1、1,第三章 向量組的線性相關(guān)性與秩,向量的基本概念和運算 向量組的線性相關(guān)性 向量組的秩和最大無關(guān)組 向量組的秩和矩陣的秩的討論 向量空間的基本概念,本章將介紹：,2,引言、 向量的概念,向量,3,定義 n 個有順序的數(shù) 所組成的數(shù)組,叫做 n 維向量， 數(shù) 叫做向量的 分量（或坐標）， 個分量.,3.1 向量及其相關(guān)性,1. 基本概念,分量為實數(shù)的向量稱為實向量；分量為復(fù)數(shù)的向量稱為復(fù)向量.,4,例如 矩陣的一行元素是一個向量； 矩陣的一列元素也是一個向量.,每一個方程中變量的系數(shù)就構(gòu)成一個 n 維行向量.,5,確定飛機的狀態(tài)，需 要以下6個參數(shù)：,飛機重心在空間的位置參數(shù) P(x,y,z)

2、,機身的水平轉(zhuǎn)角,機身的仰角,機翼的轉(zhuǎn)角,所以，確定飛機的狀態(tài)，需用6維向量,維向量的實際意義,6,向量的相等.,即兩個向量相等，就是各個對應(yīng)的分量都相等.,設(shè) 都是 n 維向量，則規(guī)定:,零向量 分量都為零的向量稱為零向量,記作O.,負向量 設(shè),稱 的負向量.,7,向量的運算 行向量和列向量都按照矩陣的運算法則進行運算.,定義 設(shè),都是 n 維向量，規(guī)定,定義,即：兩個向量相加減就是將它們的對應(yīng)分量相加減.,8,定義 設(shè) 是 n 維向量，是實數(shù), 規(guī)定,注 向量相加及數(shù)乘兩種運算統(tǒng)稱為向量的線性運算.,即：數(shù)乘向量就是用數(shù)乘以向量的每一個分量.,9,由定義，易證：,向量的線性運算滿足如下運算

3、規(guī)律,10,附：線性方程組的矩陣表示,11,矩陣形式： AX= 0,數(shù)的形式：,其中：,向量形式：,其中,注：齊次線性方程組不同的表示形式：,12,1、線性相關(guān)性,引言 設(shè)有方程組,易知方程間有關(guān)系 (3)=2(1)+(2), 若記:,3.1.2 向量組的線性相關(guān)性,則,13,定義（線性組合）,或說 線性表示.,則說向量 的線性組合，,于是知, 方程組中有無多余方程等價于在相應(yīng)的向量 組中是否有某個向量能由其余向量線性表示.,14,定義（線性相關(guān)）,則說向量組 線性相關(guān)，否則稱它們 線性無關(guān).,問: 如何用定義來驗證一組向量線性相關(guān)或線性無關(guān)?,15,注 零向量與任一向量線性相關(guān).,是對應(yīng)分量

4、成比例，即,為線性無關(guān).,注 線性無關(guān)的敘述,線性無關(guān),關(guān)于定義的幾點注意：,16,例 (P69例3) 討論向量組線性相關(guān)性.,使,于是得,解 設(shè)有,17,證 設(shè)有,易知：任一n維向量可由n維單位坐標向量組線性表示.,例 (P68例1) n 維向量組,結(jié)論 n 維單位坐標向量組是線性無關(guān)的.,稱為 n 維單位坐標向量組 。,18,證,19,20,定理 1 向量組 線性相關(guān) 的充要條件是其中至少有一個向量可由其余 m-1個 向量線性表示.,證,21,（必要性）,證畢.,思考： 若 線性相關(guān)， 是否 一定 能用其余向量線性表出？,（不一定）,22,定理 2 設(shè) 線性無關(guān)，而 線性相關(guān)，則 能由 線

