1、沈陽二中沈陽二中 2014-20152014-2015 學年度上學期期末考試學年度上學期期末考試 高二（高二（1616 屆）理科數(shù)學試題屆）理科數(shù)學試題 第卷（第卷（6060 分）分） 一選擇題（共 12 小題，每小題 5 分，共 60 分。在每小題給出的四個選 項中，只有一項 是符合題目要求的） 1.已知命題 p：x R，| x| 0，那么命題p為（ ） AxR, x 0 C. xR, x 0 BxR, x 0 DxR, x 0 2. 已知 a b ,則下列不等關系正確的是（） Aa2 b2 C2a 2b Bac2 bc2 Dlog 2 a log 2 b x2y2 3. 設直線 :l :

2、y = kx+ m(m ? 0),雙曲線 C : 2 2 1(a 0,b 0) ,則“ k = - b aab ”是 “直線l與雙曲線 C 恰有一個公共點“的( ) A充分不必要條件 C充分條件 B必要不充分條件 D既不充分也不必要條件 4. 有下列四個命題： (1)已知 A，B，C，D 是空間任意四點，則 AB BC CD DA 0； (2)若兩個非零向量 AB與CD滿足ABCD0,則AB CD； (3)分別表示空間向量的有向線段所在的直線是異面直線，則這兩個向 量不是 共面向量； (4)對于空間的任意一點 O 和不共線的三點 A， B， C， 若OP xOA yOB zOC (x, y,z

3、R),則四點共面。 其中正確命題的個數(shù)是（） A.3B.2C.1D.0 / 11 2x y 2 x2y 2 5.設變量滿足約束條件，則目標函數(shù)z 2x y的最大值是（） x 0 y 0 A.4B.2C.1D. 2 3 6. 空間四邊形中，且OM 2OA， N 為中點， OA a,OB b,OC c,點 M 在上， 則MN=（） 121 Aa-bc 232 Cab-c Bab 2 3 1 2 1 c 2 1 2 1 2 2 3 Dab-c 2 3 2 3 1 2 7.已知數(shù)列a n 是等比數(shù)列，其前 n 項和為S n ，若 S 6 A.9B.18C.64 S 3 9,則 D.65 S 12（ ）

4、 S 6 x2y2 8.已知雙曲線 1的右焦點與拋物線y2 ax的焦點重合，則該拋物線的 45 準線被雙曲線所截的線段長度為（） A.4B.5C. 5 2 D. 5 2 9.定義 n p 1 p 2 . p n 為n個正數(shù) p 1, p2 ,., p n 的“均倒數(shù)”.若已知正數(shù)數(shù)列 a n 1 ,又 b n a n 1,則 1 1 . 1 ( ) 2n14b 1b2 b 2b3 b 10b11 C. 的前n項的“均倒數(shù)”為 A. 1 11 B. 1 12 10 11 D. 11 12 10.已知 P 是拋物線 y2 4x 上的一個動點 , Q 是圓x32 y121上的一個動 點, N(1,0

5、)是一個定點,則PQ PN 的最小值為（） A.3B.4C.5 1 D. 2 1 11.已知直三棱柱 1B1C1 的各棱長均為 1,棱所在直線上的動點M滿足 BM BB1與側面 1C1C 所成的角為,若 2 , 2 ,則的取值范圍是( ) 2 / 11 A. , 12 6 B. , 6 4 C. , 4 3 D. , 3 12 5 x2y2 12.已知雙曲線 2 2 1(a 0,b 0),M,N ab 是雙曲線上關于原點對稱的兩點， P 是 雙曲線上的動點，直線，的斜率分別為k 1,k2 (k 1 k 2 0)，若k 1 k 2 的最小值 為 1，則雙曲線的離心率為（） A. 2B. 5 2

6、C. 3 2 D. 3 2 第卷（第卷（9090 分）分） 二、填空題（共 4 小題，每小題 5 分，共 20 分，將答案填在答題紙上） 13. 若a (1,1,0),b (1,0,2),則與ab同方向的單位向量是 14. 已知數(shù)列1,a 1,a2 ,9是等差數(shù)列，數(shù)列1,b 1,b2 ,b 3,9 是等比數(shù)列，則 為 . 15. 平行六面體A 1B1C1D1 中，以頂點 A 為端點的三條棱長度都為 2，且兩 兩夾角為 60，則DB 1 和C 1A1 所成角大小為. 16. 若 x 0,y 0,且 13 2,則6x5y 的最小值為. 2x yx y b 2 a 1 a 2 的值 三、解答題（共

