1、高中數(shù)學(xué)解析幾何公式與題型高中數(shù)學(xué)解析幾何公式與題型 解析幾何中的基本公式 1、兩點(diǎn)間距離：若A(x1,y1),B(x 2 ,y 2 )，則AB (x 2 x 1 )2(y 2 y 1 )2 特別地：AB/x軸，則AB 。 AB/ y軸， 則AB 。 2、平行線間距離：若l1: Ax By C1 0, 則：d l 2 : Ax By C 2 0 C 1 C 2 A B 22 注意點(diǎn)：x，y 對應(yīng)項(xiàng)系數(shù)應(yīng)相等。 3、點(diǎn)到直線的距離：P(x ,y), l: Ax By C 0 則 P 到 l 的距離為：d Ax By C A B 22 4、直線與圓錐曲線相交的弦長公式： 2 y kx b F(x,

2、y) 0 消 y：ax bx c 0，務(wù)必注意 0. 若 l 與曲線交于 A(x1, y1),B(x2, y2) 則：AB (1 k2)(x 2 x 1 )2 5、若 A(x1, y1),B(x2, y2)，P（x，y） 。P 在直線 AB 上，且 P 分有向線段 AB 所成的比為， x 1 x 2 x 1 則，特別地：=1 時，P 為 y y 2 y 1 1 x 1 x 2 x 2 AB 中點(diǎn)且 y y 1 y 2 2 變形后： x x 1 y y 1或 x 2 xy 2 y 6、若直線 l1的斜率為 k1，直線 l2的斜率為 k2，則 l1到 l2的角為,(0,) 適用范圍：k1，k2都存

3、在且 k1k21 ， tan k 2 k 1 1 k 1k2 若 l1與 l2的夾角為，則tan k 1 k 2 ，(0, 21 k 1k2 注意： （1）l1到 l2的角，指從 l1按逆時針方向旋轉(zhuǎn)到l2所成的角，范圍(0,) l1到 l2的夾角：指l1、l2相交所成的銳角或直角。 （2）l1l2時，夾角、到角= 。 2 （3）當(dāng) l1與 l2中有一條不存在斜率時，畫圖，求到角或夾角。 7、（1）傾斜角，(0,)； （2）a,b夾角，0，； （3）直線 l 與平面的夾角，0， ； （4）l1與 l2的夾角為，0， ，其中 l1/l2時夾角=0； （5）二面角,(0,； （6）l1到 l2的角

4、，(0，) 8、直線的傾斜角與斜率 k 的關(guān)系 a)每一條直線都有傾斜角，但不一定有斜率。 b)若直線存在斜率 k，而傾斜角為，則 k=tan。 9、直線 l1與直線 l2的的平行與垂直 （1）若 l1，l2均存在斜率且不重合：l1/l2k1=k2 l1l2k1k2=1 （2）若l1: A 1 x B 1 y C 1 0, 若 A1、A2、B1、B2都不為零 l1/l2 2 2 l 2 :A 2 x B 2 y C 2 0 A 1 B 1 C 1； A 2 B 2 C 2 l1l2 A1A2+B1B2=0； l1與 l2相交 A 1 B 1 A 2 B 2 A 1 B 1 C 1； A 2 B

5、 2 C 2 l1與 l2重合 注意：若 A2或 B2中含有字母，應(yīng)注意討論字母=0 與0 的情況。 10、直線方程的五種形式 名稱方程注意點(diǎn) 斜截式：y=kx+b應(yīng)分斜率不存在 斜率存在 點(diǎn)斜式： y y k(x x ) （1）斜率不存在：x x （2） 斜率存在時為y y k(x x) 兩點(diǎn)式： y y 1 x x 1 y 2 y 1 x 2 x 1 截距式： xy 交 y 軸于(0,b)1其中 l 交 x 軸于(a,0)， ab 當(dāng)直線 l 在坐標(biāo)軸上， 截距相等時應(yīng) 分： （1）截距=0設(shè) y=kx （2）截距=a 0設(shè) 即 x+y=a 一般式：Ax By C 0（其中 A、B 不同時

6、為零） 10、確定圓需三個獨(dú)立的條件 圓的方程（1）標(biāo)準(zhǔn)方程：(x a) (y b) r， (a,b) 圓心，r 半徑。 （2）一般方程：x y Dx Ey F 0， （D E 4F 0) 2222 222 xy 1 aa DE (,) 圓心,r 22 222 D2 E2 4F 2 11、直線Ax By C 0與圓(x a) (y b) r的位置關(guān)系有三種 若d Aa BbC A B 22 ，d r 相離 0 d r 相切 0 d r 相交 0 12、兩圓位置關(guān)系的判定方法 設(shè)兩圓圓心分別為 O1，O2，半徑分別為 r1，r2，O 1O2 d d r 1 r 2 外離 4條公切線 d r 1

7、r 2 外切 3條公切線 r 1 r 2 d r 1 r 2 相交 2條公切線 d r 1 r 2 內(nèi)切 1條公切線 0 d r 1 r 2 內(nèi)含 無公切線 外離外切 相交內(nèi)切內(nèi)含 13、圓錐曲線定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及性質(zhì) （一）橢圓 定義：若 F1，F(xiàn)2是兩定點(diǎn)，P 為動點(diǎn)，且PF 1 PF 2 2a F 1F2 （a為常數(shù)） 則 P 點(diǎn)的軌跡是橢圓。 定義：若 F1為定點(diǎn)，l 為定直線，動點(diǎn)P 到 F1的距離與到定直線 l 的距離之比為常 數(shù) e（0e1） ，則動點(diǎn) P 的軌跡是雙曲線。 （二）圖形： （三）性質(zhì) x2y2y2x2 方程： 2 2 1 (a 0,b 0) 2 2 1 (a 0,b

