1、第6章 多項(xiàng)式運(yùn)算和數(shù)據(jù)插值,若干個(gè)單項(xiàng)式的和組成的式子叫做多項(xiàng)式，其中每個(gè)單項(xiàng)式叫做多項(xiàng)式的項(xiàng)，這些單項(xiàng)式中的最高次數(shù)，就是這個(gè)多項(xiàng)式的次數(shù)。多項(xiàng)式是代數(shù)學(xué)中最基本的研究對(duì)象之一。多項(xiàng)式是簡單的連續(xù)函數(shù)，它的幾何圖形是一條平滑曲線。 在工程測量和科學(xué)實(shí)驗(yàn)中，所獲得的數(shù)據(jù)通常是離散的。例如，反映某種函數(shù)關(guān)系的n個(gè)數(shù)據(jù)節(jié)點(diǎn)。數(shù)據(jù)插值是在離散數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上，使用線性函數(shù)、多項(xiàng)式函數(shù)或是樣條函數(shù)等構(gòu)造一個(gè)連續(xù)函數(shù)，使得這條構(gòu)造函數(shù)的連續(xù)曲線通過全部給定的離散數(shù)據(jù)點(diǎn)。插值是離散函數(shù)逼近的重要方法，利用它可通過函數(shù)在有限個(gè)點(diǎn)處的取值狀況，估算出函數(shù)在其他點(diǎn)處的近似值。,6.1 多項(xiàng)式運(yùn)算,多項(xiàng)式的冪級(jí)數(shù)形

2、式為 6.1.1 符號(hào)多項(xiàng)式的生成 使用函數(shù)生成符號(hào)多項(xiàng)式的格式是： poly2sym(P,x) 其中，多項(xiàng)式系數(shù)向量 ； x是自變量，可以省略。 6.1.2 求多項(xiàng)式的值和根 1、求多項(xiàng)式值的函數(shù)調(diào)用格式是： polyval(P,b) 其中，P是多項(xiàng)式系數(shù)向量；b是多項(xiàng)式變量x的值,例6-1 計(jì)算多項(xiàng)式的值。 在MATLAB中多項(xiàng)式是以向量的形式存儲(chǔ)的，因此直接輸入多項(xiàng)式的系數(shù)向量，系統(tǒng)會(huì)按照降冪自動(dòng)將向量元素分配給多項(xiàng)式的各項(xiàng)系數(shù)，從而創(chuàng)建多項(xiàng)式。 % 計(jì)算多項(xiàng)式的值 P=3 0 2 1 0 7; % 多項(xiàng)式的系數(shù)向量 y=poly2sym(P) % 符號(hào)工具箱轉(zhuǎn)換函數(shù) x=2.5; %

3、自變量x取值 yx=polyval(P,x) % 多項(xiàng)式的值 程序運(yùn)行結(jié)果： y = 3*x5+2*x3+x2+7 yx = 337.4688,2、求多項(xiàng)式值根的函數(shù)調(diào)用格式是： roots(P) 其中，多項(xiàng)式系數(shù)向量 例6-2 計(jì)算多項(xiàng)式的根。 P=3 0 2 1 0 7; % 多項(xiàng)式的系數(shù)向量 X0=roots(P) % 多項(xiàng)式的根 M文件運(yùn)行結(jié)果： x0 = -1.1254 -0.2821 + 1.2085i -0.2821 - 1.2085i 0.8448 + 0.7954i 0.8448 - 0.7954i,6.1.3 多項(xiàng)式的乘法和除法運(yùn)算 1、多項(xiàng)式的乘法運(yùn)算 多項(xiàng)式乘法運(yùn)算的函

4、數(shù)調(diào)用格式是： conv(P1,P2) 其中，輸入?yún)?shù)(P1,P2)分別是參與運(yùn)算的兩個(gè)多項(xiàng)式系數(shù)向量。 該函數(shù)運(yùn)行后返回多項(xiàng)式積的系數(shù)向量。 2、多項(xiàng)式的除法運(yùn)算 多項(xiàng)式除法運(yùn)算的函數(shù)調(diào)用格式是： deconv(P1,P2) 其中，輸入?yún)?shù)(P1,P2)分別是參與運(yùn)算的兩個(gè)多項(xiàng)式的系數(shù)向量。 該函數(shù)運(yùn)行后返回多項(xiàng)式商的系數(shù)向量。,例6-3 計(jì)算以下兩個(gè)多項(xiàng)式的積和商： % 計(jì)算多項(xiàng)式的乘法和除法運(yùn)算 P1=1 -3 2 1 2; % 多項(xiàng)式1的系數(shù)向量 y1=poly2sym(P1) P2=3 0 2 1 0 7; % 多項(xiàng)式2的系數(shù)向量 y2=poly2sym(P2) J=conv(P1,

