1、數(shù)學(xué)直通車-立體幾何,知識體系,第一節(jié) 空間幾何體的結(jié)構(gòu)及其三視圖和直觀圖,基礎(chǔ)梳理,1. 多面體 (1)有兩個面互相平行,其余各面都是四邊形,并且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行,由這些面所圍成的多面體叫做棱柱. (2)有一個面是多邊形,其余各面都是有一個公共頂點的三角形,由這些面所圍成的多面體叫做棱錐. (3)用一個平行于棱錐底面的平面截棱錐,底面和截面之間的這部分多面體叫做棱臺.,2. 旋轉(zhuǎn)體 (1)以矩形的一邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸,其余三邊旋轉(zhuǎn)形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體叫做圓柱. (2)以直角三角形的一條直角邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸,其余兩邊旋轉(zhuǎn)形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體體叫做圓錐. (3)以半圓

2、的直徑所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸,將半圓旋轉(zhuǎn)一周形成的旋轉(zhuǎn)體叫做球體,簡稱球. 3. 三視圖和直觀圖 (1)三視圖是從一個幾何體的正前方、正左方、正上方三個不同的方向看這個幾何體,描繪出的圖形,分別稱為正視圖、側(cè)視圖、俯視圖. (2)三視圖的排列順序:先畫正視圖,俯視圖放在正視圖的下方,側(cè)視圖放在正視圖的右方. (3)三視圖的三大原則:長對正、高平齊、寬相等.,(4)水平放置的平面圖形的直觀圖的斜二測畫法： 在已知圖形中,取互相垂直的x軸和y軸,兩軸相交于點O,畫直觀圖時,把它們畫成對應(yīng)的x軸和y軸,兩軸相交于O,且使xOy=45(或135),用它們確定的平面表示水平面. 已知圖形中平行于x軸或y軸的

3、線段,在直觀圖中,分別畫成平行于x軸或y軸的線段. 已知圖形中平行于x軸的線段,在直觀圖中保持原長度不變；平行于y軸的線段,在直觀圖中長度變?yōu)樵瓉淼囊话?,典例分析,題型一 空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征,【例1】根據(jù)下列對幾何體結(jié)構(gòu)特征的描述,說出幾何體的名稱. (1)由八個面圍成,其中兩個面是互相平行且全等的正六邊形,其他各面都是矩形; (2)一個等腰梯形繞著兩底邊中點的連線所在的直線旋轉(zhuǎn)180形成的封閉曲面所圍成的圖形; (3)一個直角梯形繞較長的底邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面所圍成的幾何體.,分析 要判斷幾何體的類型,從各類幾何體的結(jié)構(gòu)特征入手，以柱、錐、臺的定義為依據(jù)，把復(fù)雜的幾何體分割成幾

4、個簡單的幾何體.,解 (1)如圖1所示,該幾何體滿足有兩個面平行,其余六個面都是矩形,可使每相鄰兩個面的公共邊都互相平行,故該幾何體是正六棱柱. (2)如圖2所示,等腰梯形兩底邊中點的連線將梯形平分為兩個直角梯形,每個直角梯形旋轉(zhuǎn)180形成半個圓臺,故該幾何體為圓臺. (3)如圖3所示,由梯形ABCD的頂點A引AOCD于O點,將直角梯形分為一個直角三角形AOD和矩形AOCB,繞CD旋轉(zhuǎn)一周形成一個組合體,該組合體由一個圓錐和一個圓柱組成. 圖1 圖2 圖3,學(xué)后反思 對于不規(guī)則的平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)問題,要對原平面圖形作適當(dāng)?shù)姆指?再根據(jù)圓柱、圓錐、圓臺的結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行判斷.,舉一反三 1. 如圖所