5、性表示，且表示式是唯一的.,23,證畢,24,易知，一個 mn 的矩陣 Amn 既可以看作是由 m 個 n 維的行向量構(gòu)成；也可以看作是由 n個 m 維的列向量 構(gòu)成，反之亦然.,2 矩陣與向量組,這里，我們來建立矩陣與向量組之間的聯(lián)系.,25,故A可表示為,26,證,結(jié)論 矩陣 A 的列向量組 線性相關(guān) 的充要條件是齊次線性方程組 Ax=0 有非零解. 其中,證畢,27,類似地有，矩陣A的行向量組 線性 相關(guān)的充要條件是齊次線性方程組 AT x=O 有非零解. 其中 x=,由上可見，向量間的相關(guān)性問題可借助于矩陣或齊次 線性方程組來表述.,熟悉同一個問題的不同形式表述，對于學(xué)好第三章及 以后

6、內(nèi)容是很重要的.,28,3.2 線性相關(guān)性的判定定理,本節(jié)將討論 從不同的角度（如向量組中向量的個數(shù)、 維數(shù)、以及分量的順序）提出向量組線性 相關(guān)的判定條件 利用矩陣來判別向量組的線性相關(guān)性,29,從而,定理 3 若 線性相關(guān)， 則 也線性相關(guān).,證 因為 線性相關(guān)，故有不全為零 的數(shù) 使,30,定理 4 設(shè)有兩個 n 維列向量組,即向量 是把 的第一、二個分量對調(diào)而得，則向 量組A與向量組B的線性相關(guān)性相同.,證 記,31,32,顯然可知，方程組 Ax=O 與方程組 Bx=O 是同解的， 故若 A 組線性相關(guān)，B 組也線性相關(guān)；若 A 組線性無 關(guān)，B 組也線性無關(guān). 即它們的線性相關(guān)性相同

7、.,定理 4/ 設(shè)有兩個 n 維列向量組,其中 是 這 n 個自然數(shù)的某 個確定的排列，則向量組A與向量組B的線性相關(guān)性相同.,33,注 定理4與定理 4/ 對行向量情形也同樣成立.,定理 5 設(shè)有兩個列向量組,即向量 是由 添加一個分量而得，若向量組 A 線 性無關(guān)，向量組 B 也線性無關(guān).,34,記,定理 5 的證明,35,由于方程組 Bx=O 的前 r 個方程即是 Ax=O 的 r 個方 程，故方程組 Bx=O 的解一定是 Ax=O 的解.,因為向量組 A 線性無關(guān)，所以 Ax=O 只有零解，從而 Bx=O 也只有零解, 因此向量組 B 也線性無關(guān).,36,推論 r 維向量組的每個向量添

8、上 n-r 個分量，成為 n 維 向量組。若 r 維向量組線性無關(guān)，則n 維向量組亦線性 無關(guān)；反過來，若 n 維向量組線性相關(guān)，則 r 維向量組 亦線性相關(guān).,以上我們給出了幾個判別線性相關(guān)性的定理，為幫助 記憶，特總結(jié)成以下幾句話：,改變向量的個數(shù)時，部分相關(guān)，整體也相關(guān)； 整體無關(guān)，部分也無關(guān). 改變向量的維數(shù)時，低維無關(guān)，高維也無關(guān)； 高維相關(guān)，低維也相關(guān). 同步改變向量的分量順序時，線性相關(guān)性不變.,37,注 1) 定理的結(jié)論對行向量情形同樣成立.,2) 此定理是從矩陣的角度來判斷向量組的相關(guān)性, 無論 在理論上還是在計算中都經(jīng)常被用到.,定理 6 向量組 線性相關(guān)的充分必要條 件是

9、它們所構(gòu)成的矩陣 的秩 小于向量的個數(shù) m, 即R(A)m, 該向量組線性無關(guān)的充 分必要條件是 R(A)=m.,利用上章定理 8 可以得到如下的重要結(jié)論:,3) 用此定理可以給出前面定理35的另一種證法.,38,例 試判別向量組 的線性相關(guān)性.,解 記,因為 3 階子式,顯然，用 定理 6 判 別相關(guān)性 十分簡單,39,下面來看定理6的幾個推論，它們都是經(jīng)常要用到的，大家應(yīng)能熟記之.,推論 1 n 個 n 維向量線性無關(guān)的充要條件是它們所構(gòu) 成的方陣的行列式不等于零.,特別 n+1個n維向量必相關(guān).,40,解 對A，行：3個2 維向量，必相關(guān).,列：2個3 維向量，可考察 2 階子式,因為,

