1、1,第四篇 振動(dòng)和波動(dòng),2,物體在一定位置附近來(lái)回往復(fù)的運(yùn)動(dòng)。,機(jī)械振動(dòng),3,振動(dòng): 任何物理量在某一定值附近隨時(shí)間周期性變化 波動(dòng): 振動(dòng)在空間的傳播,物體在一定位置附近來(lái)回往復(fù)的運(yùn)動(dòng)稱(chēng)為機(jī)械振動(dòng)。,廣義地：任何一個(gè)物理量只要它在某一定值附近反復(fù)變化，都可以稱(chēng)為振動(dòng)。,特征：重復(fù)性、周期性,簡(jiǎn)諧振動(dòng),4,第十二章 振動(dòng),5,*12-5 兩個(gè)相互垂直的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成,12-4 一維簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成 拍現(xiàn)象,*12-3 阻尼振動(dòng) 受迫振動(dòng) 共振,12-2 簡(jiǎn)諧振動(dòng)的能量,12-1 簡(jiǎn)諧振動(dòng),12-6 振蕩電路 電磁振蕩,6,12-1 簡(jiǎn)諧振動(dòng),一、諧振動(dòng),作簡(jiǎn)諧振動(dòng)的物體稱(chēng)為諧振子。 （最典型的例

2、子是彈簧振子的運(yùn)動(dòng)）,簡(jiǎn)諧振動(dòng)是最基本的振動(dòng): 任何復(fù)雜的振動(dòng)都可由簡(jiǎn)諧振動(dòng)合成,7,彈簧振子系統(tǒng),輕彈簧剛性物體,胡克定律,彈性力大小,坐標(biāo)x 為物體相對(duì)于平衡位置的位移,8,平衡位置 物體受合力為的位置,諧振動(dòng) 定義：彈簧振子系統(tǒng)在平衡位置附近位移不太大，沿直線(xiàn)周期性來(lái)回往復(fù)運(yùn)動(dòng)。,原長(zhǎng)？,堅(jiān)直？,水平彈簧振子,彈簧原長(zhǎng)（坐標(biāo)原點(diǎn)）,9,諧振動(dòng)方程,即,令,受力回復(fù)力 牛頓第二定律,為積分常數(shù),*,求解得運(yùn)動(dòng)方程：,10,物體所受合外力大小F = -kx 的運(yùn)動(dòng)為簡(jiǎn)諧振動(dòng),d. 簡(jiǎn)諧振動(dòng)定義,令,加速度與位移成正比且方向相反的振動(dòng)為簡(jiǎn)諧振動(dòng),位移是時(shí)間的余弦（正弦）函數(shù)的運(yùn)動(dòng)為簡(jiǎn)諧振動(dòng),簡(jiǎn)

3、諧振動(dòng)的微分方程,解為,簡(jiǎn)諧振動(dòng)方程,11,e諧振動(dòng)物體的速度及加速度,12,二. 簡(jiǎn)諧振動(dòng)的振幅、周期及頻率,振幅 A,周期 T,物體作一次完全振動(dòng)所需的時(shí)間，單位 s,頻率 v,單位時(shí)間內(nèi)所作完全振動(dòng)的次數(shù)，單位 Hz,角(圓)頻率,秒內(nèi)物體作全振動(dòng)的次數(shù),單位 rad/s 或 s-1,13,簡(jiǎn)諧振動(dòng)方程可以表示為,振動(dòng)周期和頻率可以表示為,固有周期,固有頻率,伽利略曾觀(guān)察的比薩教堂的吊燈,14,符合定義的幾種簡(jiǎn)諧振動(dòng)模型,豎直彈簧振子,平衡時(shí),振動(dòng)方程,15,三. 諧振動(dòng)的相位、初相和振幅的決定,確定 t 時(shí)刻振動(dòng)物體位置和運(yùn)動(dòng)方向,相位,t = 0 時(shí)的相位,初相,由初始條件確定A和,