5、示，直角梯形ABCD中，ABBC，繞著CD所在直線l旋轉(zhuǎn)，試畫出立體圖并指出幾何體的結(jié)構(gòu)特征.,解析： 如圖所示，過A、B分別作 CD， CD，垂足分別為 、 ，則Rt 繞l旋轉(zhuǎn)一周所形成的面圍成的幾何體是圓錐，直角梯形 繞l旋轉(zhuǎn)一周所形成的面圍成的幾何體是圓臺，Rt 繞l旋轉(zhuǎn)一周所形成的面圍成的幾何體是圓錐.綜上可知，旋轉(zhuǎn)所得的幾何體下面是一個圓錐，上面是一個圓臺挖去了一個以圓臺上底面為底面的圓錐.,【例2】下列三個命題，其中正確的有( ) 用一個平面去截棱錐，棱錐底面和截面之間的部分是棱臺； 兩個底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面體是棱臺； 有兩個面互相平行，其余四個面都是等腰梯形的六

6、面體是棱臺. A. 0個 B. 1個 C. 2個 D. 3個,題型二 基本概念與性質(zhì),分析 利用棱臺的定義和特殊幾何體加以說明.,解 中的平面不一定平行于底面，故錯； 如圖，四條側(cè)棱不一定交于一點，故錯，答案選A.,學(xué)后反思 在開始學(xué)習(xí)立體幾何時，要學(xué)會觀察、分析并記住一些特殊的物體或圖形，以便于我們做題.反例推證是一種重要的數(shù)學(xué)方法，望大家熟練掌握.,舉一反三,2. 下面是關(guān)于四棱柱的四個命題: 若有兩個側(cè)面垂直于底面,則該四棱柱為直四棱柱; 若過兩個相對側(cè)棱的截面都垂直于底面,則該四棱柱為直四棱柱; 若四個側(cè)面兩兩全等,則該四棱柱為直四棱柱; 若四棱柱的四條對角線兩兩相等,則該四棱柱為直四

7、棱柱. 其中,真命題的編號是 .,解析: 對于,平行六面體的兩個相對側(cè)面也可能與底面垂直且互相平行,故假;對于,兩截面的交線平行于側(cè)棱,且垂直于底面,故真;對于,作正四棱柱的兩個平行菱形截面,可得滿足條件的斜四棱柱,如圖1,故假;對于,四棱柱一個對角面的兩條對角線恰為四棱柱的對角線,故對角面為矩形,于是側(cè)棱垂直于底面的一對角線,同樣側(cè)棱也垂直于底面的另一對角線,故側(cè)棱垂直于底面,故真,如圖2.,答案:,題型三 柱、錐、臺中的計算問題 【例3】正四棱臺的高是17 cm,兩底面邊長分別是4 cm和16 cm,求棱臺的側(cè)棱長和斜高.,分析 求棱臺的側(cè)棱長和斜高的關(guān)鍵是找到相關(guān)的直角梯形,然后構(gòu)造直角

8、三角形,解決問題.,解 如圖所示,設(shè)棱臺的兩底面的中心分別是 、O, 和BC的中點分別是 和E,連接 、 、 、OB、 、OE,則四邊形 和 都是直角梯形. =4 cm,AB=16 cm, =2 cm,OE=8 cm, =2 cm,OB=8 cm, =19 cm, 棱臺的側(cè)棱長為19 cm,斜高為 cm.,學(xué)后反思 （1）把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題去解是解決立體幾何問題的常用方法. （2）找出相關(guān)的直角梯形，構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵，正棱臺中許多元素都可以在直角梯形中求出.,舉一反三,3. 一個底面半徑和高都是R的圓柱中,挖去一個以圓柱上底面為底,下底面中心為頂點的圓錐,得到如圖所示的幾何體.

9、如果用一個與圓柱下底面距離等于l并且平行于底面的平面去截它,求所得截面的面積.,解析：軸截面如圖所示:,被平行于下底面的平面所截得的圓柱的截面圓的半徑 ,設(shè)圓錐的截面圓的半徑 為x. OA=AB=R, OAB是等腰直角三角形. 又CDOA,則CD=BC, =AC,即x=l. 截面面積,題型四 三視圖與直觀圖,【例4】螺栓是由棱柱和圓柱構(gòu)成的組合體,如下圖,畫出它的三視圖.,分析 螺栓是棱柱、圓柱組合而成的，按照畫三視圖的三大原則“長對正，高平齊，寬相等”畫出.,解 該物體是由一個正六棱柱和一個圓柱組合而成的,正視圖反映正六棱柱的三個側(cè)面和圓柱側(cè)面,側(cè)視圖反映正六棱柱的兩個側(cè)面和圓柱側(cè)面,俯視圖