10、對B，行、列皆為3個3維向量，考察其行列式.,例 討論下列矩陣的行、列向量組的線性相關(guān)性.,41,對C，列：4個3 維向量，必相關(guān). 行：3個4 維向量,R(C)=23, 故 C 中行向量組線性相關(guān).,因為,R(B)=3，故 B的行、列向量組皆線性無關(guān).,42,1.已知向量組 線性相關(guān)，求 t 值.,練 習(xí),解題提示：矩陣 的秩 R(A)3, 故 3 階子式應(yīng)全為零，特別,43,44,45,46,47,3.3 向量組的秩和最大無關(guān)組,本節(jié)討論 (1) 向量組的等價 (2) 向量組的秩和最大無關(guān)組 (3) 矩陣的秩與向量組的秩的理論,48,定義4（向量組等價）,3.3.1 向量組的等價,設(shè)有兩個

11、向量組 如果向量組 A中的每一個向量都能由向量組B中的向量線性表示，則 稱向量組A能由向量組B線性表示. 如果向量組A能由向量組B線性表示且向量組B也能由向 量組A線性表示，則稱向量組A與向量組B等價.,49,向量組 E 為 n 維單位坐標向量組 ,又如 當可由 線性表示時，向 量組 與向量組 是等價的.,請舉出等價向量組的例子.,如 設(shè) Rn 為 n 維向量的全體所構(gòu)成的向量組，,則 E 與 Rn 等價.,50,結(jié)論 向量的等價關(guān)系具有下述性質(zhì)： 反身性 A組與A組自身等價； 對稱性 若A組與B組等價，則B組也與A組等價； 傳遞性 若A組與B組等價，B組與C組等價，則A組 與C組等價.,證

12、，是顯然的. 為證，我們先介紹一個結(jié)論.,結(jié)論 A 組向量能由 B 組向量線性表示 (其中A組、B組向量構(gòu)成的矩陣也分別記為A、B),51,證：（僅證行向量情形）,因為A組能由B組線性表示，故存在數(shù),結(jié)論 A 組向量能由 B 組向量線性表示,使,52,即,類似證列向量的情形.,證畢,結(jié)論 A 組向量能由 B 組向量線性表示,53,54,55, 傳遞性 若A組與B組等價，B組與C組等價，則A組與C組等價.,證 （不妨設(shè)為行向量）,證畢,因 A 組與 B 組等價，故存在矩陣 K1、T1， 使得 A= K1B，B=T1 A，,又 B 組與 C 組等價，故存在矩陣 K2、T2 ， 使得 B= K2C，

13、C=T2 B，,于是有 A= K1 K2C， C=T2T1 A， 即A與C等價.,56,例 設(shè) 是 n 個 n 維向量，證明: 若 線性無關(guān)，則 與 等價.,于是知兩個向量組等價.,57,設(shè)有向量組T，如果 在T中有r個向量 線性無關(guān)；, T中任意 r+1個向量（如果有）都線性相關(guān)， 則稱 是向量組 T 的一個最大線 性無關(guān)組，簡稱最大無關(guān)組，數(shù) r 稱為向量組 T的秩.,3.3.2 向量組的秩和最大無關(guān)組,定義（向量組的秩和最大無關(guān)組）,規(guī)定：只含零向量的向量組的秩為零.,58,注 由定義立即可得： R(T)=T 的最大無關(guān)組中所含向量的個數(shù)； 若 R(T)= r , 則 T 中任意 r 個