4、設(shè) t = 0 時(shí)，,振幅,16,由 給出 的兩個(gè)可能值,由 的正負(fù)號(hào)，確定 的值,初相 的決定,17,例彈簧振子從平衡位置向正方向運(yùn)動(dòng)，振幅為，經(jīng)過(guò)，其位移如何？,解:,18,例：一放置在水平桌面上的彈簧振子,周期為0.5 s。當(dāng)t=0時(shí)，,求 運(yùn)動(dòng)方程,代入,解：,19,20,2.旋轉(zhuǎn)矢量法(振幅矢量法),21,例3 用旋轉(zhuǎn)矢量法求簡(jiǎn)諧振動(dòng)物體在下列情況的初相. (1)起始時(shí), 物體具有負(fù)最大位移.(2)t=0時(shí), 物體在平衡位置且向負(fù)向運(yùn)動(dòng). (3)t=0時(shí), 物體的位移為A/2且向正向運(yùn)動(dòng).,解:,22,旋轉(zhuǎn)矢量 與諧振動(dòng)的對(duì)應(yīng)關(guān)系,23,例4例題 12-2 設(shè)質(zhì)點(diǎn)在Ox軸上作諧振動(dòng)，

5、振幅為A。若某時(shí)刻 t 測(cè)得質(zhì)點(diǎn)的位移 ，向Ox軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)。求該時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)的相位。,作旋轉(zhuǎn)矢量圖，t 時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)的相位,解1 旋轉(zhuǎn)矢量法,解2 解析法,24,諧振動(dòng)的基本問(wèn)題： 證明物體做諧振動(dòng)（滿(mǎn)足三個(gè)定義之一） 寫(xiě)運(yùn)動(dòng)方程（確定）,例5、一輕彈簧振子水平放置， m = 0.40kg，當(dāng)它受力為 F = 810-3 kg 時(shí)伸長(zhǎng)量為 x= 4.9cm。就下列情形分別求諧振動(dòng)方程,（1）將物體從平衡位置向右移到x=0.10m處后釋放。,（2）將物體從平衡位置向右移到x=0.10m處后并給物體以 向左的速度0.20m/s釋放。,25,解：小球受力為 F = - k x ： 小球作簡(jiǎn)諧振動(dòng),

6、（1）,26,（2）,應(yīng)取,27,求解振動(dòng)問(wèn)題的解題步驟： 1、對(duì)振子進(jìn)行受力分析，判斷振子是否作簡(jiǎn)諧振動(dòng) （是否有簡(jiǎn)諧振動(dòng)三個(gè)特征之一） 2、確定振動(dòng)的平衡位置（振子所受合力為零的位置） 3、建立坐標(biāo)系。最好選取平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)。 若坐標(biāo)原點(diǎn)選在別處，應(yīng)注意： 1）振動(dòng)方程中的 x 是對(duì)平衡位置而言的，要進(jìn)行變換 2）初始條件中x0 也是對(duì)平衡位置而言，也要進(jìn)行變換 4、求出 A 、 、 就可寫(xiě)出振動(dòng)方程。,28,例6例P29 12-13,解:,平衡時(shí):,任意時(shí):,滿(mǎn)足作諧振動(dòng)的定義式,故物體作諧振動(dòng)。,29,k,30,例7、例P29 12-15,解(1) m,自由落體,保守力作功,砝碼的

7、振動(dòng)是簡(jiǎn)諧振動(dòng),以平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn),(2)碰撞,動(dòng)量守恒,(3)諧振,平衡時(shí): 任意時(shí):,31,振動(dòng)方程為：,32,解：作t = 0時(shí)刻的旋轉(zhuǎn)矢量,作x = -12cm處的旋轉(zhuǎn)矢量,12,-12,33,解：設(shè)運(yùn)動(dòng)方程：,由圖：A=2m,t = 1：,解得：,t(s),例9：已知某質(zhì)點(diǎn)作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，振動(dòng)曲線(xiàn)如圖， 試根據(jù)圖中數(shù)據(jù)寫(xiě)出振動(dòng)表達(dá)式。,t = 0：,34,15-2 簡(jiǎn)諧振動(dòng)的能量,簡(jiǎn)諧振動(dòng)系統(tǒng)機(jī)械能守恒,35,36,37,例10:諧振動(dòng)物體m=0.02kg,當(dāng)其經(jīng)平衡位置時(shí),v=0.6m/s,問(wèn)其位移為A/2時(shí),解:,38,例11 彈簧的倔強(qiáng)系數(shù)為k, 一端固定, 另一端連一質(zhì)量為M的