10、反映該物體投影后是一個正六邊形和一個圓(中心重合).它的三視圖如下圖:,學(xué)后反思 （1）在繪制三視圖時,若相鄰兩物體的表面相交,表面的交線是它們的分界線.在三視圖中,分界線和可見輪廓線都用實線畫出.例如上圖中,表示上面圓柱與下面棱柱的分界線是正視圖中的線段AB、側(cè)視圖中的線段CD以及俯視圖中的圓. （2）有些幾何體的正視圖和側(cè)視圖會因觀察角度的不同而不同，因此，要注意幾何體中所給出的觀察角度.,舉一反三 4. (2008廣東)將正三棱柱截去三個角(如圖1所示,A、B、C分別是GHI三邊的中點)得到幾何體如圖2,則該幾何體按圖2所示方向的側(cè)視圖為( ),解析 由正三棱柱的性質(zhì)得,側(cè)面AED底面E

11、FD,則側(cè)視圖必為直角梯形,且線段BE在梯形內(nèi)部. 答案 A,【例5】(12分)用斜二測法畫出水平放置的等腰梯形的直觀圖.,分析 畫水平放置的直觀圖應(yīng)遵循以下原則: (1)坐標(biāo)系中xOy=45; (2)橫線相等,即AB=AB,CD=CD; (3)豎線是原來的 ,即OE= OE.,畫法 (1)如圖1,取AB所在直線為x軸,AB中點O為原點,建立直角坐標(biāo)系,.3 畫對應(yīng)的坐標(biāo)系xOy,使xOy=45.5 (2)以O(shè)為中點在x軸上取AB=AB,在y軸上取OE= OE,以E為中點畫CDx軸,并使CD=CD10 (3)連接BC、DA,所得的四邊形ABCD就是水平放置的等腰梯形ABCD的直觀圖,如圖2.1

12、2 圖1 圖2,學(xué)后反思 在原圖形中要建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，一般取圖形中的某一橫線為x軸，對稱軸為y軸，或取兩垂直的直線為坐標(biāo)軸，原點可建在圖形的某一頂點或?qū)ΨQ中心、 中點等.坐標(biāo)系建得不同，但畫法規(guī)則不變，關(guān)鍵是畫出平面圖形中相對應(yīng)的頂點.,舉一反三 5. 如圖建立坐標(biāo)系，得到的正三角形ABC的直觀圖不是全等三角形的一組是( ),解析: 按照斜二測畫法的作圖規(guī)則,對四個選項逐一驗證,可知只有選項C符合題意.,答案: C,易錯警示,【例】畫出如圖1所示零件的三視圖.,錯解 圖1的零件可看做是一個半圓柱、一個柱體、一個圓柱的組合,其三視圖如圖2. 圖1 圖2,錯解分析 錯誤原因是圖中各視圖都沒有

13、畫出中間的柱體和圓柱的交線，畫圖時應(yīng)畫出其交線.,正解,考點演練,10. 多面體上，位于同一條棱兩端的頂點稱為相鄰的.如圖所示，正方體的一個頂點A在平面內(nèi)，其余頂點在的同側(cè).正方體上與頂點A相鄰的三個頂點到的距離分別為1,2和4.P是正方體的其余四個頂點中的一個，則P到平面的距離可能是：3；4；5；6；7. 以上結(jié)論正確的為.（寫出所有正確結(jié)論的編號）,解析: 設(shè)底面四點分別為A、B、C、D，連接AC、BD，且ACBD=O,B、C、D、O在平面上的射影分別為 B、C、D、K,則 當(dāng)點P在點C的位置時，有CC=2OK=3, 所以正確.同理可得、也是正確的.,答案: ,11. 圓臺的兩底面半徑分別

