1、第四章常用統(tǒng)計(jì)量及其應(yīng)用,第一節(jié) 平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差的概念 第二節(jié)平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差在體育中的應(yīng)用 第三節(jié)百分位數(shù)及其應(yīng)用,第一節(jié) 平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差的概念,一、平均數(shù) *反映一組性質(zhì)相同的觀測(cè)值的平均水平或集中趨勢(shì)的統(tǒng)計(jì)量，其數(shù)學(xué)定義為 ：,平均數(shù)在一定程度上代表一組數(shù)據(jù)的整體水平，體育工作中，常用這一概念來(lái)反映事物的某些特征。 例如，某中學(xué)的體育平均達(dá)標(biāo)率，學(xué)生的平均身高，年齡某地區(qū)高考體育加試平均分?jǐn)?shù)等等。,一、平均數(shù),二、標(biāo)準(zhǔn)差（standard deviation）,樣本平均數(shù)描述數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)，反映樣本數(shù)據(jù)的平均水平。 在實(shí)際應(yīng)用中，僅有平均數(shù)是不夠的，還要考慮到數(shù)據(jù)的離散程度。在數(shù)據(jù)相對(duì)比較

2、集中時(shí)，平均數(shù)才具有代表性。,二、標(biāo)準(zhǔn)差,例如，吉斯莫先生經(jīng)營(yíng)一家工廠，規(guī)模不大，現(xiàn)欲招聘一名工人，湯姆先生參加面試，老板告訴他，本廠全體人員的工資入平均每人每周300元，湯姆一聽(tīng)，欣然接受，上班一周后，來(lái)找老板，聲稱受騙，老板算了一筆帳，湯姆聽(tīng)了無(wú)話可說(shuō)。,平均工資300元周,二、標(biāo)準(zhǔn)差,*反映樣本離散程度的統(tǒng)計(jì)量，稱之為標(biāo)準(zhǔn)差 ，通常用s表示。 如何來(lái)定量計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差？ 設(shè)樣本觀測(cè)值為 ，平均數(shù)為 ， 則樣本標(biāo)準(zhǔn)差s=？,二、標(biāo)準(zhǔn)差,目標(biāo)：要反映出樣本數(shù)據(jù)相對(duì)于平均數(shù) 的離散程度。 思路一：每一個(gè)數(shù)據(jù)與平均數(shù)的差值之和，即：,上式各項(xiàng)有正有負(fù)，正負(fù)抵消， 0 因此：此路不通！,二、標(biāo)準(zhǔn)差,此

3、方法中：解決了“=0”的問(wèn)題，但又有新問(wèn)題。絕對(duì)值在計(jì)算中難處理。,思路二：使用絕對(duì)值。即：,因此：此路也不通！,二、標(biāo)準(zhǔn)差,思路三：使用平方。即：,此方法中：解決前面的問(wèn)題，但又有新問(wèn)題。上式與樣本含量的大小有關(guān)。,因此需要改進(jìn)！,離差平方和,二、標(biāo)準(zhǔn)差,改進(jìn)一：,除以樣本含量：即：,在實(shí)際應(yīng)用中，上式對(duì)總體離散程度的估計(jì)往往偏小若以自由度（n-1）代替n，則是無(wú)偏的。,因此有：,稱為樣本方差,二、標(biāo)準(zhǔn)差,改進(jìn)二：,在實(shí)際應(yīng)用中，為了和以前的單位保持一致。往往需要開平方。即得：,稱為標(biāo)準(zhǔn)差，反映樣本的離散程度。,二、標(biāo)準(zhǔn)差,平均數(shù)在一定程度上代表一組數(shù)據(jù)的整體水平，反映一組性質(zhì)相同的觀測(cè)值的

4、平均水平或集中趨勢(shì)的統(tǒng)計(jì)量。其數(shù)學(xué)定義為？（請(qǐng)學(xué)生自己寫） 反映樣本離散程度的統(tǒng)計(jì)量，稱之為標(biāo)準(zhǔn)差 。其數(shù)學(xué)定義為？（請(qǐng)學(xué)生自己寫）,要點(diǎn),二、標(biāo)準(zhǔn)差,第二節(jié)平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差在體育中的應(yīng)用,一、標(biāo)準(zhǔn)百分（分） 在體育工作中，人們得到的數(shù)據(jù)資料往往是體育項(xiàng)目的成績(jī)，不便于對(duì)個(gè)體進(jìn)行評(píng)價(jià)加之，體育項(xiàng)目種類繁多，各項(xiàng)目的性質(zhì)也相差較大，這給綜合評(píng)價(jià)帶來(lái)很大的不便。于是產(chǎn)生了體育計(jì)分方法，標(biāo)準(zhǔn)百分計(jì)分法就是其中的一種。,（一）標(biāo)準(zhǔn)百分的計(jì)分思想,設(shè)隨機(jī)變量x服從正態(tài)分布N(，)，則由正態(tài)分布的知識(shí)可知,95%,99%,即：,落在區(qū)間,內(nèi)的概率95%,或,落在區(qū)間,內(nèi)的概率99%,95%和99%的含義是：

