1、函 數(shù), 2012 揚州,1. 函數(shù) 的值域為_.,解1：,解2：,2. 已知正數(shù)a、b、c滿足： 則 的取值范圍是_.,化簡,3. 設(shè)函數(shù) 與 在區(qū)間 1, 4 的同一點上取相同的最小值，試求 在該區(qū)間上的最大值。,若在區(qū)間 1, 2 的同一點上取相同的最小值呢？,若在區(qū)間 的同一點上取相同的最小值呢？,解：,（舍去）或,5. 已知 是實數(shù)，函數(shù) 當(dāng) 時， （1）證明： （2）證明：當(dāng) 時， （3）設(shè) ，當(dāng) 時， 的最大值為2，求 。,又,是函數(shù) 的對稱軸,6. 設(shè) 當(dāng)函數(shù)f (x)的零點多于一個時， 求f (x)在以其最小零點與最大零點為端點的閉區(qū)間上的最大值 .,由題意，f (x)是偶函

2、數(shù) .,1. 當(dāng)函數(shù)f (x)的零點為2個時，,2. 當(dāng)函數(shù)f (x)的零點為3個時，,3. 當(dāng)函數(shù)f (x)的零點為4個時，,f (x) 的最大值為 0 (此時q 0) ；,f (x) 的最大值為 0 (此時q = 0) ；,f (x) 的最大值為q (此時q 0) .,7. 若函數(shù)y = f（x）在 處取得極大值或極小值，則稱為函數(shù)y = f（x）的極值點。已知 a、b是實數(shù)，1 和 -1 是函數(shù) 的兩個極值點。 （1）求 a 和 b 的值； （2）設(shè)函數(shù) g（x）的導(dǎo)函數(shù) ，求 g（x）的極值點； （3）設(shè) h（x）= f（f（x）- c，其中 ， 求函數(shù) y = h（x）的零點個數(shù)。,

3、當(dāng)| t | 2 時，f（x）= t 的零點數(shù)為3且零點| x | 2 .,解：,（1）,（2）,（3）,- 0 + 0 +,所以，g（x）的極值點為2.,設(shè) f（x）= t ,當(dāng)| t | = 2 時，f（x）= t 的零點數(shù)為2 (零點為x = -1、x = 2或x = -2、x = 1）；,所以，當(dāng)| c | = 2時，y = h（x）= f ( f (x) c 的零點數(shù)為5 ( 2+3 )；,當(dāng)| c | 2時，y=h（x）的零點數(shù)為9（3+3+3 ).,8.,是二次函數(shù) f(x)對稱軸, 必要條件,經(jīng)驗算 恒有, m 的可能值,9. 設(shè) f（x）、g（x）分別是定義在 R 上的奇函數(shù)

4、、偶函數(shù)，當(dāng)x 0 時，F(xiàn)（x）= f（x）g（x）在（，0）上是增函數(shù)，且 g（2）= 0.則不等式 f（x）g（x） 0 的解集是_.,F (x) 是奇函數(shù),10. 設(shè) f (x) 是定義在 R 上的函數(shù) ： （1）求證 ： （2）若 f (x) 在 R 上是增函數(shù)，判斷 M = N 是否成立，并證明你的結(jié)論。,(1),(2),或,f (x) 在 R 上是增函數(shù),f (x) 在 R 上是增函數(shù), M = N .,11. 設(shè) f (x) 是定義在 R 上的函數(shù) ， a 是大于 0的實數(shù)，滿足 ： 試證明： f (x) 是周期函數(shù)。,證明：,探索,化簡,若 ，則,12. 函數(shù) 在 0,1 上有