14、為5 cm和10 cm,高為8 cm,有一個過圓臺兩母線的截面,且上、下底面中心到截面與兩底面交線的距離分別為3 cm和6 cm,求截面面積.,解析 如圖所示截面ABCD,取AB中點F,CD中點E,連接OF, ， EF, ,OA,則 為直角梯形,ABCD為等腰梯形,EF為梯形ABCD的高, 在直角梯形 中, （cm）， 在Rt 中， （cm）, 同理, （cm）,12. 有一塊扇形鐵皮OAB，AOB=60，OA=72 cm，要剪下來一個扇環(huán)形ABCD作圓臺形容器的側(cè)面，并在余下的扇形OCD內(nèi)剪下一塊與其相切的圓形，使它恰好作圓臺形容器的下底面（大底面，如圖），試求： （1）AD應(yīng)取多長？ （2

15、）容器的容積.,解析： (1)如圖，設(shè)圓臺上、下底面半徑分別為r、R，AD=x，則OD=72-x. 由題意得 R=12,r=6,x=36，AD=36 cm.,(2)圓臺的高,第二節(jié) 空間幾何體的表面積與體積,基礎(chǔ)梳理,1. 柱體、錐體、臺體的側(cè)面積,就是各側(cè)面面積之和；表面積是各個面的面積之和,即側(cè)面積與底面積之和. 2. 把柱體、錐體、臺體的面展開成一個平面圖形,稱為它的展開圖,它的表面積就是展開圖的面積. 3. 圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面積及表面積,4. 柱、錐、臺體的體積 這是柱體、錐體、臺體統(tǒng)一計算公式,特別地，圓柱、圓錐、圓臺還可以分別寫成: 5. 球的體積及球的表面積 設(shè)球的半徑為R,

16、典例分析,題型一 幾何體的表面積問題 【例1】已知一個正三棱臺的兩底面邊長分別為30 cm和20 cm,且其側(cè)面積等于兩底面面積之和,求棱臺的高.,分析 要求正棱臺的高，首先要畫出正棱臺的高，使其包含在某一個特征直角梯形中，轉(zhuǎn)化為平面問題，由已知條件列出方程，求解所需的幾何元素.,解 如圖所示,正三棱臺ABC- 中,O、 分別為兩底面中心,D、 分別為BC和 中點,則 為棱臺的斜高. 設(shè) =20,AB=30,則OD=5 , = , 由 ,得 在直角梯形 中, 棱臺的高為4 cm.,學(xué)后反思 (1)求解有關(guān)多面體表面積的問題,關(guān)鍵是找到其特征幾何圖形,解決旋轉(zhuǎn)體的表面積問題,要利用好旋轉(zhuǎn)體的軸截

17、面及側(cè)面展開圖. （2）借助于平面幾何知識,利用已知條件求得所需幾何要素.,舉一反三 一個球內(nèi)有相距9 cm的兩個平行截面，面積分別為 和 ，試求球的表面積.,解析：（1）當(dāng)球心在兩個截面同側(cè)時，如圖1所示. 設(shè)OD=x，由題意知 同理可得BD=20 cm. 設(shè)球半徑為R，則依題意得： 即 解得x=15 cm, R=25 cm.故,（2）當(dāng)球心在兩個截面之間時，如圖2所示， 設(shè)OD=x cm，則OC=(9-x)cm. 由題意得 CA=7 cm， 同理可得BD=20 cm. 設(shè)球半徑為R, 則依題意知 即 此方程無正數(shù)解. 故此種情況不可能.綜上可知,球的表面積為,【例2】直平行六面體的底面為菱

18、形,過不相鄰兩條側(cè)棱的截面面積分別為 ,求它的側(cè)面積.,分析 要求此棱柱的側(cè)面積,只要求它的底面邊長與高即可.,解 設(shè)直平行六面體底面邊長為a,側(cè)棱長為l,如圖,則 ,因過 的截面都為矩形, 從而 則 又ACBD, 即 所以,學(xué)后反思 (1)在多面體或旋轉(zhuǎn)體中，要正確識別和判斷某截面圖形的形狀和特征. （2）用已知量來表示側(cè)面面積公式中的未知量，利用平面幾何知識（菱形的對角線互相垂直平分），采用整體代入，設(shè)而不求，減少了運算量，簡化了運算過程.,2. 正方體的表面積為a2,它的頂點均在一個球面上，求這個球的表面積.,舉一反三,解析：設(shè)正方體的棱長為m，球的半徑為R，則6m2=a2，得m= a.