14、線性無關(guān)的向量都是 T 的最大無關(guān)組.,例 求 Rn 的一個最大無關(guān)組及 Rn 的秩.,59,Can You Answer Them?,1.如果向量組本身是線性無關(guān)的，其最大無關(guān)組如何？ 2.一個向量組的最大無關(guān)組是否唯一？,(是其自身),60,答 一般不唯一. 如在 Rn 中，任意 n 個線性無關(guān)的向量都是 Rn 的一個最大無關(guān)組.,2. 一個向量組的最大無關(guān)組是否唯一？,(問：如何驗證n個n維向量構(gòu)成Rn的最大無關(guān)組?),如,都為 Rn 的最大無關(guān)組.,61,性質(zhì) 1 向量組線性無關(guān)的充分必要條件是它所含的向量的個數(shù)等于它的秩.,性質(zhì) 2 設(shè)向量組 是向量組 T 的一個 最大無關(guān)組，則向量

15、組A與向量組T等價.,另一方面，,綜合知，A組與T組等價.,證畢,62,定理7 設(shè)向量組 的秩為 r1， 向量組 的秩為 r2， 如果A組能由B組線性表示，則 r1 r2 .,引理 設(shè)向量組 向量組 若A組能由B組線性表示,且A組線性無關(guān)，則有 rs .,此定理稱為秩的比較定理，為證本定理，我們先 給出一個引理.,63,引理的證明,證 （不妨設(shè)為 行向量）記,現(xiàn)記,即K是由 r 個s 維行向 量構(gòu)成.,由A組能由B組線性表示知存在矩陣 Krs，使 A=KB,下證 rs（用反證法）,64,此與A組線 性無關(guān)矛盾.,若 rs ，則由于 r 個 s 維向量必相關(guān),即,線性相關(guān)，故存在不全為 0 的數(shù)

16、,使,引理證畢,故一定有,65,證 設(shè) A1 組為 A 組的最大無關(guān)組，B1 組為 B 組的最大 無關(guān)組，則 A1 組、B1 組中所含的向量個數(shù)分別為 r1，r2 .,證畢,定理7 設(shè)向量組 的秩為 r1， 向量組 的秩為 r2， 如果A組能由B組線性表示，則 r1 r2 .,因為 A 組能由 B 組線性表示，故 A1 組也能由 B1 組線性表示。（請思考為什么？）,于是由引理知 r1 r2 .,66,問: 推論 1 的逆命題是否成立？,答 推論1的逆不真，即等秩組不一定等價.,則A組與B組的秩皆為2，但A組與B組顯然不等價. （有關(guān)此命題的進一步的結(jié)論可參見習(xí)題3）,推論 1 等價的向量組有

17、相同的秩.,定理7的若干推論,簡稱為等 價組等秩,如：,67,定理8 矩陣A的秩等于A的行向量組的秩，也等于A的 列向量組的秩. （此性質(zhì)常稱為三秩相等定理.）,推論 2 設(shè)在向量組T中有 r 個向量 滿足 線性無關(guān)； 任取 線性 表示. 則 即是向量組T的一個最大 無關(guān)組，數(shù) r 即是向量組的秩.,3.3.3 向量組的秩與矩陣秩的關(guān)系,即 R(A) = A的行秩 = A的列秩.,68,定理8 矩陣A的秩等于A的行向量組的秩，也等于A的 列向量組的秩.,證 設(shè) A 為mn矩陣，當R(A)=0時，A=O，結(jié)論自然 成立，故下設(shè)R(A)0.,記 A 的列向量為,由矩陣秩的定義，A 中存在一個 r

18、階子式 Dr0, 由定理 6知，Dr 所在的 r 列線性無關(guān)，又由于A中所 有 r+1 階子式均為 0, 知 A 中任意 r+1個列向量線性 相關(guān)，因此 Dr 所在的 r 列就是 A 的列向量組的最大 無關(guān)組，所以 A 的列秩等于 r. 同理可證 A 的行秩也等于 r.,69,推論 設(shè)矩陣 A 的某個 r 階子式 Dr 是 A 的最高階非零 子式，則 Dr 所在的 r 個行向量即是 A 的行向量組的一 個最大無關(guān)組； Dr 所在的 r 個列向量即是 A 的列向量 組的一個最大無關(guān)組.,例 求下列向量組的秩，并求一個最大無關(guān)組：,解題思路：法 1 從判別向量組的相關(guān)性入手. 法 2 構(gòu)造矩陣，先