5、定義， 如果對于不同的 ，都有求證：,證明：,若 ，則,不妨設(shè),由 f (y)0，得 f (x) 在0,1上是不減的函數(shù).,13. 已知 f (x) 是定義在0,1上的非負函數(shù)，且f (1) =1，對任意的 x，y，x+y0,1 都有 f (x+y)f (x)+ f(y) . 證明：f (x) 2x （x0,1）.,證明：,所以，原命題成立., f (x+y) f (x) ,當(dāng) 0 x 時，存在正整數(shù) n , 使得,當(dāng) x = 0 或 時，顯然命題成立.,14. 已知函數(shù) （1）證明： （2）在區(qū)間（1, e )上 f (x) x 恒成立, 求實數(shù) a 的取值范圍 ; （3）當(dāng) 時，證明：,解

6、：（1）證明：,（2）,設(shè),設(shè),（舍去）,（3）當(dāng) 時，證明：,（3）證明：,當(dāng)n = k+1時，,當(dāng)n =1時，,所以n = 1時不等式成立.,假設(shè)n = k 時，不等式成立.即,故當(dāng)n = k+1時，不等式也成立.,所以，當(dāng) 時，,15. 已知函數(shù) （1）求函數(shù) f (x) 的最小值； （2）求證：當(dāng) 時， ; （3）對于函數(shù) h (x) 和 g (x) 定義域上的任意實數(shù) x ，若存在常數(shù) k、b，使得不等式 和 都成立，則稱直線 y = kx + b 是函數(shù) h (x) 與 g (x) 的“分界線”。 設(shè) ，試問函數(shù) h (x) 與 g (x) 是否存在“分界線”？若存在, 求出常數(shù)

7、k、 b的值；若不存在，說明理由。,15.解（1）,（2）由（1）,（3）,16.設(shè)f (x)是定義在 上的函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為 。如果存在實數(shù)a和函數(shù)h(x)，其中h(x)對任意的 都有h(x)0，使得 ，則稱函數(shù)f(x)具有性質(zhì)P(a)。（1）設(shè)函數(shù) ，其中b為實數(shù)。 求證：函數(shù)f(x)具有性質(zhì)P(b)； 求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間。（2）已知函數(shù)g(x)具有性質(zhì)P(2)。給定 ，設(shè)m為實數(shù)， ，且 ，若 ，求m的取值范圍。,16. （1）證明,由 ，得函數(shù) f (x) 具有性質(zhì) P (b) .,解,在 上單調(diào)增；,當(dāng),在 上單調(diào)減； 在 上單調(diào)增.,16. （2）解,由題意,在 上單調(diào)增。,區(qū)

8、間 與區(qū)間 的中點重合。,在 上單調(diào)增,又,或,17.為 常數(shù)，且 （1）求 對所有實數(shù) 成立的充要條件（用 表示） （2）設(shè) 為兩實數(shù)， 且 若 求證： 在區(qū)間 上的單調(diào)增區(qū)間的長度和為 （閉區(qū)間 的長度定義為 ）,17.（1）,因此，所求的必要條件是,（2）當(dāng) 時，,此時，增區(qū)間為 ，它的長度是,當(dāng) 時，設(shè),因此，單調(diào)增區(qū)間的長度和為,18. 已知函數(shù) （1）若曲線 在點P（0,1）處的切線 l 與 C 有且只有一個公共點，求 m 的值 ； （2）求證：函數(shù)存在單調(diào)遞減區(qū)間 a , b ，并求出單調(diào)遞減區(qū)間的長度 t = b - a 的取值范圍。,由 有惟一實數(shù)解,設(shè),解：（1）,（適合題

9、意）, m = 1 .,在（-1，0）上，方程 還有一解（不合題意）,（2）,19.已知a，b是實數(shù)，函數(shù) 和 是 的導(dǎo)函數(shù)，若 在區(qū)間I上恒成立，則稱 和 在區(qū)間I上單調(diào)性一致. （1）設(shè) ，若函數(shù) 和 在區(qū)間 上單調(diào)性一致,求實數(shù)b 的取值范圍； （2）設(shè) 且 ，若函數(shù) 和 在以a，b為端點的開區(qū)間上單調(diào)性一致，求|a - b|的最大值。,解：,（1）,（2）, b a 0，, a b 0，, a 0 b，,（不合題意）,綜上，,20.（1）解：f ,由 f (x) =0, 解得x =1.,函數(shù)f(x)在x =1處取得極大值f(1)且f(1)= .,當(dāng)x 0 ;,當(dāng)x 1時， f (x)