8、 0) abab 定義域：x x a或x a；值域?yàn)?R； 實(shí)軸長=2a，虛軸長=2b 焦距：2c a2 準(zhǔn)線方程： x c 焦半徑： a2a2 PF 1 e(x )，PF 2 e( x)，PF 1 PF 2 2a； cc 注意： （1）圖中線段的幾何特征：AF 1 BF 2 ca，AF 2 BF 1 a c a2a2a2a2 或a 或c 頂點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離：a ；焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離：c cccc 2a2 兩準(zhǔn)線間的距離= c x2y2x2y2 b （2）若雙曲線方程為 2 2 1漸近線方程： 2 2 0 y x ababa x2y2xy b 若漸近線方程為y x 0雙曲線可設(shè)為 2 2 abab

9、a x2y2x2y2 若雙曲線與 2 2 1有公共漸近線，可設(shè)為 2 2 abab （ 0，焦點(diǎn)在 x 軸上， 0，焦點(diǎn)在 y 軸上） （3）特別地當(dāng)a b時 離心率e 2 兩漸近線互相垂直，分別為 y= x， 22 此時雙曲線為等軸雙曲線，可設(shè)為x y ； （4）注意PF 1F2 中結(jié)合定義PF 1 PF 2 2a與余弦定理cosF 1PF2 ，將有關(guān) 線段PF 1 、 PF 2 、 F 1F2 和角結(jié)合起來。 （5）完成當(dāng)焦點(diǎn)在 y 軸上時，標(biāo)準(zhǔn)方程及相應(yīng)性質(zhì)。 二、拋物線 （一）定義：到定點(diǎn) F 與定直線 l 的距離相等的點(diǎn)的軌跡是拋物線。 即：到定點(diǎn) F 的距離與到定直線 l 的距離之

10、比是常數(shù) e（e=1） 。 （二）圖形： （三）性質(zhì)：方程： 焦點(diǎn)：( y2 2px,(p 0), p 焦參數(shù)； p ,0) ，通徑 AB 2p； 2 p 準(zhǔn)線： x ； 2 ppp 焦半徑：CF x ,過焦點(diǎn)弦長CD x 1 x 2 x 1 x 2 p 222 p 注意： （1）幾何特征：焦點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離=；焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離=p；通徑長=2p 2 頂點(diǎn)是焦點(diǎn)向準(zhǔn)線所作垂線段中點(diǎn)。 （ 2 ） 拋 物 線 y 2px 上 的 動 點(diǎn) 可 設(shè) 為 2P(2pt2,2pt)或P(x , y)其中y 2px 2 y P( , y ) 或 2p 2 解析幾何新題型解析幾何新題型 【考點(diǎn)透視】【考點(diǎn)透視

11、】 一直線和圓的方程 1理解直線的斜率的概念，掌握過兩點(diǎn)的直線的斜率公式，掌握直線方程的點(diǎn)斜式、兩點(diǎn) 式、一般式，并能根據(jù)條件熟練地求出直線方程 2掌握兩條直線平行與垂直的條件，兩條直線所成的角和點(diǎn)到直線的距離公式，能夠根據(jù) 直線的方程判斷兩條直線的位置關(guān)系 3了解二元一次不等式表示平面區(qū)域 4了解線性規(guī)劃的意義，并會簡單的應(yīng)用 5了解解析幾何的基本思想，了解坐標(biāo)法 6掌握圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和一般方程，了解參數(shù)方程的概念，理解圓的參數(shù)方程 二圓錐曲線方程 1掌握橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程和橢圓的簡單幾何性質(zhì) 2掌握雙曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程和雙曲線的簡單幾何性質(zhì) 3掌握拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程和拋物線的簡單幾何

12、性質(zhì) 4了解圓錐曲線的初步應(yīng)用 【例題解析】【例題解析】 考點(diǎn) 1.求參數(shù)的值 求參數(shù)的值是高考題中的常見題型之一,其解法為從曲線的性質(zhì)入手,構(gòu)造方程解之. 22 例 1若拋物線y2 2px的焦點(diǎn)與橢圓 x y 1的右焦點(diǎn)重合，則p 的值為（） 62 A2B2C4D4 考查意圖考查意圖: : 本題主要考查拋物線、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和拋物線、橢圓的基本幾何性質(zhì). 22 解答過程：橢圓 x y 1的右焦點(diǎn)為(2,0)，所以拋物線y2 2px的焦點(diǎn)為(2,0)，則p 4， 62 故選 D. 考點(diǎn) 2. 求線段的長 求線段的長也是高考題中的常見題型之一 ,其解法為從曲線的性質(zhì)入手,找出點(diǎn)的坐標(biāo),利用 距離

13、公式解之. 例 2已知拋物線 y-x2+3 上存在關(guān)于直線 x+y=0 對稱的相異兩點(diǎn) A、B，則|AB|等于 A.3B.4C.3 2 D.4 2 考查意圖考查意圖: : 本題主要考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系和距離公式的應(yīng)用. y x23 x2 xb3 0 x 1 x 2 1， 解：設(shè)直線AB的方程為y xb，由 y xb 進(jìn)而可求出AB的中點(diǎn)M(, 1 2 111 b)，又由M(,b)在直線x y 0上可求出 222 b1， x2 x2 0，由弦長公式可求出AB 11 故選 C 例 3如圖，把橢圓x y 1的長軸 2516 22 2124(2) 3 2 AB分成8等份，過每個分點(diǎn)作x軸的垂線

14、交橢圓的上半部 分于P七個點(diǎn)，F(xiàn)是橢圓的一個焦點(diǎn)， 1,P2 ,P 3,P4 ,P 5,P6 ,P 7 則 PF _. P 12F P3F P4F P5F P6F P7F 考查意圖考查意圖: : 本題主要考查橢圓的性質(zhì)和距離公式的靈活應(yīng)用. 解答過程：由橢圓x y 1的方程知a2 25,a 5. 2516 22 72a PF PF PF PF PF PF PF 7a 7535. 1234567 2 故填 35. 考點(diǎn) 3. 曲線的離心率 曲線的離心率是高考題中的熱點(diǎn)題型之一,其解法為充分利用: (1)橢圓的離心率離心率 e c(0,1) (e 越大則橢圓越扁); a (2) 雙曲線的離心率離心

