1、現(xiàn)代數(shù)值計(jì)算方法（MATLAB版） 習(xí)題參考答案及部分習(xí)題解答提示 第一章 1.1 (1) 0.5, 0.00217%, 5;(2) 0.5105, 0.217%, 3;(3) 0.5102, 0.000217%, 6;(4) 0.5102, 0.0217%, 3. 1.2 (1) 0.5, 0.014%, 4; (2) 0.5104, 0.11%, 3; (3) 0.5103, 0.0017%, 5; (4) 0.5109, 0.017%, 4. 1.3 (1) 3.146, 0.5104; (2) 3.1416, 0.5104; (3) 3.14159. 1.4 提示: 1 2(a1+1)

2、 10(n1)= 104 n = 5 lg2 lg(a1+ 1) 4 lg2 n 5 2lg2 3.699 n 4.3976 n = 3. 1.5 |r(x)| 1 2a1 102 0.5 102. 1.6 提示: 1 22 10(n1) 4 2lg2 n = 4. 1.7 提示: 1 2(a1+1) 10(n1)= 3103 n = 4lg6lg(a1+1) 3lg6 n 3lg1.2 2.2218 n 2.9208 n = 2. 1.8 提示: x1,2= 56+5624 2 = 28 783, x 1= 28 + 27.982 = 55.982 55.98, x2= 28 783 = 2

3、82781 28+783 = 1 55.982 0.01786. 1.10 提示:(1) sin(x + y) sinx = 2sin y 2 cos(x + y 2), (2) 1 cos1 = 1cos21 1+cos 1 = sin21 1+cos 1, (3) ln(1010+ 1 105) = ln 1 1010+1+105 = ln(1010+ 1 + 105). 1.11 (1) (A) 比較準(zhǔn)確; (2) (A) 比較準(zhǔn)確. 1.12 算法 2 準(zhǔn)確. 在算法 1 中, 0 0.2231 帶有誤差 0.5 104, 而這個(gè)誤差在以后的每次計(jì)算中 順次以 41, 42, 傳播到

4、In中. 而算法 2 中的誤差是按 1 4n 減少的, 是穩(wěn)定的計(jì)算公式. 第二章 2.1 提示: 因 B 奇異, 故 x = 0, 使得 Bx = 0. 于是, Ax = (A B)x,x = A1(A B)x,x A1A Bx, 1 A1 A B,即A1 1 AB. 2.2 x1= 9, x2= 29, x = 4; A1= 8, A2= 4 2, A = 6. 2.3 提示: 迭代矩陣 BJ= 00.40.4 0.400.8 0.40.80 , |IBJ|= ? ? ? ? ? ? ? ? ? 0.40.4 0.40.8 0.40.8 ? ? ? ? ? ? ? ? ? =(0.8)(2

5、+ 0.8 0.32) = 0, 1= 0.8,2,3= 0.4(1 3). 因 | 3| = 0.4(1 + 3) 1, 故用 Jacobi 迭代法不收斂. 2.4提示:Bs= 100 110 221 1 022 001 000 = 100 110 021 022 001 000 = 022 023 002 . 譜半徑 (Bs) = max|i| = 2 1, 故用 Gauss-Seidel 迭代法不收斂. 2.5 提示: 因系數(shù)矩陣 A 是嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)的, 故 Jacobi 迭代法, Gauss-Seidel 迭代法以及 SOR 迭代 法在 0 2 時(shí), 都是收斂的. 2.6提示: (1)

6、 BJ= 022 101 220 , |I BJ|= ? ? ? ? ? ? ? ? ? 22 11 22 ? ? ? ? ? ? ? ? ? =3= 0, 所以 1= 2= 3= 0, (BJ) = 0 1, 故 Gauss- Seidel 迭代法發(fā)散. 2.7 提示: Bs= (D L)1U= 1 2 00 1 2 10 0 1 2 1 2 011 001 000 = 0 1 2 1 2 01 2 1 2 001 2 , 其特征 值 1= 0, 2= 3= 1 2, 故 (Bs) = 1 2 1, 故 Jacobi 迭代發(fā)散. 2.8 提示: (1) A = a13 1a2 32a , 當(dāng)

7、 |a| 5 時(shí), Jacobi 迭代收斂. (2) a 0,a2 1 0, a3 14a + 12 0, a 1, a3 14a + 12 0, a 1, a(a2 14) + 12 0, 所以, 當(dāng) a 14 時(shí), A 對(duì)稱(chēng)正定, 從而 Gauss- Seidel 迭代收斂. 2.9 Jacobi: x(k+1) 1 = 2 9x (k) 2 2 9x (k) 3 + 7 9, x(k+1) 2 = 2 5x (k) 1 4 5x (k) 3 2 5, x(k+1) 3 = 2 5x (k) 1 4 5x (k) 2 2 5. Gauss-Seidel: x(k+1) 1 = 2 9x (

