1、2020/7/22,1,第三章 多元正態(tài)分布均值向量和協(xié)差陣的檢驗(yàn),2020/7/22,2,第三章 多元正態(tài)分布均值向量和 協(xié)差陣的檢驗(yàn),第一節(jié) 均值向量的檢驗(yàn) 第二節(jié) 協(xié)差陣的檢驗(yàn),2020/7/22,3,補(bǔ)充：,到底什么是假設(shè)檢驗(yàn)？,讓我們先看一個(gè)例子,2020/7/22,4,生產(chǎn)流水線上罐裝可樂不斷地封裝，然后裝箱外運(yùn)。 怎么知道這批罐裝可樂的容量是否合格呢？,把每一罐都打開倒入量杯, 看看容量是否合于標(biāo)準(zhǔn)？,罐裝可樂的容量按標(biāo)準(zhǔn)應(yīng)在 350毫升和360毫升之間。,2020/7/22,5,每隔一定時(shí)間，抽查若干罐 。如每隔1小時(shí)，抽查35罐，得35個(gè)容量的值X1，X35，根據(jù)這些值來判斷

2、生產(chǎn)是否正常。 這就產(chǎn)生兩種可能（假設(shè)）：,通常的辦法是進(jìn)行抽樣檢查,生產(chǎn)正常？生產(chǎn)不正常？,2020/7/22,6,這就需要根據(jù)X1, X35的樣本信息，檢驗(yàn)上述的兩個(gè)假設(shè)哪個(gè)正確： H0： 稱H0為原假設(shè)（或零假設(shè)） 它的對立假設(shè)是： H1： 稱H1為備選假設(shè)（或?qū)α⒓僭O(shè)）。,生產(chǎn)正常,生產(chǎn)不正常,2020/7/22,7,那么，如何判斷原假設(shè)H0 是否成立呢？ 由于 是正態(tài)分布的期望值，它的估計(jì)量是樣本均值 ，因此可以根據(jù) 與 的差距 來判斷H0 是否成立。 當(dāng) 時(shí)，可以認(rèn)為H0是成立的； 當(dāng) 時(shí)，應(yīng)認(rèn)為H0不成立，即生產(chǎn)已不正常。,2020/7/22,8,怎么來確定？合理的界限在何處？應(yīng)

3、由什么原則來確定？,小概率原則：小概率事件在一次試驗(yàn)中基本上不會(huì)發(fā)生。,2020/7/22,9,下面我們用一例說明這個(gè)原則。 這里有兩個(gè)盒子，各裝有100個(gè)球。,小概率事件在一次試驗(yàn)中基本上不會(huì)發(fā)生。,1個(gè),一盒中有99個(gè)紅球和1個(gè)白球,另一盒中裝有99個(gè)白球和1個(gè)紅球。,2020/7/22,10,？,現(xiàn)從兩盒中隨機(jī)取出一個(gè)盒子，問這個(gè)盒子里是白球99個(gè)還是紅球99個(gè)？ 我們不妨先假設(shè)：這個(gè)盒子里有99個(gè)白球。 現(xiàn)在我們從中隨機(jī)摸出一個(gè)球，發(fā)現(xiàn)是 此時(shí)應(yīng)該如何判斷這個(gè)假設(shè)是否成立呢？,？,2020/7/22,11,假設(shè)其中真有99個(gè)白球，摸出紅球的概率只有 ， 這是小概率事件。,小概率事件在一

4、次試驗(yàn)中竟然發(fā)生了，不能不使人懷疑所作假設(shè)的正確性，因此可以認(rèn)為這個(gè)盒子應(yīng)該不是裝有99個(gè)白球的那個(gè)盒子。 這個(gè)例子中所使用的推理方法，稱為“帶概率性質(zhì)的反證法”，或“概率反證法”。,1/100,2020/7/22,12,在假設(shè)檢驗(yàn)中，稱這個(gè)小概率為顯著性水平，用 表示。 的選擇要根據(jù)實(shí)際情況而定。常取,假設(shè)檢驗(yàn)所以可行，其理論背景即為“小概率原理”。,假設(shè)檢驗(yàn)的理論依據(jù)：,2020/7/22,13,現(xiàn)在回到我們前面罐裝可樂的例中：在提出原假設(shè)H0后，如何作出接受和拒絕H0的結(jié)論呢？ 罐裝可樂的容量按標(biāo)準(zhǔn)應(yīng)在350毫升和360毫升之間。 一批可樂出廠前進(jìn)行抽樣檢查，現(xiàn)抽查了n罐，測得容量為X1