10、0 .,（2）證明：,令F(x)= f(x)-g(x),即,于是,F(x) F(1)=0,即 f(x) g(x).,由題意可知g(x)=f(2-x),得g(x)=(2-x),當(dāng)x 1時，2x -20, 從而 又,所以 F (x)0, 從而函數(shù)F（x）在1,+)是增函數(shù)。 又 F (1)= ，所以 時，有,（3）證明：,不失一般性，設(shè),若 或,由（1）可知，,所以，若 ,只可能有,由 及（2）可知，,又由 及函數(shù)f(x)在區(qū)間（-，1）內(nèi)是增函數(shù)，所以 ，即,1. 求函數(shù) 的最值.,解：,解2：,解1：,2設(shè) 的最小值為 ，求實數(shù) a 的值。,（舍去）,3. 若 , 則 的取 值范圍為_.,解1

11、：,解2：,由函數(shù) 是增函數(shù),原式可化為,4. 設(shè)三角函數(shù) ，其中 k0 . 試求最小的正整數(shù) k ，使得當(dāng)自變量 x 在任意兩個整數(shù)間（包括這兩個整數(shù)）變化時，函數(shù) f（x）至少有一個極大值 M 與一個極小值 m 。,不一定 .,取,不存在 .,6. 已知 且滿足試比較 a，b，c 的大小.,反設(shè),（此為矛盾）,反設(shè),（此為矛盾）,解：,7. 在銳角ABC中，若 ，求B的取值范圍.,解1：,解2：,（當(dāng)且僅當(dāng) a = b = c 等號成立）,8. 在ABC中，若求證：ABC中至少有一個角為60.,證明：,所以，ABC中至少有一個角為60.,9. 在ABC中，證明：,證明1：,同理,9. 在A

12、BC中，證明：,證明2：,同理,10. 凸四邊形ABCD中，沒有一個內(nèi)角是直角，求證：,證明：,設(shè) ABCD，,則 A+B與A+C中至少有一個不為90.,不失一般性，設(shè) A+B90.,11已知函數(shù) 的圖象與直線 有且僅有三個交點，交點的橫坐標(biāo)的最大值為a. 求證：,12.已知函數(shù) ，求 的最小值.,減,關(guān)于 對稱,任意 存在 ，使得,13. 已知 a 0，b 0，又、為實數(shù)且滿足求證：,證明：,設(shè) 是橢圓 上兩點，O為橢圓中心。,即要證明：,令 OA = m，OB = n ，即要證明,由 在 上是減函數(shù)，,14. 在直角ABC中，C為直角. 求使得 成立的最大 k 值.,解：,由題意，可設(shè),設(shè)

13、 , 則,15. 已知 是圓 上的三點，且滿足 證明：,證明1：,由題意，可設(shè),則,其中,所以，原命題成立.,15. 已知 是圓 上的三點，且滿足 證明：,證明2：,由題意，可設(shè),則 且,所以，ABC 是正三角形.,所以，原命題成立.,設(shè),則,16. 若 x、y、z 均為正實數(shù)，且 ，求： （1） 的最小值； （2） T= x + y + z xyz 的取值范圍.,解：,(2),由題意，可設(shè),(1),所以，當(dāng) 且 時，,設(shè) , 則,設(shè) t =1+sin, , 則,17. 已知 ，求證：,證明：,即要證, 原命題得證。,18. 對定義域分別是 的函數(shù) 規(guī)定,(2) 求 (1) 中的函數(shù) 的最大值；,(1) 若函數(shù)