8、k) 2 2 9x (k) 3 + 7 9, x(k+1) 2 = 2 5x (k+1) 1 4 5x (k) 3 2 5, x(k+1) 3 = 2 5x (k+1) 1 4 5x (k+1) 2 2 5. SOR 迭代 ( = 1.32): x(k+1) 1 = x(k) 1 + 1.32(7 9 x(k) 1 2 9x (k) 2 2 9x (k) 3 ), x(k+1) 2 = x(k) 2 + 1.32(2 5 2 5x (k+1) 1 x(k) 2 4 5x (k) 3 ), x(k+1) 3 = x(k) 3 + 1.32(2 5 2 5x (k+1) 1 4 5x (k+1)

9、2 x(k) 3 ). 上述三種迭代法都收斂. 2.10 提示: x(k+1)= (I A)x(k)+ b, 故迭代矩陣 B = I A 的特征值為 1 i, 其中 i 0 是 A 的特征值, 故當(dāng) 0 2 n時(shí), 有|1 i| 1, 從而迭代收斂. 反之, 若迭代收斂, 則 |1 i| 1, 可得 0 2 n. 2.11 當(dāng) |a| 1 2時(shí), 迭代格式收斂. 2.12 提示: 將原方程組調(diào)整為: 8x1+ x2+ x3= 7 x1 5x2+ x3= 14 x1+ x2 4x3= 13 上述方程組的系數(shù)矩陣是嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)的, 2 故 Jacobi 迭代, Gauss-Seidel 迭代均收斂

10、. 2.13 提示: (J) = 0.9 1, 故迭代法收斂. 2.14 提示: 容易驗(yàn)證 A = 10.50.5 0.510.5 0.50.51 是對(duì)稱(chēng)正定的, 故 Gauss-Seidel 迭代收斂, 但 2DA = 10.50.5 0.510.5 0.50.51 不正定, 故 Jacobi 迭代發(fā)散. 2.15提示: BJ= 001 100 1 3 2 3 0 . 特征方程 3 3 + + 2 = 0, 特征值 1= 0.478, 2,3= 0.374 0.868i, (BJ) = 0.945 1, 故 Jacobi 迭代收斂. BS= (D L)1U = 001 001 001 , 因

11、為 (BS) = 1, 故 Gauss-Seidel 迭代發(fā)散. 2.16 提示: (1) 將原方程組的系數(shù)矩陣調(diào)整為: 22111 142 11533 , 顯然為嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣, 故 迭代法收斂. (2) 將原方程組的系數(shù)矩陣調(diào)整為上述矩陣后, 寫(xiě)出迭代矩陣: BJ= 0 11 22 1 22 1 4 0 2 4 11 33 5 33 0 .因?yàn)?BJ 1, 故迭代法收斂. 第三章 3.1 (1) x = (0,1,1)T;(2) x = (1.2,2,1.4).3.2 1 3n 3 + n2 1 3n. 3.3 提示: 必要性. 設(shè) a(i) ii = 0,i = 1,2, ,k, 則可

12、進(jìn)行消去法的 k 1 步. 每步 A(m)由 A 逐次實(shí) 施 (lijEj+ Ei) (Ei) 的運(yùn)算得到, 這些運(yùn)算不改變相應(yīng)順序主子式之值, 所以有, m= ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? a(1) 11 a(1) 12 a(1) 1m a(2) 22 a(2) 2m . . . . a(m) mm ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = a(1) 11a (2) 22 a(m) mm. 這樣便有 m= 0, m = 1,2, ,k. 充分性. 用歸納法. 當(dāng) k = 1 時(shí)顯然. 設(shè)該命題對(duì) k1 成立. 現(xiàn)設(shè) 1= 0, ,k1= 0,k= 0. 由

13、 歸納假設(shè)有 a(1) 11 = 0,a(k1) k1,k1= 0, Gauss 消去法可以進(jìn)行 k1 步, A 約化為 A (k) = A(k) 11 A(k) 12 0A(k) 22 , 其中 A(k) 11 是對(duì)角元為 a(1) 11, ,a (k1) k1,k1 的上三角陣, 因?yàn)?A(k)是通過(guò)消去法由 A 逐步得到的, A 的 k 3 階順序主子式等于 A(k)的 k 階順序主子式, 即 k= det A(k) 11 0A(k) kk = a(1) 11 a(k1) k1,k1a (k) kk, 由 k= 0, 可推出 a(k) kk = 0. 3.4 提示: (1) a(2) i

14、j = aij mi1a1j= aij ai1 a11a1j = aji a1i a11aj1 = a(2) ji , 所以 A2是對(duì)稱(chēng)的. (2) A(2)= a11T 1 0A2 = L1A, L1= 1 a21 a11 1 . . . . . . . an1 a11 01 , 則 L1ALT 1 = a110 0A2 對(duì)稱(chēng)正定. 故 A2正定. 3.5提示: n j=2,j=i |a(2) ij | = n j=2,j=i |aij ai1 a11a1j| j=2,j=i |aij| + j=2,j=i | ai1 a11a1j| = n j=1,j=i |aij| |ai1| + | ai1 a11| n j=2,j=i |a1j| |aii| |ai1| + | ai1 a11| n j=2,j=i |a1j| = |aii| | ai1 a11|a11| n j=2,j=i |a1j| = |a