7、6 小題，共70 分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算 步驟） 17、（本小題滿分 12 分） 已知命題 p： 方程x2mx 1 0有兩個不相等的實根； q：不等式4x2 4(m2)x1 0的解集為 R；若 p 或 q 為真，p 且 q 為假，求實 數(shù) m 的取值范圍。 18. （本小題滿分 12 分） 已知等差數(shù)列a n 的前n項和為S n ,且a 2 17,S 10 100. ()求數(shù)列a n 的通項公式; / 11 ()若數(shù)列b n滿足 b n a n cos(n)2n(nN*),求數(shù)列b n的前 n項和. 19.（本小題滿分 12 心率為 2. ()求此雙曲線的漸近線 l 1，l2

8、的方程； ()若 A，B 分別為 l 1，l2 上的點，且 25 1F2|，求線段的中點 M 的軌跡方程， 并說明軌跡是什么曲線。 20.（本小題滿分 12 分）如圖,在四棱錐中,底面為直角梯形,90,平面 底面為的中點是棱上的點 2 1 3 . ()若點 M 是棱的中點,求證平面; ()求證:若二面角為 30,試求 PM PC 1 2 y2x2 分）設雙曲線 2 1(a 0)的兩個焦點分別為F 1,F2 ,離 a3 的值。 P M D Q A B C 1(a b 0)的長軸是短軸的兩倍，點 x2y2 21.（本小題滿分 12 分）橢圓C： 2 2ab / 11 1 P( 3,) 在橢圓上.不

9、過原點的直線 2 l與橢圓相交于A、B兩點，設直線、l、 的斜率分別為k 1 、k、k 2 ，且k 1 、k、k 2 恰好構成等比數(shù)列，記ABO的面積 為S. ()求橢圓C的方程. ()試判斷 OA 2 OB 2是否為定值？ 若是，求出這個值；若不是，請說明理由？ ()求S的范圍. 請考生在第 22、23 兩題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記 分，作答時用 2B 鉛筆在答題卡上把所選題目對應題號下方的方框涂黑. 22. （本小題滿分 10 分）選修 4-4：坐標系與參數(shù)方程 已知曲線C的極坐標方程是 4cos .以極點為平面直角坐標系的原點,極軸 為x軸的正半軸,建立平面直角坐標系

10、,直線l 參數(shù)). () 若直線l與曲線C相交于A、B兩點,且| AB| 14 ,試求實數(shù) 2 t x m 2的參數(shù)方程是: y 2 t 2 (t是 m值. () 設Mx, y為曲線C上任意一點，求x y的取值范圍. / 11 23 （本小題滿分 10 分）選修 4-5：不等式選講 設不等式 x2 3 x a(aN*)的解集為 A，且2 A, 3 A 2 ()求 a 的值； ()求函數(shù) f (x) xa x2的最小值。 沈陽二中沈陽二中 2014-20152014-2015 學年度上學期期末考試學年度上學期期末考試 高二（高二（1616 屆）理科數(shù)學試題答案屆）理科數(shù)學試題答案 一選擇題：1-

11、5 6-12 2 二 填空題： 13.（0， 5 ， 5 5 5 ） 14. 3 15. arccos 10 6 16. 134 3 26 三解答題： 17、 解：因為方程x+ + 1=0 有兩個不相等的實根， 所以 1 40,m2 或m 0 的解集為 R， 所以 2=16(m 2) 160,1 m 36 / 11 2 2 2 2 分 因為p或q為真，p且q為假，所以p與q為一真一假，8 分 m 2或m 2 （1）當p為真q為假時， m 2或m 310 分 m 1或m 3 2 m 2 （2）當p為假q為真時， 1 m 2 1 m 3 綜上所述得：m的取值范圍是m 2或m 3或1 m 212 分

12、 18. （I）設首項為 a 1，公差為 a 1+d=17 d，則解得 10(2a 1+9d)100 2 a 1=192 19+（1）（-2）=21-2n（4 分） （）（n）+2（-1）2 當 n 為偶數(shù)時， 12（1+2）+（a2+2 ）+（3+2 ）+（2 ） n2(12n) =(-2) 2n1n2(7 212 2 23n n 分) 3n當 n 為奇數(shù)時， 12（1+2）+（a2+2 ）+（3+2 ）+（2 ） 2(12 )19+2 n1+2 -2=2 22 （10 分） 1+(a23)+(1) 11 n 12 2 2 n1n2(當n為偶數(shù)） n1 （12 （當n為奇數(shù)） 2 n22 2