15、率 e c(1, ) (e 越大則雙曲線開口越大). a 結(jié)合有關(guān)知識來解題. 例 4已知雙曲線的離心率為2，焦點(diǎn)是(4,0)，(4,0)，則雙曲線方程為 22 222222 A x y 1 B x y 1 C x y 1 D x y 1 412124106610 考查意圖考查意圖: :本題主要考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和雙曲線的離心率以及焦點(diǎn)等基本概念. 解答過程： Qe c 2,c 4,所以a 2,b212.故選(A). a 小結(jié)小結(jié): : 對雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和雙曲線的離心率以及焦點(diǎn)等基本概念，要注意認(rèn)真掌握.尤其 對雙曲線的焦點(diǎn)位置和雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程中分母大小關(guān)系要認(rèn)真體會. 例 5已知雙曲線3

16、x2 y2 9,則雙曲線右支上的點(diǎn) P 到右焦點(diǎn)的距離與點(diǎn)P 到右準(zhǔn)線的距 離之比等于（） A.2B. 2 3 C. 2D.4 3 考查意圖考查意圖: : 本題主要考查雙曲線的性質(zhì)和離心率離心率 e c (1, )的有關(guān)知識的應(yīng)用能力. a 解答過程：依題意可知 a 3,c a2b239 2 3 考點(diǎn) 4.求最大(小)值 求最大(小)值, 是高考題中的熱點(diǎn)題型之一.其解法為轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)問題或利用不等式求 最大(小)值:特別是,一些題目還需要應(yīng)用曲線的幾何意義來解答. 例 6 已知拋物線 y2=4x,過點(diǎn) P(4,0)的直線與拋物線相交于A(x1,y1),B(x2,y2)兩點(diǎn)， 則 y12+y

17、22 的最小值是 . 考查意圖考查意圖: : 本題主要考查直線與拋物線的位置關(guān)系，以及利用不等式求最大(小)值的方法. 解:設(shè)過點(diǎn) P(4,0)的直線為y kx4,k2x28x16 4x, k2x28k24x16k2 0, 8k24 1 y 1 y 2 4x 1 x 2 4 162 2 32. 2kk 22 故填 32. 考點(diǎn)考點(diǎn) 5 5圓錐曲線的基本概念和性質(zhì)圓錐曲線的基本概念和性質(zhì) 圓錐曲線第一定義中的限制條件、圓錐曲線第二定義的統(tǒng)一性，都是考試的重點(diǎn)內(nèi)容， 要能夠熟練運(yùn)用；常用的解題技巧要熟記于心. 例 7 在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中,已知圓心在第二象 限、半徑為 2 原點(diǎn) O.橢圓x

18、2 a2 2的圓 C 與直線 y=x 相切于坐標(biāo) y2 9 =1 與圓 C 的一個交點(diǎn)到橢圓兩焦點(diǎn)的距離之和為10. （1）求圓 C 的方程； （2）試探究圓 C 上是否存在異于原點(diǎn)的點(diǎn) Q，使 Q 到橢圓右焦點(diǎn) F 的距離等于線段 OF 的長.若存在，請求出點(diǎn) Q 的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由. 考查目的考查目的 本小題主要考查直線、橢圓等平面解析幾何的基礎(chǔ)知識，考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識 進(jìn)行推理運(yùn)算的能力和解決問題的能力 解答過程解答過程 (1) (1) 設(shè)圓 C 的圓心為 (m, n) m n, 則 n 2 2 2, m 2, 解得 n 2. 所求的圓的方程為 (x2)2(y2)28 (2)

19、 由已知可得 2a 10 ，a 5 22 橢圓的方程為 x y 1 ,右焦點(diǎn)為F( 4, 0) ; 259 假設(shè)存在 Q 點(diǎn) 22 2cos,2 2 2sin 使 QF OF , 22 2cos4 22 2sin 22 4 整理得 sin 3cos2 2， 代入sin2cos21 得:10cos212 2cos7 0, cos 12 2 8 12 2 2 2 1 1010 因此不存在符合題意的 Q 點(diǎn). 例 8 如圖,曲線 G 的方程為y2 2x(y 0).以原點(diǎn)為圓心，以t(t 0) 為半徑的圓分別與曲線 G 和 y 軸的正半軸相交于 A 與點(diǎn) B. 直線 AB 與 x 軸相交于點(diǎn) C. （

20、）求點(diǎn) A 的橫坐標(biāo) a 與點(diǎn) C 的橫坐標(biāo) c 的關(guān)系式； （）設(shè)曲線 G 上點(diǎn) D 的橫坐標(biāo)為a2,求證：直線 CD 的斜率為定值. 考查目的考查目的 本小題綜合考查平面解析幾何知識，主要涉及平面直角坐標(biāo)素中的 兩點(diǎn)間距離公式、直線的方程與斜率、拋物線上的點(diǎn)與曲線方程的關(guān)系 ，考查運(yùn)算能力與思維能力，綜合分析問題的能力. 解答過程解答過程 （I）由題意知，A(a, 2a). 因?yàn)閨 OA | t,所以a 2a t . 22 由于t 0,故有t a22a. （1） 由點(diǎn) B（0，t） ，C（c，0）的坐標(biāo)知，直線 BC 的方程為 又因點(diǎn) A 在直線 BC 上，故有a 2a 1, ct xy

21、1. ct 將（1）代入上式，得a c 2a a(a 2) 1, 解得 c a22(a2). （II）因?yàn)镈(a2 2(a2)，所以直線 CD 的斜率為 kCD 2(a 2)2(a 2)2(a 2) 1 ， a 2ca 2(a 22(a 2)2(a 2) 所以直線 CD 的斜率為定值. 例 9已知橢圓E: x2y2 2 1(a b 0)，AB 是它的一條弦，M(2,1) 是弦 AB 的中點(diǎn)，若 2ab 以點(diǎn)M(2,1)為焦點(diǎn)， 橢圓E 的右準(zhǔn)線為相應(yīng)準(zhǔn)線的雙曲線C和直線AB交于點(diǎn)N(4, 1)， 若橢圓離心率 e 和雙曲線離心率e1之間滿足ee11，求： （1）橢圓 E 的離心率； （2）雙曲