5、 , X2 ,Xn，問這一批可樂的容量是否合格？,可樂的假設(shè)檢驗(yàn),2020/7/22,14,提出假設(shè): 假定 已知，構(gòu)造檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量z： 對給定的顯著性水平 ，可以在N(0,1)表中查到分位點(diǎn)的值 ，使,由原來觀察 大小，轉(zhuǎn)變?yōu)橛^察 的大小。,2020/7/22,15,也就是說，“ ”是一個(gè)小概率事件。 故我們可以取拒絕域?yàn)椋?如果由樣本值算得該統(tǒng)計(jì)量的實(shí)測值落入?yún)^(qū)域 ，則拒絕H0 ；否則，不能拒絕H0 。,拒絕域,如果H0 是對的，那么衡量差異大小的某個(gè)統(tǒng)計(jì)量落入紅色區(qū)域 (拒絕域) 是個(gè)小概率事件。 也就是說， H0 成立下的小概率事件發(fā)生了，那么就認(rèn)為H0不可信而否定它。否則，我們就不能否

6、定H0 （只好接受它）。,接受域,拒絕域,從小概率的角度看：,2020/7/22,16,其基本思想和步驟均可歸納為： 第一，提出待檢驗(yàn)的假設(shè)H0和H1； 第二，給出檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量及其服從的分布； 第三，給定檢驗(yàn)水平，查統(tǒng)計(jì)量的分布表，確定相應(yīng)的臨界值，從而得到否定域； 第四，根據(jù)樣本觀測值計(jì)算出統(tǒng)計(jì)量的值，看是否落入否定域中，以便對待判假設(shè)做出決策（拒絕或接受）。,2020/7/22,17,第一節(jié) 均值向量的檢驗(yàn),單一變量檢驗(yàn)的回顧及HotellingT2分布 一個(gè)正態(tài)總體均值向量的檢驗(yàn) 兩個(gè)正態(tài)總體均值向量的檢驗(yàn) 多個(gè)正態(tài)總體均值向量的檢驗(yàn),2020/7/22,18,單一變量假設(shè)檢驗(yàn)的內(nèi)容：

7、提出假設(shè) 構(gòu)造檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量 （總體方差已知時(shí)） 判斷：根據(jù)顯著水平 確定臨界值 ，當(dāng) 落在拒絕域，接受備擇假設(shè)，否則接受原假設(shè)。,一、單變量假設(shè)檢驗(yàn)及Hotelling T2分布,2020/7/22,19,當(dāng) 未知時(shí)，用 （3.2） 作為 的估計(jì)量，構(gòu)造檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量： （3.3） 判斷，根據(jù)顯著水平 ，確定臨界值 ，當(dāng) ，落入拒絕域，接受備擇假設(shè)；否則接受原假設(shè)。,2020/7/22,20,（3.3）式可以表示為 （3.4） 定義3.1 設(shè) ， 且 與 相互獨(dú)立， ，則稱統(tǒng)計(jì)量 的分布為非中心HotellingT2分布，記為 。當(dāng) 時(shí)，稱 服從（中心）HotellingT2 分布。記為 。,威沙特

8、分布(Wishart),2020/7/22,21,注意：F分布和t 分布有如下關(guān)系：,設(shè)X和Y是相互獨(dú)立的服從卡方分布的隨機(jī)變量，自由度分別為f 1，f 2，則稱隨機(jī)變量 設(shè)X是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量，Y是自由度為v的卡方變量，且X和Y相互獨(dú)立，則稱隨機(jī)變量,2020/7/22,22,若 ， 且 與 相互獨(dú)立，令 ，則 這表明，將HotellingT2統(tǒng)計(jì)量乘上一個(gè)適當(dāng)?shù)某?shù)后，便成為F統(tǒng)計(jì)量，從而可利用F分布來進(jìn)行推斷。實(shí)踐中，常用上式給出的F統(tǒng)計(jì)量來代替HotellingT2統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行推斷。,（3.5）,因此：HotellingT2與F分布的關(guān)系：,2020/7/22,23,在一元正態(tài)總體的情況下，