5、P2) % 多項(xiàng)式的乘法運(yùn)算 yJ=poly2sym(J) S=deconv(J,P1) % 多項(xiàng)式的除法運(yùn)算,運(yùn)算結(jié)果： y1 = x4-3*x3+2*x2+x+2 y2 = 3*x5+2*x3+x2+7 J = 3 -9 8 -2 7 11 -16 16 7 14 yJ = 3*x9-9*x8+8*x7-2*x6+7*x5 +11*x4-16*x3+16*x2+7*x+14 S = 3 0 2 1 0 7 可見，兩個(gè)多項(xiàng)式的乘法運(yùn)算后得到多項(xiàng)式J，再除以多項(xiàng)式P1后得到的多項(xiàng)式S，與多項(xiàng)式P2相同。,6.1.4 多項(xiàng)式的導(dǎo)數(shù)和積分 1、多項(xiàng)式的導(dǎo)數(shù) 計(jì)算多項(xiàng)式導(dǎo)數(shù)的函數(shù)調(diào)用格式是： plo

6、yder(P) 其中，輸入?yún)?shù)P是多項(xiàng)式的系數(shù)向量。 該函數(shù)運(yùn)行后返回多項(xiàng)式導(dǎo)數(shù)的系數(shù)向量。 2、多項(xiàng)式的積分 計(jì)算多項(xiàng)式積分的函數(shù)調(diào)用格式是： ployint(P) 其中，輸入?yún)?shù)P是多項(xiàng)式的系數(shù)向量。 該函數(shù)運(yùn)行后返回多項(xiàng)式積分的系數(shù)向量。,例6-4 計(jì)算如下多項(xiàng)式的導(dǎo)數(shù)和積分 % 計(jì)算多項(xiàng)式的導(dǎo)數(shù)和積分 P=1 -3 2 1 2; % 多項(xiàng)式的系數(shù)向量 y=poly2sym(P) DS=polyder(P) % 多項(xiàng)式的導(dǎo)數(shù) JF=polyint(P) % 多項(xiàng)式的積分 運(yùn)算結(jié)果： y = x4-3*x3+2*x2+x+2 DS = 4 -9 4 1 JF = 0.2000 -0.750

7、0 0.6667 0.5000 2.0000 0,6.2 數(shù)據(jù)插值,多項(xiàng)式插值是最常見的一種函數(shù)插值。在一般插值問題中，若選取函數(shù)為n次多項(xiàng)式，由插值條件可以唯一確定一個(gè)n次插值多項(xiàng)式滿足上述條件。從幾何上看可以理解為：已知平面上n1個(gè)不同點(diǎn)，要尋找一條n次多項(xiàng)式曲線通過這些點(diǎn)。插值多項(xiàng)式一般有兩種常見的表達(dá)形式，一是拉格朗日插值多項(xiàng)式，另一是牛頓插值多項(xiàng)式。 為了避免多項(xiàng)式高次插值可能出現(xiàn)的大幅度波動(dòng)現(xiàn)象，在實(shí)際應(yīng)用中通常采用分段低次插值來提高近似程度，三次樣條插值作為一種全局化的分段插值方法，成為比較理想的工具。,6.2.1 一維數(shù)據(jù)插值 1、一維數(shù)據(jù)插值函數(shù) 對(duì)于給定的個(gè)插值節(jié)點(diǎn)及對(duì)應(yīng)的

8、函數(shù)值，一維數(shù)據(jù)插值函數(shù)調(diào)用格式是： y0=interp1(x,y,x0,k) 它可以對(duì)插值區(qū)間內(nèi)的任意插值點(diǎn)的函數(shù)值進(jìn)行計(jì)算。其中，k是插值方法： linear（默選值）是線性插值； nearest是最近點(diǎn)等值插值； cubic是3次多項(xiàng)式插值，它根據(jù)插已知數(shù)據(jù)點(diǎn)構(gòu)造一個(gè)3次多項(xiàng)式，然后計(jì)算插值點(diǎn)函數(shù)值； spline是3次樣條插值，它在每個(gè)分段內(nèi)構(gòu)造一個(gè)3次多項(xiàng)式，使其插值函數(shù)除了滿足插值條件外，還要求在各個(gè)節(jié)點(diǎn)處滿足光滑連接條件。,例6-5 已知實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)一維函數(shù) 在區(qū)間0,4內(nèi)間距為0.2的離散值。試根據(jù)生成的數(shù)據(jù)進(jìn)行插值處理，比較它們的插值結(jié)果。 % 一維數(shù)據(jù)離散插值 x=0:0.2:

9、4; y=x.5.*exp(-4*x).*cos(x); figure(1) plot(x,y,k,x,y,ro); xlabel(bfit x);ylabel(bfit y); title(bf x5e-4*xcosx); x1=0:0.1:4; y1=interp1(x,y,x1,linear); % 線性插值 y2=interp1(x,y,x1,nearest); % 最近點(diǎn)等值插值,y3=interp1(x,y,x1,cubic); % 3次多項(xiàng)式插值 y4=interp1(x,y,x1,spline);% 3次樣條插值 figure(2) subplot(2,2,1);plot(x,