22、線 C 的方程. 解答過程： （1）設(shè) A、B 坐標(biāo)分別為A(x 1,y1),B(x2,y2 )， 22 則x1 y 11， x 2 y 21，二式相減得： a2b2a2b2 22 k AB 2b21(1)y 1 y 2 (x 1 x 2 )b2 k 1， MN 2 2a24x 1 x 2 (y 1 y 2 )a a2 所以a2 2b2 2(a2c2)，a2 2c2，則e c 2 ； 22 1 （2）橢圓 E 的右準(zhǔn)線為x a ( 2c) 2c，雙曲線的離心率e1 cc e 2， 設(shè)P(x, y)是雙曲線上任一點(diǎn)，則： 22 |PM| (x 2) (y 1) 2 ， |x2c|x 2c| 兩端

23、平方且將N(4, 1)代入得：c1或c 3， 當(dāng)c1時，雙曲線方程為：(x 2)2(y 1)2 0，不合題意，舍去； 當(dāng)c 3時，雙曲線方程為：(x 10)2(y 1)2 32，即為所求. 小結(jié)： （1）“點(diǎn)差法”是處理弦的中點(diǎn)與斜率問題的常用方法； （2）求解圓錐曲線時，若有焦點(diǎn)、準(zhǔn)線，則通常會用到第二定義. 考點(diǎn)考點(diǎn) 6 6利用向量求曲線方程和解決相關(guān)問題利用向量求曲線方程和解決相關(guān)問題 利用向量給出題設(shè)條件，可以將復(fù)雜的題設(shè)簡單化，便于理解和計算. 典型例題： 22 例 10雙曲線 C 與橢圓 x y 1有相同的焦點(diǎn)，直線 y= 3x為 C 的一條漸近線. 84 (1)求雙曲線 C 的方

24、程； (2)過點(diǎn) P(0,4)的直線l， 交雙曲線 C 于 A,B 兩點(diǎn)， 交 x 軸于 Q 點(diǎn) （Q 點(diǎn)與 C 的頂點(diǎn)不重合） . 當(dāng)PQ 1QA 2QB ，且 1 2 8 時，求 Q 點(diǎn)的坐標(biāo). 3 uuu ruuu ruuu r 考查意圖考查意圖: : 本題考查利用直線、橢圓、雙曲線和平面向量等知識綜合解題的能力,以及運(yùn)用 數(shù)形結(jié)合思想,方程和轉(zhuǎn)化的思想解決問題的能力. 22 解答過程： （）設(shè)雙曲線方程為 x y 1, 22ab 22 由橢圓 x y 1,求得兩焦點(diǎn)為(2,0),(2,0) ， 84 對于雙曲線C:c 2，又y 3x為雙曲線C的一條漸近線 b 3 解得 a21,b2 3

25、， a 雙曲線C的方程為 x2 y 1 3 2 （）解法一： 由題意知直線l的斜率k存在且不等于零. 設(shè)l的方程：y kx4,A(x 1, y1) ，B(x 2 , y 2 ),則Q( 4 ,0) . k uuu ruuu r Q PQ1QA,( 4 ,4) 1(x1 4 , y 1) . kk 44x 1 44 k 1 k 1(x1 ) k k y 4 4 1y11 1 Q A(x 1, y1) 在雙曲線C上， 16 (1 1)2 16 1 0. 2k 1 1 1632 1 16 1 2 16 k2k22 0. (16k2) 1 232 1 16 16 k2 0. 3 3 同理有：(16k2

26、) 2 232 2 16 16 k2 0. 3 若16k2 0,則直線l過頂點(diǎn)，不合題意.16k2 0, 1, 2 是二次方程(16k2)x2 32x16 16 k2 0.的兩根. 3 1 2 328 ,k2 4，此時 0,k 2. k2163 所求Q的坐標(biāo)為(2,0). 解法二：由題意知直線l的斜率k存在且不等于零 設(shè)l的方程，y kx 4, A(x 1, y1),B(x2 , y 2 )，則Q( 4 ,0) . k uu u ruuu ruuu r Q PQ 1QA，Q分PA的比為 1. 由定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式得 44 1x1 x (1 1) k1 1 k 1 1 4 0 4 1y1 y 1

27、1 1 1 下同解法一 解法三：由題意知直線l的斜率k存在且不等于零 設(shè)l的方程：y kx4,A(x 1, y1),B(x2, y2 )，則Q( 4 ,0) . k uuu ruuu ruuu r Q PQ 1QA 2QB ， ( 4 ,4) 1(x1 4 , y 1) 2 (x 2 4 , y 2 ). kkk 4 1 y 1 2 y 2 ， 1 4 ， 2 4 ， y 1 y 2 又 1 2 8， 1 1 2,即3(y 1 y 2 ) 2y 1 y 2 . 3y 1 y 2 3 2 將y kx4代入x2 y 1得(3k2)y224y483k2 0. 3 Q 3 k2 0，否則l與漸近線平行

28、. 24483k2 . y 1 y 2 , y 1y2 3k23k2 24483k2 .k 2 3 2 3k23k2 Q(2,0). 解法四： 由題意知直線 l 得斜率 k 存在且不等于零， 設(shè)l的方程：y kx 4，A(x 1, y1),B(x2, y2 ), 則Q(4 ,0) k uuu vuuu v44 Q PQ 1QA,( ,4) 1(x1 , y 1) . kk 4 k 4 .同理 1 4 kx 1 4 x 1 k 1 4 . kx 2 4 1 2 即 448 . kx 1 4kx 2 43 （*） 2k2x 1x2 5k(x 1 x 2 )8 0 . y kx4 又 2 y2 1