9、若 一元統(tǒng)計(jì)中樣本方差 是 的估計(jì)，有,注意：Wishart分布（一元 分布的推廣）,2020/7/22,24,定義2.10 設(shè) 且相互獨(dú)立，則由 組成的隨機(jī)矩陣： 其中， 若 且相互獨(dú)立，則樣本離差陣,2020/7/22,25,二、一個(gè)正態(tài)總體均值向量的檢驗(yàn),設(shè) 是來自p維正態(tài)總體 的樣本，且 ， 。,2020/7/22,26,（一）協(xié)差陣 已知時(shí)均值向量的檢驗(yàn) 假設(shè) 成立，檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為 （3.6） 給定檢驗(yàn)水平 ，查 分布表找出臨界值 ， 判斷：若 ，則接受備擇假設(shè)；否則接受原假設(shè)。,2,c,0,2020/7/22,27,注意： 其中， 利用的是p維隨機(jī)向量二次型的結(jié)論之一： 設(shè) ，則 ，

10、其中 。,2020/7/22,28,（二）協(xié)差陣 未知時(shí)均值向量的檢驗(yàn) 假設(shè) 成立，檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為 其中， 給定檢驗(yàn)水平 ，查F 分布表，可確定出臨界值 . 判斷：若 ，則接受備擇假設(shè)，否則接受原假設(shè)。,(3.7),x,0,2020/7/22,29,例題：,2020/7/22,30,樣本離差陣,2020/7/22,31,三、兩個(gè)正態(tài)總體均值向量的檢驗(yàn),（一）當(dāng)協(xié)差陣相等時(shí)，兩個(gè)正態(tài)總體均值向量的檢驗(yàn) 設(shè) ， ，為來自p 維正態(tài)總體 的容量為n的樣本； ， ，為來自p維正態(tài)總體 的容量為 的樣本。兩組樣本相互獨(dú)立，且 。,2020/7/22,32,1.針對有共同已知協(xié)差陣的情形 假設(shè) 成立，檢驗(yàn)統(tǒng)

11、計(jì)量為 （3.8） 給定顯著水平 ，查 分布表確定臨界值 。 判斷：若 ，則接受備擇假設(shè) ；否則接受原假設(shè)。,兩組樣本獨(dú)立,2020/7/22,33,2針對有共同的未知協(xié)差陣的情形 提出假設(shè)： 構(gòu)造檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量 （3.9） 給定顯著性水平 ，查F 分布表 確定臨界值 。 判斷：若 ，則接受備擇假設(shè)；否則接受原假設(shè) 。,2020/7/22,34,例題：,2020/7/22,35,2020/7/22,36,2020/7/22,37,（二）協(xié)差陣不等時(shí)，兩個(gè)正態(tài)總體均值向量的檢驗(yàn)（兩總體協(xié)差陣未知）。 設(shè) ， ，為來自p 維正態(tài)總體 的容量為n的樣本； ， ，為來自p維正態(tài)總體 的容量為 的樣本。兩組樣本相互獨(dú)立,且 ，,2020/7/22,38,1針對n=m 的情形 令 構(gòu)造檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為 （3.10）,2020/7/22,39,令 構(gòu)造檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為,2針對nm 的情形(假設(shè)nm 且兩總體協(xié)差陣相差不大時(shí)),2020/7/22,40,第三節(jié) 協(xié)差陣的檢驗(yàn),一個(gè)正態(tài)總體協(xié)差陣的檢驗(yàn) 多個(gè)協(xié)差陣相等檢驗(yàn),2020/7/22,41,一、一個(gè)正態(tài)總體協(xié)差陣的檢驗(yàn),設(shè) 來自p 維正態(tài)總體 的樣本， 未知，且 。 提出假設(shè) 用似然比方法可構(gòu)造出檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為： （3.16） 其中,2020/7/2