8、物體,其振幅為A. 在下列兩種情況下, 一塊質(zhì)量為m的粘土從h高處自由落下,正好落在M上,問(wèn)(1)振動(dòng)周期有何變化? (2) 系統(tǒng)的能量有何變化? 情況之一: 粘土是在M通過(guò)平衡位置時(shí)落至M; 之二, 粘土是在M位于最大位移處落至M.,解:振動(dòng)系統(tǒng)為彈簧+(M+m) 振動(dòng)周期取決于系統(tǒng), 故在兩種情形(M+m)系統(tǒng)振動(dòng)周期都相同.,因能量與振幅的平方成正比, 所以核心是根據(jù)初始條件定出A.,39,m 粘上M之前: 水平速度 m為0, M為,m粘上M之后: (M+m)水平速度為v .,t=0時(shí),情形一: 略去摩擦, M+m系統(tǒng)在水平方向動(dòng)量守恒,之一:m是在M通過(guò)平衡位置時(shí)落至M,40,情形二:

9、 略去摩擦, M+m系統(tǒng)在水平方向動(dòng)量守恒,m 粘上M之前: 水平速度 m為0, M為0.,之二:m是在M位于最大位移處落至M.,m 粘上M之后: (M+m)水平速度為v.,t=0時(shí),有,41,例12:彈簧的串并聯(lián),彈簧的串并聯(lián)與電阻串并聯(lián)相反 截取一截彈簧,其中一斷KK原長(zhǎng),42,一. 阻尼振動(dòng),能量衰減,不等幅的振動(dòng),12-3 阻尼振動(dòng) 受迫振動(dòng) 共振,例:擺動(dòng)的秋千、單擺,阻尼振動(dòng)的周期,諧振動(dòng)：理想的等幅能量不衰減速的振動(dòng)。,43,使振動(dòng)能量減少的原因：,1（振動(dòng)系統(tǒng)所受）摩擦阻力的作用 2一部分能量轉(zhuǎn)變?yōu)椴ǖ哪芰浚ㄓ捎谡駝?dòng)系統(tǒng)在彈性媒質(zhì)中引起波動(dòng)）向四周輻射,二. 受迫振動(dòng),系統(tǒng)在周

10、期性外力作用下發(fā)生的振動(dòng),無(wú)周期性外力作用下發(fā)生的振動(dòng)-自由振動(dòng),例：音叉,敲擊之后，音叉發(fā)生振動(dòng)-自由振動(dòng) 電磁鐵使音叉振動(dòng)-受迫振動(dòng),（電磁周期性變化供給音叉周期性外力）,44,三、共振,周期性外力頻率 振動(dòng)系統(tǒng)固有頻率,受迫振動(dòng)振幅,共振,45,長(zhǎng)850米、寬12米的美國(guó)華盛頓州Tacoma Narrows 橋，于1940年，在通車(chē)幾個(gè)月后，由凌晨的風(fēng)引起大幅擺動(dòng)因共振而垮塌,46,振幅,初位相,一質(zhì)點(diǎn)同時(shí)參與兩個(gè)同方向、同頻率簡(jiǎn)諧振動(dòng),合振動(dòng)位移,一、兩個(gè)同方向、同頻率簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成,12-4 一維簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成 拍現(xiàn)象,47,1. 相位相同,2. 相位相反,3. 一般情況下,相位差