29、x 3 消去 y 得(3 k )x 8kx 19 0. 22 當(dāng)3k2 0時，則直線 l 與雙曲線得漸近線平行，不合題意，3k2 0. 8kx x 12 3k2 由韋達(dá)定理有： x x 19 12 3k2 代入（*）式得 k2 4,k 2. 所求 Q 點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,0). 例 11 設(shè)動點(diǎn) P 到點(diǎn) A(l，0)和 B(1，0)的距離分別為 d1和 d2， APB2,且存在常數(shù) (01,使得 d1d2sin2 （1）證明：動點(diǎn) P 的軌跡 C 為雙曲線，并求出C 的方程； （2）過點(diǎn) B 作直線交雙曲線 C 的右支于 M、N 兩點(diǎn),試確定 的范圍, 使OMON0,其中點(diǎn) O 為坐標(biāo)原點(diǎn) 考查

30、目的考查目的 本小題主要考查直線、雙曲線等平面解析幾何的基礎(chǔ)知識，考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知 識進(jìn)行推理運(yùn)算的能力和解決問題的能力 解答過程解答過程 解法 1： （1）在PAB中， AB 2，即22 d 1 2 d 2 2 2d 1d2 cos 2 ， ， 4 (d 1 d 2 )2 4d 1d2 sin2 ，即d 1 d 2 44d 1d2 sin2 2 1 2（常數(shù)） 點(diǎn)P的軌跡C是以A，B為焦點(diǎn)，實(shí)軸長2a 2 1的雙曲線 22 方程為： x y 1 1 （2）設(shè)M (x 1，y1) ，N(x 2，y2 ) 當(dāng)MN垂直于x軸時，MN的方程為x 1， M (11)，N(1 ， 1)在雙曲線上 即

31、1 1 121 0 15 ，因?yàn)?1，所以 5 1 122 當(dāng)MN不垂直于x軸時，設(shè)MN的方程為y k(x1) x2y2 1得： (1)k2 x 22(1)k2x(1)(k2) 0， 由 1 y k(x1) 22k (1) ， (1)(k2) 由題意知：(1)k 0，所以x 1 x 2 x 1x2 (1)k2(1)k2 2 于是： y y k2(x 1)(x 1) 1212 k22 2(1)k 因?yàn)镺M ON 0，且M，N在雙曲線右支上，所以 (1) x 1x2 y 1y2 0 k 2 (1) 2 5 12 1 2x x 011 12 23 x x 0k2 2 1 0 12 1 由知， 5 1

32、 2 23 解法 2： （1）同解法 1 （2）設(shè)M(x 1 ，y 1) ，N(x 2，y2 )，MN的中點(diǎn)為E(x 0，y0 ) 當(dāng)x 1 x 2 1時， MB 2 121 0， 1 因?yàn)?1，所以 5 1； 2 當(dāng)x 1 x 1 2y 1 2 1 x 2 時，x 0 1 k 2 MN 21y 0 xy 221 1 x 0 1 22 又k MN k BE y 0 所以(1)y 0 x 0 x 0 ； MN ，由第二定義得 MN e(x 1 x 2 )2a2 22 由MON 得 x 0 y 0 2222 1 2 1 x 0 1 x 0 (1)2x 0 1 1 22所以(1)y 0 x 0 2(

33、1)x 0 (1)2 2 2 2 22 2(1)y x x 0 , 00 于是由 得 x 0 (1) . 22223 (1)y0 x 0 2(1)x 0 (1) , 因?yàn)閤01，所以(1) 1，又01， 23 2 解得： 5 1 2 由知 5 1 2 2323 考點(diǎn)考點(diǎn) 7 7利用向量處理圓錐曲線中的最值問題利用向量處理圓錐曲線中的最值問題 利用向量的數(shù)量積構(gòu)造出等式或函數(shù)關(guān)系， 再利用函數(shù)求最值的方法求最值， 要比只利用 解析幾何知識建立等量關(guān)系容易. 例 12設(shè)橢圓 E 的中心在坐標(biāo)原點(diǎn) O，焦點(diǎn)在 x 軸上，離心率為 3，過點(diǎn)C(1,0)的直線 3 uuu ruuu r 交橢圓 E 于

34、A、B 兩點(diǎn)，且CA 2BC，求當(dāng)AOB的面積達(dá)到最大值時直線和橢圓E 的方 程. 解答過程：因?yàn)闄E圓的離心率為 3，故可設(shè)橢圓方程為 2x23y2 t(t 0)，直線方程為 3 my x 1， 2x23y2 t得：(2m2 3)y24my2t 0，設(shè)A(x ,y ),B(x ,y )， 由 1122 my x 1 則y 1 y 2 4m 22m 3 uuu ruuu r 又CA 2BC，故(x 1 1,y 1) 2(1x2,y2 )，即y1 2y 2 由得：y 1 2 y C B A o x 4m ， 8m ，y 2 2m232m23 m | 22m 3 則S AOB 1 | y 1 y 2

35、 | 6| 6 2|m| 3 |m| 6， 2 當(dāng)m2 3，即 m 6 時，AOB面積取最大值， 22 此時y y 2t 12 22m 3 32m2 ，即t (2m23)2 2 10， 所以，直線方程為x 6 y1 0，橢圓方程為2x23y210. 小結(jié)：利用向量的數(shù)量積構(gòu)造等量關(guān)系要比利用圓錐曲線的性質(zhì)構(gòu)造等量關(guān)系容易. 例 13已知PA (x 5, y)，PB (x 5, y)，且| PA | | PB| 6， 求| 2x 3y 12|的最大 值和最小值. 解答過程：設(shè)P(x, y)，A( 5,0)，B( 5,0)， 因?yàn)閨 PA | | PB| 6，且| AB| 2 5 6， 所以，動點(diǎn)

36、 P 的軌跡是以 A、B 為焦點(diǎn)，長軸長為 6 的橢圓， 橢圓方程為x y 1，令 x 3cos ,y 2sin ， 94 22 uuu r uu u ruuu ruu u r uuu ruu u r 則| 2x 3y 12|6 2cos( )12|， 4 當(dāng)cos( ) 1時，|2x 3y 12|取最大值126 2 ， 4 當(dāng)cos( ) 1時，|2x 3y 12|取最小值126 2 . 4 小結(jié)：利用橢圓的參數(shù)方程，可以將復(fù)雜的代數(shù)運(yùn)算化為簡單的三角運(yùn)算. 考點(diǎn)考點(diǎn) 8 8利用向量處理圓錐曲線中的取值范圍問題利用向量處理圓錐曲線中的取值范圍問題 解析幾何中求變量的范圍， 一般情況下最終都轉(zhuǎn)

