1、1,第二章插值法,2,插值法,許多實(shí)際問題都用函數(shù)來表示某種內(nèi)在規(guī)律的數(shù)量關(guān)系 但函數(shù)表達(dá)式無法給出，只有通過實(shí)驗(yàn)或觀測(cè)得到的數(shù)據(jù)表 如何根據(jù)這些數(shù)據(jù)推測(cè)或估計(jì)其它點(diǎn)的函數(shù)值？,為什么要插值,3,插值基本概念,已知函數(shù) y = f(x) 在 a, b 上有定義，且已經(jīng)測(cè)得在點(diǎn) a x0 x1 xn b 處的函數(shù)值為 y0 = f(x0)， ，yn = f(xn),什么是插值,如果存在一個(gè)簡(jiǎn)單易算的函數(shù) P(x)，使得 P(xi) = f(xi)，i = 0, 1, . , n 則稱 P(x) 為 f(x) 的插值函數(shù),求插值函數(shù) P(x) 的方法就稱為插值法,4,常用插值法,多項(xiàng)式插值：P(x

2、) 為多項(xiàng)式函數(shù) - 最常用的插值函數(shù),分段插值：P(x) 為分段多項(xiàng)式函數(shù),三角插值：P(x) 為三角函數(shù), ,P(x),常用插值法,5,多項(xiàng)式插值,多項(xiàng)式插值,已知函數(shù) y = f(x) 在 a, b 上 n + 1 個(gè)點(diǎn) a x0 x1 xn b 處的函數(shù)值為 y0 = f(x0)， ，yn = f(xn),求次數(shù)不超過 n 的多項(xiàng)式 P(x) = c0+c1x + + cnxn，使得 P(xi) = yi，i = 0, 1, . , n,P(x) 的次數(shù)可能小于 n,6,基函數(shù)插值法,基函數(shù)法,通過基函數(shù)來構(gòu)造插值多項(xiàng)式的方法就稱為基函數(shù)插值法,Zn(x) = 次數(shù)不超過 n 的多項(xiàng)式

3、的全體,記,7,Lagrange插值,Lagrange插值基函數(shù),設(shè) lk(x) 是 n 次多項(xiàng)式，在插值節(jié)點(diǎn) x0 , x1 , , xn 上滿足,則稱 lk(x) 為節(jié)點(diǎn) x0 , x1 , , xn 上的拉格朗日插值基函數(shù),8,Lagrange插值,lk(x) 的表達(dá)式,由構(gòu)造法可得,9,Lagrange插值,如何用 Lagrange 基函數(shù)求 P(x),P(x) = y0l0(x) + y1l1(x) + + ynln(x),10,線性與拋物線插值,兩種特殊情形,n=1,線性插值多項(xiàng)式（一次插值多項(xiàng)式）,11,插值舉例,例：已知函數(shù) y = lnx 的函數(shù)值如下,解：,試分別用線性插值

4、和拋物線插值計(jì)算 ln 0.54 的近似值,為了減小截?cái)嗾`差，通常選取插值點(diǎn) x 鄰接的插值節(jié)點(diǎn),12,插值舉例,拋物線插值：取 x0=0.4, x1=0.5, x2=0.6, 可得,ln 0.54 L2(0.54) =-0.6153,在實(shí)際計(jì)算中，不需要給出插值多項(xiàng)式的表達(dá)式,ex21.m,Lagrange插值多項(xiàng)式簡(jiǎn)單方便，只要取定節(jié)點(diǎn)就可寫出基函數(shù)，進(jìn)而得到插值多項(xiàng)式，易于計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)。,13,誤差估計(jì),如何估計(jì)誤差,14,插值余項(xiàng),由插值條件可知： Rn(xi)=0, i=0, 1, , n,Rn(x) 在a,b上至少有 n+1 個(gè)零點(diǎn),對(duì)任意給定的 xa,b (x xi , i =0,

5、 1, ., n)，構(gòu)造輔助函數(shù),則 在 a, b 中有 n+2 個(gè)互不相同的零點(diǎn)：x, x0 , , xn,Rn(x) 可寫成,15,插值余項(xiàng),由Rolle定理可知 在 (a, b) 內(nèi)至少有 n+1 個(gè)不同的零點(diǎn)；,同理可知 在 (a, b) 內(nèi)至少有 n 個(gè)零點(diǎn)；,又,f(x) Cna, b，且 f (n+1)(x) 在 (a, b) 內(nèi)存在,以此類推，可知 在 (a, b) 內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)，設(shè)為 x ，即 ，x (a, b)。,16,插值余項(xiàng),余項(xiàng)公式只有當(dāng) f(x) 的高階導(dǎo)數(shù)存在時(shí)才能使用,幾點(diǎn)說明,計(jì)算插值點(diǎn) x 上的近似值時(shí)，應(yīng)選取與 x 相近插值節(jié)點(diǎn),17,Lagrange基函數(shù)性質(zhì),Lagrange 基函數(shù)的兩個(gè)重要性質(zhì),當(dāng) f(x) 為一個(gè)次數(shù) n 的多項(xiàng)式時(shí)，有 故 即 n 次插值多項(xiàng)式對(duì)于次數(shù) n 的多項(xiàng)式是精確的,18,插值誤差舉例,例：已知函數(shù) y = lnx 的函數(shù)值如下,試估計(jì)線性插值和拋物線插值計(jì)算 ln 0.54 的誤差,19,插值誤差舉例,拋物線插值：,x0=0.4, x1=0.5, x2=0.6, (0.4, 0.6),高次插值通常優(yōu)于低次插值,但絕對(duì)不是次數(shù)越高就越好， 嘿嘿 ,20,插值誤差舉例,例：函數(shù) ，插值區(qū)間 -5, 5，取等距節(jié)點(diǎn)， 試畫出插值多項(xiàng)式 L 的圖像（