5、,95%或99%,換句話說(shuō)，來(lái)自總體的樣本觀測(cè)值,中絕大部分都落在,范圍內(nèi)，因此計(jì)分范圍可以取,，其中,和,未知，可用樣本平均數(shù),和標(biāo)準(zhǔn)差,代替，從而計(jì)分范圍可定為,，（定為,也行，有時(shí)太大也沒(méi),必要。）,標(biāo)準(zhǔn)百分的計(jì)分方法是在范圍,分別計(jì)零分的滿分,點(diǎn)計(jì)50分。,內(nèi)均勻計(jì)分，兩端點(diǎn),50分,0分,100分,0分,100分,（二）標(biāo)準(zhǔn)百分的計(jì)分公式（以 為例）,，則相對(duì)于觀測(cè)值,50分,0分,100分,由上可知，區(qū)間,內(nèi)單位長(zhǎng)度的分值為,0分,100分,的標(biāo)準(zhǔn)百分應(yīng)為：,田賽：,徑賽：,如果是以,為計(jì)分,范圍，結(jié)果,如何？,例 ：,已知某年級(jí)男生跳遠(yuǎn)成績(jī),，其中某同學(xué)成績(jī)?yōu)?.85m，,試求他

6、的標(biāo)準(zhǔn)百分。,二、累進(jìn)計(jì)分,（一）累進(jìn)計(jì)分的思想 標(biāo)準(zhǔn)百分有簡(jiǎn)單、直觀、使用方便的優(yōu)點(diǎn)。但由于該計(jì)分方法采用均勻計(jì)分，分值處理一樣，沒(méi)有與項(xiàng)目的難度聯(lián)系起來(lái)，因此，不利于應(yīng)用。在體育領(lǐng)域內(nèi)，難度越大處，分值應(yīng)當(dāng)越高，即分?jǐn)?shù)隨成績(jī)的提高呈曲線上升，這就是累進(jìn)計(jì)分的基本思想。,通常采用二次曲線,進(jìn)行分析處理。,（二）累進(jìn)計(jì)分公式,設(shè)原始變量服從正態(tài)分布，樣本平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差分別為 和 ，先對(duì)原變量作如下變換：,再作變換：,為了確定計(jì)分公式，需要根據(jù)具體問(wèn)題設(shè)定基分點(diǎn)和滿分點(diǎn)，從而建立方程組:,例:,解:,從而累進(jìn)計(jì)分公式為:,所以，甲乙兩人的分?jǐn)?shù)分別為:,甲：,乙的成績(jī)大家自己計(jì)算：,三、離差法制定

7、評(píng)分評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn),利用樣本均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差來(lái)制定評(píng)分、評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)的方法習(xí)慣上稱為離差法。 常見(jiàn)的用離差法制定等級(jí)標(biāo)準(zhǔn)的方法是： 先根據(jù)具體情況規(guī)定各等級(jí)的人數(shù)比例，如優(yōu)秀10%，良好20%，中等30%，及格32%，不及格8%再根據(jù)正態(tài)分布的知識(shí)，計(jì)算出各等級(jí)的成績(jī)標(biāo)準(zhǔn)。,現(xiàn)有一組男生200m跑成績(jī) 秒， 秒，原始變量基本服從正態(tài)分布，若規(guī)定12%的人為優(yōu)秀，20%為良好，30%為中等，30%及格，8%不及格，試求各等級(jí)的標(biāo)準(zhǔn)。,例,解,良好、中等、及格和不及格的等級(jí)標(biāo)準(zhǔn)請(qǐng)大家自己算。,四、制定離差評(píng)價(jià)表,在中學(xué)體育工作中，教師可以針對(duì)學(xué)生的整體成績(jī)利用離差法制定各項(xiàng)目的綜合評(píng)價(jià)表，在表中，各項(xiàng)目分上等、

8、中上、中等、中下、和下等五個(gè)等級(jí)，各等級(jí)的計(jì)分標(biāo)準(zhǔn)為：,例,五、選派參賽運(yùn)動(dòng)員,若比賽級(jí)別高，估計(jì)他們的平均成績(jī)就得到好名次，則可派甲隊(duì)參賽； 若比賽級(jí)別高，對(duì)手的實(shí)力較強(qiáng)，兩名隊(duì)員只有在發(fā)揮最好成績(jī)時(shí)才有可能取得名次，則可選派乙隊(duì)員參賽。,例,解,第三節(jié)百分位數(shù)及其應(yīng)用,利用平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差進(jìn)行體育評(píng)分、評(píng)價(jià)時(shí)，均要求原始變量服從正態(tài)分布，如果總體不服從正態(tài)分布，或總體分布不明時(shí)則不能運(yùn)用平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差進(jìn)行評(píng)分評(píng)價(jià)，應(yīng)用百分位數(shù)來(lái)描述。,一、百分位數(shù)的概念,將一組數(shù)據(jù)從小到大依次排列，并將數(shù)列100等分，與第H等分相對(duì)應(yīng)的數(shù)，稱為第H百分位數(shù)，記用PH，H稱為PH的位置百分，如P50就是第50百分位數(shù)，第50百分位數(shù)就是中位數(shù)，中位數(shù)是百分位數(shù)的一個(gè)特例。,例,百分位數(shù)與位置百分互為數(shù)運(yùn)算,二、百分位數(shù)的計(jì)算,設(shè)原始資料已整理成頻數(shù)分布表 。 計(jì)算百分位數(shù)的思想是：頻數(shù)分布表已將數(shù)據(jù)從小到