37、化成方程是否有解或轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域 問題. 例 14 （2006 年福建卷） 已知橢圓 x2 y21的左焦點(diǎn)為 F， 2 O 為坐標(biāo)原點(diǎn). （I）求過點(diǎn) O、F，并且與橢圓的左準(zhǔn)線l相切的圓的方程； （II）設(shè)過點(diǎn) F 且不與坐標(biāo)軸垂直的直線交橢圓于A、B 兩點(diǎn)， 線段 AB 的垂直平分線與x軸交于點(diǎn) G，求點(diǎn) G 橫坐標(biāo)的取值范圍. 考查意圖考查意圖: :本小題主要考查直線、圓、橢圓和不等式等基本知識，考 查平面解析幾何的基本方法，考查運(yùn)算能力和綜合解題能力. 解答過程： （I）Q a2 2,b21,c 1,F(1,0),l : x 2. Q圓過點(diǎn) O、F， 圓心 M 在直線 x 1上.

38、2 設(shè)M( 1 ,t),則圓半徑r ( 1)(2) 3 . 222 由OM r,得 ( 1 2 )2t2 3 2 , 解得t 2. 所求圓的方程為(x1 2 )2(y 2)2 9 4 . （II）設(shè)直線 AB 的方程為y k(x 1)(k 0), 代入 x2 2 y21,整理得(12k2)x24k2x2k22 0. Q直線 AB 過橢圓的左焦點(diǎn) F，方程有兩個不等實(shí)根. 記A(x 1, y1),B(x2, y2 ), AB中點(diǎn)N(x 0 , y 0 ), 則 2 x 1 x 2 4k 2k21 , AB的垂直平分線 NG 的方程為y y 0 1 (x x 0 ). k 令y 0,得 2k2k2

39、 x k211 G x 0 ky 0 2k21 2k21 2k21 2 4k22 . Q k 0, 1 2 x G 0, 點(diǎn) G 橫坐標(biāo)的取值范圍為(1 ,0). 2 y B l FGO x A 22 例 15已知雙曲線C： x 2 y 2 1(a 0,b 0)，B 是右頂點(diǎn)，F(xiàn) 是右焦點(diǎn)，點(diǎn)A 在 x 軸正半 ab 軸上，且滿足|OA |,| OB|,| OF|成等比數(shù)列，過 F 作雙曲線 C 在第一、三象限的漸近線的垂 線l，垂足為 P， uuu r uuu ruuu r uu r （1）求證：PAOP PAFP； uuu ruuu ruuu r （2）若l與雙曲線 C 的左、右兩支分別相

40、交于點(diǎn) D,E，求雙曲線C 的離心率 e 的取值范圍. uuu ruuu ruuu ruuu r |2a2 ，即A( a 解答過程： （1）因|OA |,| OB|,| OF|成等比數(shù)列，故|OA| |OB uuu r uuu r 2 |OF|c c ,0)， y 直線l：y a (x c)， b ay (x c) a2ab，由 b P(,) bcc y x a D P O E F AB x uuu rrr ab uuu a2ab uu b2ab ,)， 故：PA (0, ),OP (,),FP ( ccccc uuu r uuu ruuu r uu ruuu r uuu rr uu r a2

41、b2 uuu 則：PAOP 2 PAFP，即PAOP PAFP； c uuu r uuu ruuu r uu ruuu ruuu ruuruuu ruu ruuu ruuu r uuu r （或PA(OP FP) PA(PF PO) PAOF 0，即PAOP PAFP） ay (x c) a4 2 a4a4c2 2 （2）由 (b 2 )x 2 2 cx ( 2 a2b2) 0，b bbb b2x2 a2y2 a2b2 a4c2 ( 2 a2b2) b 0得：b4 a4 b2 c2a2 a2 e2 2 e 2. 由x1x 2 4a b2 2b ab 22222 （或由k DF k DO b c

42、 a a e 2 e 2） ba 小結(jié)：向量的數(shù)量積在構(gòu)造等量關(guān)系中的作用舉足輕重， 而要運(yùn)用數(shù)量積， 必須先恰當(dāng)?shù)厍?出各個點(diǎn)的坐標(biāo). rrrrrr 例 16已知a (x,0)，b (1,y)，(a 3b) (a 3b)， （1）求點(diǎn)P(x, y)的軌跡 C 的方程； （2）若直線y kx m(m 0)與曲線 C 交于 A、B 兩點(diǎn)，D(0,1)，且|AD|BD|， 試求 m 的取值范圍. rr 解答過程： （1）a 3b(x,0) 3(1,y) (x 3,3y)， rr a 3b(x,0) 3(1,y) (x 3, 3y)， rrrrrrrr 因(a 3b) (a 3b)，故(a 3b)

43、(a 3b) 0， 22 即(x 3,3y) (x 3, 3y) x 3y 3 0， x2 y21. 故 P 點(diǎn)的軌跡方程為 3 y kxm 222 （2）由 2 得：(13k )x 6kmx 3m 3 0， 2 x 3y 3 設(shè)A(x 1,y1),B(x2 ,y 2 )，A、B 的中點(diǎn)為M(x 0 ,y 0 ) 則 (6km) 4(13k )(3m 3) 12(m 13k ) 0， 22222 x 1 x 2 6km3kmm ，x y kx m 000 213k213k213k2 3kmm 即 A、B 的中點(diǎn)為(,)， 2213k13k m13km 則線段 AB 的垂直平分線為：y ()(x

