1、,概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) 第二十講,主講教師：程維虎教授,北京工業(yè)大學(xué)應(yīng)用數(shù)理學(xué)院,第八章 假設(shè)檢驗(yàn),8.1 基本概念,下面，我們討論不同于參數(shù)估計(jì)問(wèn)題的另一類統(tǒng)計(jì)推斷問(wèn)題根據(jù)樣本提供的信息，檢驗(yàn)總體的某個(gè)假設(shè)是否成立的問(wèn)題。,這類問(wèn)題稱為假設(shè)檢驗(yàn)。,假設(shè)檢驗(yàn),參數(shù)檢驗(yàn),非參數(shù)檢驗(yàn),總體分布已知情 形下，檢驗(yàn)未知 參數(shù)的某個(gè)假設(shè),總體分布未知情形 下的假設(shè)檢驗(yàn)問(wèn)題,先看一個(gè)例子。,例1：某工廠生產(chǎn) 10 歐姆的電阻，根據(jù)以往生產(chǎn)的電阻實(shí)際情況，可以認(rèn)為: 電阻值 X服從正態(tài)分布 N(, 0.12)?，F(xiàn)在隨機(jī)抽取10個(gè)電阻, 測(cè)得它們的電阻值為: 9.9, 10.1, 10.2, 9.7, 9.9,

2、9.9, 10.0, 10.5, 10.1, 10.2. 問(wèn): 從樣本看，能否認(rèn)為該廠生產(chǎn)的電阻的平均值 = 10 歐姆?, 確定總體：記 X 為該廠生產(chǎn)電阻的測(cè)值，則 X N(, 0.12)； 明確任務(wù)：通過(guò)樣本推斷 “X 的均值 是否 等于10歐姆”； 假設(shè)：上面的任務(wù)是要通過(guò)樣本檢驗(yàn)“X 的 均值 =10”這一假設(shè)是否成立。,I. 如何建立檢驗(yàn)?zāi)Ｐ?原假設(shè)的對(duì)立面是 “ X 的均值 10”，稱為 “對(duì)立假設(shè)” 或 “備擇假設(shè)”，記成 “ H1: 10”。把原假設(shè)和對(duì)立假設(shè)合寫在一起，就是:,H0： =10； H1：10.,在數(shù)理統(tǒng)計(jì)中，把 “ X 的均值 =10” 這樣一個(gè)待檢驗(yàn)的假設(shè)記

3、為 “原假設(shè)” 或 “零假設(shè)”,記成 “ H0： =10”。,II. 解決問(wèn)題的思路,因樣本均值是 的一個(gè)很好的估計(jì)。所以，當(dāng) =10，即原假設(shè) H0 成立時(shí), 應(yīng)比較?。?如果該值過(guò)大, 想必 H0 不成立。,于是，我們就用 的大小檢驗(yàn) H0 是否成立。,合理的做法應(yīng)該是：找出一個(gè)界限 c，,這里的問(wèn)題是：如何確定常數(shù) c 呢？,細(xì)致地分析:,根據(jù)定理 6.4.1，有,于是，當(dāng)原假設(shè) H0：=10 成立時(shí)，有,為確定常數(shù) c，我們考慮一個(gè)很小的正數(shù)， 如 = 0.05。當(dāng)原假設(shè) H0: =10 成立時(shí)，有,于是，我們就得到如下檢驗(yàn)準(zhǔn)則:,為原假設(shè) H0 的拒絕域。,用以上檢驗(yàn)準(zhǔn)則處理我們的問(wèn)