19、求矩陣的秩. （矩陣的秩可用初等變換法求得）,70,解法 1 易見,解法 2,易知，二階子式,71,故知 R(A)=2，,問：能否取 其它的二階 子式？,72,例,證 設(shè) C=AB,特別，當 A可逆時，有 當 B可逆時，有,則知 C的行向量組可由B的行向量組線性表示; C的列向量組可由A的列向量組線性表示,從而由定理7及三秩相等定理，知 R(C)R(B)，R(C)R(A) 故命題成立.,73,定理 9 矩陣 A 經(jīng)過初等行變換化為矩陣 B，則 A 、B 的行向量組之間等價，而 A、B 的 列向量組之間有 相同的線性組合關(guān)系.,本定理的證明略去, 但要注意此定理在解題中的應(yīng)用.,74,（思考：從

20、階梯形B 和最簡形 C 能了解原矩陣的什么信息？）,解 用初等行變換法可同時解決題中的幾個問題， 其理論依據(jù)正是定理9.,75,1）R(A)=R(B)=R(C)=3.,2）根據(jù) B、C 的結(jié)構(gòu)可知 B、C 的第 1、2、4 列線性無 關(guān)，由定理 9 知，A的第 1、2、4 列也線性無關(guān)，故 A 的第 1、2、4 三個列向量是 A 的列向量組的最大無 關(guān)組.,76,3）為將A 的其它的列向量用最大無關(guān)組表示，記,則在A 中亦有,77,綜上所述，我們有,78,1. 設(shè)有行向量組,解 考慮,Can You Answer Them?,79,2 判斷 1 若A組向量與B組向量等價，則A組與B組的線性 相

21、關(guān)性相同.,（）,3 若矩陣A的行向量組與B的行向量組等價，則方 程組AX=0與BX=0同解.,（）,（）,2 若C=AB，則C的行向量組可由B的行向量組線性 表示, C的列向量組可由A的列向量組線性表示.,Can You Answer Them?,80,3.4 向量空間,本節(jié)將討論： 向量空間的定義 向量空間的基和維數(shù)的概念 用初等變換法驗證一組向量是否構(gòu)成向量空 間的基并將其余向量用這組基線性表示,81,1. 定義（向量空間） 設(shè)V為 n 維向量的集合，如果集合V非空，且集 合V對于加法及數(shù)乘兩種運算封閉，那么就稱集合 V為向量空間。,82,2）定義中也指明了驗證一個向量集合是否為向量 空

22、間的步驟： V非空； V關(guān)于向量加法封閉； V關(guān)于 向量數(shù)乘封閉.,注 1）n 維向量的全體 Rn 是向量空間.,1. 定義（向量空間） 設(shè)V為 n 維向量的集合，如果集合V非空，且集 合V對于加法及數(shù)乘兩種運算封閉，那么就稱集合 V為向量空間.,83,例 1 是一向量空間6-這就是解析幾何中討論的三維歐氏 空間 R3.,例 2 驗證,是一向量空間.,84,解 因為零向量 0 V1 ，故V1 非空.,綜上知， V1 是一向量空間.,又設(shè),設(shè),85,解 以下說明 V2 對加法運算不封閉.,所以 V2 不是向量空間.,設(shè),例 3 說明 不是一向量空間.,86,結(jié)論 設(shè) 是兩個已知的 n 維向量，則 是一個向量空間.,（稱V是由 所生成的向量空間）,驗證 設(shè),故V是向量空間.,87,一般地，由 所生成的向量空間為。,即若向量組 與 等價，,結(jié)論 等價的向量組所生成的向量空間相同.,又,88,2. 定義 （基和維數(shù)）,設(shè) V 為向量空間，如果 r 個向量,且滿足：,線性無關(guān)