44、 )， 2213kk13k x 1 x 2 將D(0,1)的坐標(biāo)代入，化簡得：4m 3k21， 22 m 13k 0 則由得：m24m 0，解之得m0或m 4， 2 4m 3k 1 又4m 3k21 1，所以m 1 ， 4 故 m 的取值范圍是(,0) U (4,). 小結(jié)：求變量的范圍，要注意式子的隱含條件，否則會產(chǎn)生增根現(xiàn)象. 考點(diǎn)考點(diǎn) 9 9 利用向量處理圓錐曲線中的存在性問題利用向量處理圓錐曲線中的存在性問題 存在性問題， 其一般解法是先假設(shè)命題存在， 用待定系數(shù)法設(shè)出所求的曲線方程或點(diǎn)的坐 標(biāo)，再根據(jù)合理的推理，若能推出題設(shè)中的系數(shù)，則存在性成立，否則，不成立. 例 17已知 A,B

45、,C 是長軸長為 4 的橢圓上的三點(diǎn)，點(diǎn) A 是長軸的一個頂點(diǎn)，BC 過橢圓的 1 4 uuu r uuu ruuu ruuu r 中心 O，且ACBC 0，| BC| 2| AC|， （1）求橢圓的方程； （2）如果橢圓上的兩點(diǎn) P,Q 使PCQ的平分線垂直于 OA，是否總存在實(shí)數(shù)，使得 uuu ruuu r PQ AB？請說明理由； 解答過程： （1）以 O 為原點(diǎn)，OA 所在直線為 x 軸建立 平面直角坐標(biāo)系，則A(2,0)， y O C A Q x 設(shè)橢圓方程為 xy 2 1，不妨設(shè) C 在 x 軸上方， 4b 22 B P uuu ruuu ruuu ruuu ruuu r 由橢圓的

46、對稱性，| BC| 2| AC| 2|OC | AC|OC |， uuu r uuu r 又ACBC 0ACOC，即OCA為等腰直角三角形， 由A(2,0)得：C(1,1)，代入橢圓方程得：b2 4 ， 3 x23y2 1； 即，橢圓方程為 44 uuu ruuu r （2）假設(shè)總存在實(shí)數(shù)，使得PQ AB，即AB/ PQ， 由C(1,1)得B(1,1)，則k AB 0(1)1 ， 2(1)3 若設(shè) CP：y k(x 1)1，則 CQ：y k(x 1)1， x 23y2 1 由 4 (13k2)x26k(k 1)x3k26k 1 0，4 y k(x 1)1 由C(1,1)得x 1是方程(13k

47、)x 6k(k 1)x3k 6k 1 0的一個根， 222 3k26k 13k26k 1 由韋達(dá)定理得：x P x P 1 ，以k代 k 得x Q ， 13k213k2 故k PQ y P y Q x P x Q k(x P x Q )2k x P x Q 1 ，故AB/ PQ， 3 uuu ruuu r 即總存在實(shí)數(shù)，使得PQ AB. 評注：此題考察了坐標(biāo)系的建立、待定系數(shù)法、橢圓的對稱性、向量的垂直、向量的共線及 探索性問題的處理方法等，是一道很好的綜合題. 考點(diǎn)考點(diǎn) 1010利用向量處理直線與圓錐曲線的關(guān)系問題利用向量處理直線與圓錐曲線的關(guān)系問題 直線和圓錐曲線的關(guān)系問題， 一般情況下，

48、是把直線的方程和曲線的方程組成方程組， 進(jìn) 一步來判斷方程組的解的情況，但要注意判別式的使用和題設(shè)中變量的范圍. uuuu ruuu r 例 18 設(shè) G、M 分別是ABC的重心和外心，A(0, a)，B(0,a)(a 0)， 且GM AB， （1）求點(diǎn) C 的軌跡方程； （2）是否存在直線m，使 m 過點(diǎn)(a,0)并且與點(diǎn) C 的軌跡交于 P、Q 兩點(diǎn)，且 uuu r uuu r OPOQ 0？若存在，求出直線m 的方程；若不存在，請說明理由. 解答過程： （1）設(shè)C(x, y)，則G(,)， uuuu ruuu r x 因?yàn)镚M AB，所以GM/ AB，則M(,0)， 3 由 M 為ABC

49、的外心，則|MA |MC|，即 ( ) a x y 3 3 x 3 22 x (x)2 y2 ， 3 x2y2 整理得： 2 2 1(x 0)； 3aa （2）假設(shè)直線 m 存在，設(shè)方程為y k(x a)， y k(x a) 22222 由 x 2得：(13k )x 6k ax 3a (k 1) 0，y2 2 2 1(x 0) a3a 6k2a3a2(k21) 設(shè)P(x 1,y1),Q(x2 ,y 2 )，則x 1 x 2 ，x1x 2 ， 13k213k2 2k2a2 y 1y2 k (x 1 a)(x 2 a) k x 1x2 a(x 1 x 2 )a ， 213k 222 uuu r u

50、uu r 由OPOQ 0得：x1x 2 y 1y2 0， 3a2(k21)2k2a2 0，解之得k 3， 即 13k213k2 又點(diǎn)(a,0)在橢圓的內(nèi)部，直線m 過點(diǎn)(a,0)， 故存在直線 m，其方程為y 3(x a). 小結(jié)： （1）解答存在性的探索問題，一般思路是先假設(shè)命題存在，再推出合理或不合理的 結(jié)果，然后做出正確的判斷； （2）直線和圓錐曲線的關(guān)系問題，一般最終都轉(zhuǎn)化成直線的方程和圓錐曲線的方程所組 成的方程組的求解問題. 【專題訓(xùn)練與高考預(yù)測】【專題訓(xùn)練與高考預(yù)測】 一、選擇題 1如果雙曲線經(jīng)過點(diǎn)(6, 3)，且它的兩條漸近線方程是y 1 x，那么雙曲線方程是（） 3 2222