4、題，,所以，接受原假設(shè) H0:=10。,因?yàn)椋?dāng)原假設(shè)是 H0: =10 成立時(shí)，,所以，當(dāng) 很小時(shí)，若 H0 為真(正確), 則檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量落入拒絕域是一小概率事件 (概率很小，為 )。前面我們?cè)岬剑骸巴ǔＵJ(rèn)為小概率事件在一次試驗(yàn)中基本上不會(huì)發(fā)生”。,III. 方法原理,那么，如果小概率事件發(fā)生了，即:,發(fā)生, 就拒絕接受 H0 成立，即認(rèn)為 H0不成立。,IV. 兩類錯(cuò)誤與顯著性水平,當(dāng)我們檢驗(yàn)一個(gè)假設(shè) H0 時(shí)，有可能犯以下兩類錯(cuò)誤之一：H0 是正確的，但被我們拒絕了，這就犯了“棄真”的錯(cuò)誤，即拋棄了正確假設(shè)；H0 是不正確的，但被我們接受了，這就犯了“取偽”的錯(cuò)誤，即采用了偽假設(shè)。,因

5、為檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量總是隨機(jī)的，所以，我們總是以一定的概率犯以上兩類錯(cuò)誤。,通常用 和 記犯第一、第二類錯(cuò)誤的概率，即,在檢驗(yàn)問(wèn)題中，犯“棄真”和“取偽”兩類錯(cuò)誤都總是不可避免的，并且減少犯第一類錯(cuò)誤的概率，就會(huì)增大犯第二類錯(cuò)誤的概率;反之亦然。,所以，犯兩類錯(cuò)誤的概率不能同時(shí)得到控制。,在統(tǒng)計(jì)學(xué)中，通?？刂品傅谝活愬e(cuò)誤的概概率。一般事先選定一個(gè)數(shù) (01)，要求犯第一類錯(cuò)誤的概率不超過(guò) 。稱 為假設(shè)檢驗(yàn)的顯著性水平，簡(jiǎn)稱水平。,犯第二類錯(cuò)誤的概率的計(jì)算超出了課程的學(xué)習(xí)范圍。因此，不作討論。,例1(續(xù))：分析該例的顯著性水平。,H0: =10，,現(xiàn)在我們來(lái)分析一下：取上述 c 后，如果 H0 是正確的

6、，卻被我們拒絕了。這時(shí)，犯第一類錯(cuò)誤的概率是多少呢？,可見：用該方法進(jìn)行檢驗(yàn)時(shí)，犯第一類錯(cuò)誤的概率等于 ，即顯著性水平等于 。,因?yàn)楫?dāng)原假設(shè) H0: =10 成立時(shí)，有,分析:,8.2 正態(tài)總體均值的假設(shè)檢驗(yàn),8.2.1 單正態(tài)總體 N(, 2)均值 的檢驗(yàn),1. 雙邊檢驗(yàn) H0: = 0；H1: 0,假設(shè) 2已知，根據(jù)上節(jié)中的例1，當(dāng)原假設(shè) H0: = 0 成立時(shí)，有,在應(yīng)用上，2未知的情況是常見的。此時(shí)，和前面不同的是：常用樣本方差 S2代替未知的2 。,以上檢驗(yàn)法稱作 U 檢驗(yàn)法。,當(dāng) 2未知時(shí)，根據(jù)基本定理 6.4.1 ，當(dāng)原假設(shè) H0: = 0 成立時(shí)，有,此檢驗(yàn)法稱作 t 檢驗(yàn)法。

7、,解：n=10, =0.05, 0=10， t10-1( /2)=t9(0.025)=2.2622，,例1(續(xù)例 8.1.1) : 假設(shè)2未知，檢驗(yàn),所以，接受原假設(shè) H0: =10.,H0: =10；H1: 10.,上一段中， H0:=0 ; H1: 0 的對(duì)立假設(shè)為 H1: 0 , 該假設(shè)稱為雙邊對(duì)立假設(shè)。,2. 單邊檢驗(yàn) H0: =0; H1: 0,而現(xiàn)在要處理的對(duì)立假設(shè)為 H1: 0, 稱為右邊對(duì)立假設(shè)。,類似地，H0: =0; H1: 0 中的對(duì)立假設(shè)H1: 0，假設(shè)稱為左邊對(duì)立假設(shè)。右邊對(duì)立假設(shè)和左邊對(duì)立假設(shè)統(tǒng)稱為單邊對(duì)立假設(shè)，其檢驗(yàn)為單邊檢驗(yàn)。,例如：工廠生產(chǎn)的某產(chǎn)品的數(shù)量指標(biāo)服