10、y,ro,x1,y1,-) xlabel(bfit x);ylabel(bfit y);title(bf 線性插值); subplot(2,2,2);plot(x,y,ro,x1,y2,-) xlabel(bfit x);ylabel(bfit y);title(bf 最近點(diǎn)等值插值); subplot(2,2,3);plot(x,y,ro,x1,y3,-) xlabel(bfit x);ylabel(bfit y);title(bf 3次多項(xiàng)式插值); subplot(2,2,4);plot(x,y,ro,x1,y4,-) xlabel(bfit x);ylabel(bfit y);titl

11、e(bf 3次樣條插值);,2、lagrange插值 對(duì)于給定的個(gè)插值節(jié)點(diǎn)及對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，利用n次lagrange插值多項(xiàng)式為 例6-6 已知自然對(duì)數(shù)函數(shù)數(shù)表如表6-1所示，用lagrange插值計(jì)算的值，并且檢驗(yàn)計(jì)算精度。 表6-1 自然對(duì)數(shù)函數(shù)數(shù)表,% Lagrange插值函數(shù)文件(Lagrange.m) function yi=lagrange(x,y,xi) yi=zeros(size(xi); np=length(y); for i=1:np z=ones(size(xi); for j=1:np if i=j z=z.*(xi-x(j)/(x(i)-x(j); end end yi

12、=yi+z*y(i); end,% 調(diào)用Lagrange.m的M文件 x=0.4:0.1:0.8;y=log(x); x0=0.54; yi=lagrange(x,y,x0) % 調(diào)用Lagrange插值計(jì)算 ys=log(x0) % 使用自然對(duì)數(shù)公式計(jì)算 M文件運(yùn)行結(jié)果： yi = -0.6161 ys = -0.6161 可見，采用lagrange插值可以獲得足夠的精度。,6.2.2 二維數(shù)據(jù)插值 1、二維網(wǎng)格數(shù)據(jù)插值 對(duì)于二維離散數(shù)據(jù)點(diǎn)所在的平面矩形區(qū)域內(nèi)，離散數(shù)據(jù)點(diǎn)可以使用函數(shù)meshgid生成網(wǎng)格矩陣。進(jìn)行二維網(wǎng)格數(shù)據(jù)插值的函數(shù)調(diào)用格式為： y0=interp2(x,y,z,x0,y

13、0,k) 其中，x和y是兩個(gè)向量，分別描述兩個(gè)參數(shù)的網(wǎng)格數(shù)據(jù)點(diǎn)；z是與網(wǎng)格數(shù)據(jù)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值；x0和y0是需要插值的數(shù)據(jù)點(diǎn)；k是插值算法，與一維數(shù)據(jù)插值函數(shù)interp1的規(guī)定相同。 例6-7 給定二維函數(shù) 離散得到的一些網(wǎng)格點(diǎn)。試使用3次樣條插值，并且繪制網(wǎng)格點(diǎn)的三維圖和插值擬合曲面圖。,% 二維網(wǎng)格數(shù)據(jù)插值 x,y=meshgrid(-3:0.6:3,-2:0.4:2); z=(x.2-2*x).*exp(-x.2-y.2-x.*y); subplot(1,2,1);surf(x,y,z); axis(-3 3 -2 2 -0.7 1.5); xlabel(bfit x);ylabel(b

14、fit y);zlabel(bfit x); title(bf 二維網(wǎng)格數(shù)據(jù)的三維圖); x0,y0=meshgrid(-3:0.2:3,-2:0.2:2); z0=interp2(x,y,z,x0,y0,spline); subplot(1,2,2);surf(x0,y0,z0); axis(-3 3 -2 2 -0.7 1.5); xlabel(bfit x);ylabel(bfit y);zlabel(bfit x); title(bf 3次樣條插值曲面圖);,2、二維分布數(shù)據(jù)插值 二維分布的離散數(shù)據(jù)插值的函數(shù)調(diào)用格式為： y0=griddata(x,y,x0,y0,v4) 其中，x0和

15、y0是需要插值的數(shù)據(jù)點(diǎn)，可以使用函數(shù)meshgid生成；v4是很圓滑的插值算法。 例6-8 已知14個(gè)節(jié)點(diǎn)的二維離散數(shù)據(jù)點(diǎn)及其函數(shù)值。試在 和 的區(qū)域內(nèi)，按照間距為3生成的插值點(diǎn)網(wǎng)格矩陣，使用3次多項(xiàng)式插值，并且繪制插值擬合曲面圖。 表6-2 二維分布數(shù)據(jù)點(diǎn)及其函數(shù)值 （具體數(shù)據(jù)見M文件所列）,x=129.0 140.0 103.5 88.0 185.5 195.0 105.5 157.5 107.5 77.0 81.0 162.0 162.0 117.5; y=7.5 141.5 23.0 147.0 22.5 137.5 85.5 60.5 121.0 3.0 56.5 116.5 84.0 43.5; subplot(1,2,1);plot(x,y,o) xlabel