11、的影響,48,合振動(dòng)的強(qiáng)弱與兩分振動(dòng)相位差的關(guān)系,49,例題 12-5 物體同時(shí)參與N個(gè)同方向、同頻率的諧振動(dòng)，其振幅都等于a，每相鄰二振動(dòng)的相位差都等于 成等差級(jí)數(shù)。求合振動(dòng)振幅。,解,設(shè)N個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的振動(dòng)方程為,旋轉(zhuǎn)矢量表示,可以證明 內(nèi)接于同一圓弧。,50,合振動(dòng)的振幅,其中,51,52,二、兩個(gè)同方向、不同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成拍現(xiàn)象,兩個(gè)同方向、不同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)可表示為,合振動(dòng)的位移為,若 |w1 - w2| w1 + w2,合振動(dòng)可看作角頻率為,振幅為,53,合成后振幅時(shí)大時(shí)小的現(xiàn)象，稱(chēng)為拍,拍頻,w拍 =|w2 w1|,拍的周期,雙簧管的兩個(gè)簧片的頻率相差無(wú)幾，能產(chǎn)生悅耳的拍音,

12、哨片,雙簧管,54,一、兩個(gè)互相垂直的、同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成,兩個(gè)互相垂直、同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)可表示為,合振動(dòng)的軌道方程,為一橢圓,*12-5 兩個(gè)互相垂直的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成,55,軌道是過(guò)原點(diǎn)斜率為 的直線(xiàn),1. 兩振動(dòng)相位差 時(shí)，軌道方程為,質(zhì)點(diǎn)簡(jiǎn)諧振動(dòng)振幅為,56,2. 兩振動(dòng)相位差 時(shí)，軌道方程,質(zhì)點(diǎn)簡(jiǎn)諧振動(dòng)振幅為,軌道是過(guò)原點(diǎn)斜率為 的直線(xiàn),57,3. 兩振動(dòng)相位差 時(shí)，軌道方程,其軌道是一以坐標(biāo)軸為主軸的橢圓，質(zhì)點(diǎn)在橢圓上沿順時(shí)針?lè)较蜻\(yùn)動(dòng),58,4. 兩振動(dòng)相位差 時(shí)，軌道方程,其軌道是一以坐標(biāo)軸為主軸的橢圓，質(zhì)點(diǎn)在橢圓上沿逆時(shí)針?lè)较蜻\(yùn)動(dòng),59,二、兩個(gè)互相垂直的、不同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)

13、的合成,李薩如圖形,60,稱(chēng)為電磁振蕩,最簡(jiǎn)單的振蕩電路 LC 振蕩電路,電容器開(kāi)始放電,I = 0,Wm= 0,C,L,+ + + + + +,- - - - - -,q0,一、LC 振蕩電路振蕩過(guò)程,12-6 振蕩電路 電磁振蕩,電路中電壓和電流（或電荷）的周期性變化,產(chǎn)生電磁振蕩的電路稱(chēng)為振蕩電路,前一瞬間,61,LC電路的充、放電過(guò)程,q0,- - - -,q0,62,當(dāng)電容器極板上帶電量為 q，電路中電流為 I 時(shí),線(xiàn)圈的自感電動(dòng)勢(shì)為,不計(jì)電路中內(nèi)阻時(shí)，有,二、LC 振蕩電路振蕩過(guò)程的定量描述,電容器兩端電勢(shì)差為,63,代入,并令,所以電磁振蕩是簡(jiǎn)諧振動(dòng),得,簡(jiǎn)諧振動(dòng)微分方程,解為,并得,電流的振幅,64,1. 電荷和電流都隨時(shí)間作周期性變化,周期和頻率分別為,角頻率為,三、無(wú)阻尼電磁振蕩的特點(diǎn),電流比電荷的相位超前,設(shè)初相,電荷振幅和電流振幅都不變，稱(chēng)為等幅振蕩,65,電感線(xiàn)圈中的磁場(chǎng)能,總能量為,2. 振蕩過(guò)程中的能量轉(zhuǎn)換,電容器中的電場(chǎng)能,稱(chēng)為無(wú)阻尼自由振蕩,振蕩過(guò)程中沒(méi)有能量耗散,66,LC 電路的振蕩周期,彈簧振子的振