8、從正態(tài)分布，均值為 0 ；采用新技術(shù)或新配方后，產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)還服從正態(tài)分布，但均值為 。我們想了解 “是否顯著地大于0”,即產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)是否顯著地增加了。,如果 =0，即原假設(shè)成立，則 就,不應(yīng)太大；反之，如果 過(guò)大，就認(rèn)為原假設(shè)不成立。,在2已知情況下，根據(jù)定理6.4.1，知：,當(dāng)原假設(shè) 成立時(shí)，,單邊檢驗(yàn) H0: =0; H1: 0,在2未知情況下，當(dāng)原假設(shè) 成立時(shí)，,例 2：某廠生產(chǎn)一種工業(yè)用繩,其質(zhì)量指標(biāo)是繩子所承受的最大拉力，假定該指標(biāo)服從正態(tài)分布，且該廠原來(lái)生產(chǎn)的繩子指標(biāo)均值 0 =15公斤，采用一種新原材料后,廠方稱這種原材料提高了繩子的質(zhì)量，也就是說(shuō)繩子所承受的最大拉力 比1

9、5公斤增大了。 為檢驗(yàn)該廠的結(jié)論是否真實(shí)，從其新產(chǎn)品中隨機(jī)抽取50件，測(cè)得它們所承受的最大拉力的平均值為15.8公斤，樣本標(biāo)準(zhǔn)差S=0.5公斤。取顯著性水平 =0.01。問(wèn)從這些樣本看：能否接受廠方的結(jié)論。,解：?jiǎn)栴}歸結(jié)為檢驗(yàn)如下假設(shè) H0: =15; H1: 15 (2未知),于是，,從而，拒絕原假設(shè)，即認(rèn)為新的原材料確實(shí)提高了繩子所能承受的最大拉力。,8.2.2 兩個(gè)正態(tài)總體 N(1, 12) 和 N(2, 22) 均值的比較,在應(yīng)用上，經(jīng)常會(huì)遇到兩個(gè)正態(tài)總體均值的比較問(wèn)題。,例如：比較甲、乙兩廠生產(chǎn)的某種產(chǎn)品的質(zhì)量。將兩廠生產(chǎn)的產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)分別看成正態(tài)總體 N(1, 12) 和 N(2

10、, 22)。比較它們的產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)的問(wèn)題，就變?yōu)楸容^這兩個(gè)正態(tài)總體的均值 1和 2的的問(wèn)題。,又如：考察一項(xiàng)新技術(shù)對(duì)提高產(chǎn)品質(zhì)量是否有效。將新技術(shù)實(shí)施前后生產(chǎn)的產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)分別看成正態(tài)總體 N(1, 12)和 N(2, 22)。這時(shí)，所考察的問(wèn)題就歸結(jié)為檢驗(yàn)這兩個(gè)正態(tài)總體的均值 1和 2是否相等的問(wèn)題。,設(shè)X1, X2, , Xm與Y1, Y2, , Yn 分別為抽自正態(tài)總體 N(1, 12)和 N(2, 22)的樣本，記,考查如下檢驗(yàn)假設(shè):,1. H0: 1= 2 ; H1: 12,當(dāng) 12 和 22 已知時(shí)，根據(jù)定理7.5.1，有,當(dāng) H0: 1 = 2為真時(shí)，,故，拒絕域?yàn)?在12=22

