動 、從一個方程到方程組 或者系統(tǒng)等方面 以世紀(jì) 年代

8、的荷蘭電氣工程師研究三極管時(shí)得到的方程 ”十 爪 一 的抽象過程可以充分地說 明研究對象的抽象化即 群 一 尸護(hù) 冷 “ 即方程 ”十 , 十二 二 二夕 夕 夕 二尸 , , 力 尸 , 久 二 , 幾 亡、 了、吸 穩(wěn)定性理論的發(fā)展也有類似的現(xiàn)象 研究從甕 一工 零解的漸近穩(wěn)定性和全局穩(wěn)定性逐步抽象到研究攝動系統(tǒng)甕 一 , 工 卜 。 二 的持續(xù)作用下甕 二二 的零解的穩(wěn)定性和結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性 化歸思想與逼近思想 從常微分發(fā)展歷程可以看 出 , 化歸是常微分方程的重要數(shù)學(xué)思想方法 , 常數(shù)變易法 、 代換法 、 級數(shù)解法 、 逐次通近法 、 算子 法 、相平面分析法 等 , 都是用聯(lián)系 、變化的

9、觀點(diǎn), 有意識地將問題化繁為簡 , 化 歸解決的非齊次方程問題化為齊次方程間題 , 一階線性方程組化為一階線性方程間題 , 高階方程問題化為低階方程問題 , 在常微分方程發(fā)展的各 個階段包含著這種化歸范 例 化歸 思想的教育 , 是對學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)能力培養(yǎng)的重要方面 , 常微分方程課為我們準(zhǔn)備了這方面的大量素材 常系數(shù)非齊次線性微分方程 , 經(jīng)采用歐拉的待定指數(shù)函數(shù)法 , 將求解問題化歸為代數(shù)方程根的問題 , 從而省去了積分運(yùn) 算 , 這是十分引人入勝的 皮卡逼近法 , 將微分方程的解問題化歸為積分方程的解問題 , 進(jìn)而化歸為一致收斂的函數(shù)列 問題 , 完全符合化難為易 , 化未知為已知 , 化

10、繁為簡的化歸原則拉普拉斯變換將常系數(shù)線性非齊次微分方程的邊值問題 , 化歸為關(guān) 于未知函數(shù)的拉氏變換像函數(shù)的代數(shù)方程間題 作為化歸的一種情形 , 體現(xiàn) 了原則關(guān)系映射 , 反演 原則 , 充分利用了關(guān)系映射的確定性 , 關(guān)于此類的例子 , 比比皆是 當(dāng)然 , 皮卡逐步逼近法還體現(xiàn) 了逼近思想 , 巧妙構(gòu)造函數(shù)列 , 有利于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造力 數(shù)形結(jié)合思想 數(shù)形結(jié)合化抽象為具體 , 化深奧為淺顯 , 可以生動形象地揭示 問題的本質(zhì) 常微分方程中的線素與線素場 , 對于不可積方 下轉(zhuǎn)第頁 商丘 師 范 學(xué)院學(xué) 報(bào)年 、,產(chǎn)、了 己 、 才 矛、了奮、 或 但由口方程 令 , 寒 , 分 , 分 ,

11、分 分 。 線 一 紅 二 紅 。 , 下 性, 甘 刁 沙 因此具有極值的條件 、 式不成立 , 即在沒有電荷處 , 電勢不能有極大值或極小值 在 電勢極大處必有正 電荷 , 電勢極小處必有負(fù)電荷 設(shè)“ 二 , , ,二 ,點(diǎn)的電勢為極大 , 貝”極值條件式,在該點(diǎn)成立 , 方程式 “,不成立 , 但白松方程 甲 一爵 可以在 該點(diǎn)成立 , 因此 尸點(diǎn)必有電荷 若以 尸為球心 , 微小長度 二 為半徑作一球面 , 對小球面運(yùn)用高斯定理可得 生 仁 汀 妙 習(xí) 因尸點(diǎn)的為極大 , 劣 , 所以 。 , 必是正電荷 反之若尸點(diǎn)的電勢為極小 , 則尸點(diǎn)的電荷必是負(fù)的 在真空靜電場區(qū)域 內(nèi) , 帶

12、電粒子不能處于穩(wěn)定平衡 在真空靜電場區(qū)域內(nèi) , 假設(shè)有一帶電粒子在 尸點(diǎn)處于穩(wěn)定平衡 , 當(dāng)帶 電粒子離開尸點(diǎn)向任一方向作一微 小位移時(shí) , 該處 電場將把粒子推回到 尸點(diǎn) 如果以尸點(diǎn)為中心 , 作一些環(huán)繞 尸點(diǎn)的小球面 , 球面上各處 的 電場均指向尸由 于 一 , , 所以點(diǎn)的 電勢應(yīng)比周圍相鄰各點(diǎn)的 電勢都低如果帶電粒子帶負(fù)電 , 環(huán)繞尸點(diǎn)的小球面上各點(diǎn)的場強(qiáng)均背離 尸向外發(fā)散 , 尸點(diǎn)的電勢應(yīng)比周圍相鄰各點(diǎn)的電勢都高 這說明尸點(diǎn)的電勢有極值 , 在電勢的極值處應(yīng)有 電荷這與給定的已 知條件相矛盾 , 因此在真空靜電場 中區(qū)域 內(nèi) , 帶電粒子不能處于穩(wěn)定平衡 參考文獻(xiàn) 郭碩鴻 電動力學(xué) 北京人 民教育出版社 , 美 拍塞爾電磁學(xué)北京 科學(xué)出版社 , 上接 第頁 程竇一, 工 , , , 可 依據(jù)線素場研 究 解的性質(zhì) , 從 而 構(gòu)成了常微分 方 程近似解 法和定性 理 論 的 基本思想研究 , 二 二筑 時(shí)引入的“ 平面和軌線 , 又使解的研究簡易于積分曲線的研究奇點(diǎn) 、 平衡位置 、 、圖等 , 、于常微分方程的研 究都是有力的工具 , 數(shù)形結(jié)合