51、2 22xyxyxxy 2 A 1 B 1 C y 1 D 1 8191839369 2222 2已知橢圓 x 2 y 2 1和雙曲線 x 2 y 2 1有公共的焦點(diǎn)，那么雙曲線的的漸近線方 3m5n2m3n 程為（） A.x 15 y B. y 15 x C. x 3 y D. y 3 x 4422 xy 3已知F 1,F2 為橢圓 2 2 1(a b 0)的焦點(diǎn)，M 為橢圓上一點(diǎn)，MF 1 垂直于 x 軸， ab 22 且FMF，則橢圓的離心率為（） 12 60 A. 1 B. 2 C. 3 D. 3 2232 22xy 4二次曲線 1，當(dāng)m2,1時，該曲線的離心率 e 的取值范圍是（ ）

52、 4m A. 2 , 3 B. 3 , 5 C. 5 , 6 D. 3 , 6 22222222 5直線 m 的方程為y kx 1，雙曲線 C 的方程為x2 y21，若直線 m 與雙曲線 C 的右 支相交于不重合的兩點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k 的取值范圍是（） A.( 2, 2) B.(1, 2)C. 2, 2) D.1, 2) 6已知圓的方程為x2 y2 4，若拋物線過點(diǎn)A(1,0)，B(1,0)，且以圓的切線為準(zhǔn)線， 則拋物線的焦點(diǎn)的軌跡方程為（） 22 22xyxy A. 1(y 0)1(y 0) B. 4334 2222 C. x y 1(x 0) D. x y 1(x 0) 3443 二、填空題

53、22 7 7已知 P 是以F 1 、F2為焦點(diǎn)的橢圓 x y 1(a b 0) 上一點(diǎn)，若 PF 1 PF 2 0 22ab tanPF 1F2 1 ，則橢圓的離心率為 _ . 2 8 8已知橢圓 x2+2y2=12，A 是 x 軸正方向上的一定點(diǎn)，若過點(diǎn) A，斜率為 1 的直線被橢圓 截得的弦長為 4 13 ，點(diǎn) A 的坐標(biāo)是_ . 3 9P 是橢圓 x y 1上的點(diǎn)，F(xiàn) 1,F2 是橢圓的左右焦點(diǎn)，設(shè)|PF 1 |PF 2 | k，則 k 的最大值 43 22 與最小值之差是_ . 10給出下列命題： 圓(x 2)2(y 1)21關(guān)于點(diǎn)M(1,2)對稱的圓的方程是(x 3)2(y 3)21

54、； 雙曲線x y 1右支上一點(diǎn) P 到左準(zhǔn)線的距離為 18， 那么該點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離為 29 ； 1692 頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對稱軸是坐標(biāo)軸，且經(jīng)過點(diǎn)(4,3)的拋物線方程只能是 y2 9 x； 4 22 P、Q 是橢圓x2 4y216上的兩個動點(diǎn)，O 為原點(diǎn)，直線 OP,OQ 的斜率之積為 1 ， 4 則|OP|2|OQ|2等于定值 20 . 把你認(rèn)為正確的命題的序號填在橫線上_ . 三、解答題 uuuu r uuu r uu u r 11已知兩點(diǎn)A( 2,0)，B( 2,0)，動點(diǎn) P 在 y 軸上的射影為 Q，PAPB 2PQ2， （1）求動點(diǎn) P 的軌跡 E 的方程； （2）設(shè)直線m 過點(diǎn)

55、A，斜率為 k，當(dāng)0 k 1時，曲線 E 的上支上有且僅有一點(diǎn)C 到直 線 m 的距離為 2，試求 k 的值及此時點(diǎn) C 的坐標(biāo). 12 如圖，F(xiàn) 1 (3,0)，F(xiàn) 2 (3,0)是雙曲線 C 的兩焦點(diǎn)， 直線x 4 是雙曲線 C 的右準(zhǔn)線，A1,A2 3 是雙曲線 C 的兩個頂點(diǎn)，點(diǎn) P 是雙曲線 C 右支上異于A 2 的一動點(diǎn)，直線A1P、A 2P 交 雙曲線 C 的右準(zhǔn)線分別于 M,N 兩點(diǎn)， （1）求雙曲線 C 的方程； uuu u r uuu u r （2）求證：FM是定值. F N 12 F1 A1o N y P M F2 A2 x 13已知OFQ的面積為 S，且OFFQ 1，建

56、立如圖所示坐標(biāo)系， （1）若S 1 ，|OF| 2，求直線 FQ 的方程； 2 uuu ruuu r （2）設(shè)|OF| c(c 2)，S 3 c，若以 O 為中心，F(xiàn) 為焦點(diǎn)的橢圓過點(diǎn) Q，求當(dāng)|OQ |取 uuu r uuu r uuu r y Q o 4 F x 得最小值時的橢圓方程. 14已知點(diǎn)H(3,0)，點(diǎn) P 在 y 軸上，點(diǎn) Q 在 x 軸的正半軸上，點(diǎn) M 在直線 PQ 上，且滿 足HPPM 0，PM 3 MQ， 2 uuu r uuu r uuu ruuuu r （1）當(dāng)點(diǎn) P 在 y 軸上移動時，求點(diǎn) M 的軌跡 C； （2）過點(diǎn)T(1,0)作直線 m 與軌跡 C 交于 A

57、、B 兩點(diǎn)，若在 x 軸上存在一點(diǎn) y P H o T QE M B E(x 0 ,0)，使得ABE為等邊三角形，求x 0 的值. A x 22 1515已知橢圓 x y 1(a b 0)的長、短軸端點(diǎn)分別為 A、B，從此橢圓上一點(diǎn) M 向 x 22ab 軸作垂線，恰好通過橢圓的左焦點(diǎn)F 1，向量 AB與OM是共線向量 （1）求橢圓的離心率 e； （2）設(shè) Q 是橢圓上任意一點(diǎn)， F 1、 F 2 分別是左、右焦點(diǎn)，求F 1QF2 的取值范圍； 1616已知兩點(diǎn) M（-1，0） ，N（1，0）且點(diǎn)P 使MPMN,PM PN,NM NP成公差小于零的等 差數(shù)列， 【參考答案】【參考答案】 一. 1C .提示，設(shè)雙曲線方程為(1x y)(1x y) ，將點(diǎn)(6,3)代入求出即可. 33 （）點(diǎn) P 的軌跡是什么曲線？ （）