11、 =2，2未知情況下，根據(jù)定理7.5.1，有,當(dāng) H0: 1=2 為真時(shí)，有,拒絕域?yàn)?從而,上面，我們假定 12=22。當(dāng)然，這是個(gè)不得已而強(qiáng)加上去的條件，因?yàn)槿绻患哟藯l件，就無(wú)法使用簡(jiǎn)單易行的 t 檢驗(yàn)。 在實(shí)用中，只要我們有理由認(rèn)為12和22相差不是太大，往往就可使用上述方法。通常是：如果方差比檢驗(yàn)未被拒絕(見下節(jié)), 就認(rèn)為12和22相差不是太大。,說(shuō)明,例3：假設(shè)有A和B兩種藥，欲比較它們?cè)诜?小時(shí)后在血液中的含量是否一樣。對(duì)藥品A，隨機(jī)抽取8個(gè)病人服藥，服藥2小時(shí)后，測(cè)得8個(gè)病人血液中藥物濃度(用適當(dāng)?shù)膯挝?分別為: 1.23, 1.42, 1.41, 1.62, 1.55,

12、1.51, 1.60, 1.76. 對(duì)藥品B，隨機(jī)抽取6個(gè)病人服藥，服藥2小時(shí)后，測(cè)得血液中藥的濃度分別為: 1.76, 1.41, 1.87, 1.49, 1.67, 1.81. 假定這兩組觀測(cè)值抽自具有共同方差的兩個(gè)正態(tài)總體，在顯著性水=0.10下，檢驗(yàn)病人血液中這兩種藥的濃度是否有顯著不同?,故，接受原假設(shè)。即, 認(rèn)為病人血液中這兩種藥濃度無(wú)顯著差異。,解：?jiǎn)栴}就是從總體 N(1, 2)和N(2, 2)中分別抽取樣本X1, X2, X8 和Y1, Y2, Y6，樣本均值和樣本方差分別為：,與1.的分析完全類似，可以得到:,2. 單邊檢驗(yàn) H0: 12; H1: 12, 12和22已知情況

13、下，H0的拒絕域?yàn)? 12與22未知，但二者相等情況下，H0的 拒絕域?yàn)?與1.的分析完全類似，可以得到:,3. 單邊檢驗(yàn) H0: 12; H1: 12, 12和22已知情況下，H0的拒絕域?yàn)? 12與22未知，但二者相等情況下，H0的 拒絕域?yàn)?兩個(gè)正態(tài)總體與成對(duì)數(shù)據(jù)的區(qū)別 兩個(gè)正態(tài)總體假定來(lái)自這兩個(gè)正態(tài)總體 的兩組樣本，是相互獨(dú)立的。 成對(duì)數(shù)據(jù)兩組樣本可以是來(lái)自對(duì)同一個(gè) 總體上的重復(fù)測(cè)量，它們是成對(duì)出現(xiàn)的，可 以是相關(guān)的。,8.2.3 成對(duì)數(shù)據(jù)的 t 檢驗(yàn),例如: 為了考察一種降血壓藥的效果，測(cè)試了n 個(gè)高血壓病人服藥前、后的血壓分別為X1, X2, Xn 和Y1,Y2,Yn。這里(Xi

14、,Yi)是第 i個(gè)病人服藥前和服藥后的血壓，它們是相關(guān)的。,處理成對(duì)數(shù)據(jù)的思路,因(Xi , Yi)是在同一人身上觀測(cè)到的血壓。所以，Xi-Yi 就消除了人的體質(zhì)等諸方面的條件差異，僅剩下降血壓藥的效果。 所以，我們可以把 di=Xi-Yi，i=1, 2, n.看成抽自正態(tài)總體 N( , 2)的樣本。其中 就是降血壓藥的平均效果。,一般的成對(duì)數(shù)據(jù)同樣也是這樣轉(zhuǎn)變的。從前面所學(xué)內(nèi)容可以看出：其實(shí)就是作 H0: = 0; H1: 0； H0: 0; H1: 0,方差2未知情況下的檢驗(yàn)。,上述三種檢驗(yàn)的拒絕域分別為：,例4：為了檢驗(yàn)A, B兩種測(cè)定鐵礦石含鐵量的方法是否有明顯差異, 現(xiàn)用這兩種方法測(cè)定了取自12個(gè)不同鐵礦的礦石標(biāo)本的含鐵量(%)，結(jié)果列于表 8.2.1中。取=0.05, 問(wèn)這兩種測(cè)定方法是否有顯著差異?,解: 將方法A和方法B的測(cè)定值分別記