13、222 分） 19. 解： （） 2，c =4a ，c +3，1，2， 雙曲線方程為 y2 x2 3 1，漸近線方程為 3 x；（4 3 分） （）設 A（x 1， y1） ，B（x2， y2） ，的中點 M（x，y） 2| AB| 5| F 1F2 | | AB| 5 | F 1F2 |=10 2 =10（6 分）又y 1 / 11 3 y 2 3 2，1， 33 (x 1 x 2 )2(y 1 y 2 )2 2 12， 212 y 12= 2 3（x 12） ， y12= 3（x 1+ x2） 3 (x 1 x 2 )2 3(y 1 y 2 )2 333 =10 1 2 x23y2 3（2

14、y）+ （2x）=100 1，即為 3 7525 M 的軌跡方程。（10 分） 則 M 的軌跡是中心在原點，焦點在 x 軸上長軸長為10 3，短軸長為10 橢圓。（12 分） 20. 解:證明:()連接,交于 N,連接且,即/. 四邊形為平行四邊形,且 N 為中點, 又點 M 是棱的中點, 平面 平面, 平面 4 3 3 的 1 2 分 () 為的中點, . 平面平面,且平面平面, 平面為的中點, 四邊形為平行四邊形, 90 90 即. 6 分 如圖,以 Q 為原點建立空間直角坐標系. 1 2 z P M D Q A x 則PC (1, C N B y 3),B(0,3,0) ,C(1, 3,

15、0)則平面的法向量為n (0,0,1); Q(0,0,0),P(0,0, 3, 3),QP (0,0,3)設PM tPC ,(0 t 1), / 11 在平面中,QB (0, 3,0)，QM QPtPC (t, 3t, 3 3t), 8 3 3t,0,t) 10 分 平面法向量為m (分 二面角為 30, cos30 |nm| n m |t | ( 3 3t)20t2 333 , t 1 ,t 2 （舍） 422 PM3 = 12 PC4 分 31 2 b 1，1 22a4b 21. （1）由題意可知a 2b且 x2 所以橢圓的方程為 y21 3 4 分 y kxm x 4y 4 22 （2）

16、設直線l的方程為 y kxm（m0） ，A(x 1, y1)、B(x2 , y 2 )由 (14k2)x28kmx4m24 0 8kmx x 12 14k2 24m 4 x x 12 14k2 4 分 k 1 、k、k 2 恰好構成等比數(shù)列. k2 k 1k2 y 1 y 2 x 1x2 = (kx 1 m)(kx 2 m) x 1x2 22 22 m14k 4k2m2m2 0 8k m 即k2 k2 2 4m 44m24 k2 11 6 k 42 分 此時且 16(14k2 m2) 0 16(2m2) 0 得 0m 2，且 m 1（否則：x 1x2=0，則 x1，x2 中至少有一個為 0，直

17、線、 中至少有一個斜率不存在，矛盾！ ） 7 分 x 1 x 2 2m 2 x1x2 2m 2 22 / 11 22=OA OB x 1 2 y 1 2 x 2 y 2 22 3 22x 1 x 2 2 4 2= 3 x 1 x 2 2x 1x2 2 5 4 所以 OA OB 22是定值為 5. 8 分 （3）S 1 2 m11 AB d 1k2x 1 x 2 22 1k2 2x 1 x 2 4x 1x2 m 1 4m28m28m 2 22= 分 (m21)21 (0m 2，且 m 1) 10 S(0,1) 12 分 22. 解法一: (I)曲線 C 的極坐標方程是 4cos 化為直角坐標方程

18、為: x2 y2 4x 0 直線l l的直角坐標方程為: y y x x m m 圓心到直線 l的距離 d d 2 22 2 ( ( 1414 2 2 2 2 ) ) , , 2 22 2 | | 2 2 0 0 m m | | 2 2 2 2 2 2 | | m m 2 2| | 1 1 m m 1 1或m m 3 3 2 2 x x t t m m 2 2 解法二:把 (t是參數(shù))代入方程x2 y2 4x 0, y y 2 2 t t 2 2 得t t2 2 2 2( (m m 2 2) )t t m m2 2 4 4m m 0 0, t t 1 1 t t 2 2 2 2( (m m 2 2), ),t t 1 1t t2 2 m m2 2 4 4m m. | | ABAB | | | | t t 1 1 t t 2 2 | | ( (t t 1 1 t t 2 2 )