19、 又正方體的體對角線長為 a= a， 從而2R= a,得R= a. 故球的表面積為4( a)2= a2.,題型二 幾何體的體積問題,【例3】已知四棱臺兩底面均為正方形，邊長分別為4 cm，8 cm，側(cè)棱長為8 cm，求它的側(cè)面積和體積.,分析 由題意知,需求側(cè)面等腰梯形的高和四棱臺的高,然后利用平面圖形面積公式和臺體體積公式求得結(jié)論.,解 如圖,設(shè)四棱臺的側(cè)棱延長后交于點P,則PBC為等腰三角形,取BC中點E,連接PE交 于點 ,則PEBC, E為側(cè)面等腰梯形的高,作PO底面ABCD交上底面于點 ,連接 、OE. 在P 和PBC中, , 為PB的中點, 為PE的中點. 在RtPEB中,在RtP

20、OE中,學(xué)后反思 （1）求棱臺的側(cè)面積與體積要注意利用公式以及正棱臺中的“特征直角三角形”和“特征直角梯形”，它們是架起“求積”關(guān)系式中的未知量與滿足題設(shè)條件中幾何圖形元素間關(guān)系的“橋梁”. （2）平行于棱臺底面的截面分棱臺的側(cè)面積與體積比的問題，通常是“還臺為錐”，而后利用平行于棱錐底面的截面性質(zhì)去解.“還臺為錐”借助于軸截面，將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題，求出相關(guān)數(shù)據(jù)，進(jìn)行計算.“還臺為錐”是解決棱臺問題的重要方法和手段.,舉一反三 3. 如圖,在多面體ABCDEF中,已知四邊形ABCD是邊長為1的正方形,且ADE、BCF均為正三角形,EFAB,EF=2,則該多面體的體積為 .,解析 如圖,分

21、別過A、B作EF的垂線,垂 足分別為G、H,連接DG、CH,易求得 EG=HF= ,AG=GD=BH=HC= , 答案,題型三 組合體的體積和表面積問題 【例4】 (12分)如圖,在等腰梯形ABCD中,AB=2DC=2,DAB=60,E為AB的中點,將ADE與BEC分別沿ED、EC向上折起,使A、B重合,求形成三棱錐的外接球的體積.,分析 易知折疊成的幾何體為棱長為1的正四面體,欲求外接球的體積，求其外接球半徑即可.,解 由已知條件知,在平面圖形中, AE=EB=BC=CD=DA=DE=EC=1.1 所以折疊后得到一個正四面體. 方法一:如圖，作AF面DEC,垂足為F,F即為DEC的中心3 取

22、EC中點G,連接DG、AG,過外接球球心O作OH面AEC,則垂足H為AEC的中心.5 外接球半徑可利用OHAGFA求得. AG= ,AH= AG= ， AF= , 7,在AFG和AHO中,根據(jù)三角形相似可知, .10 外接球體積為 .12 方法二:如圖,把正四面體放在正方體中.顯然,正四面體的外接球就 是正方體的外接球.4 正四面體棱長為1, 正方體棱長為 ,.6 外接球直徑2R= ,10 R= ,體積為 12,學(xué)后反思 (1)折疊問題是高考經(jīng)?？疾榈膬?nèi)容之一,解決這類問題要注意對翻折前后線線、線面的位置關(guān)系，所成角及距離加以比較.一般來說，位于棱的兩側(cè)的同一半平面內(nèi)的元素其相對位置的關(guān)系和數(shù)

23、量關(guān)系在翻折前后不發(fā)生變化，分別位于兩個半平面內(nèi)的元素其相對位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系則發(fā)生變化;不變量可結(jié)合原圖形求證，變化量應(yīng)在折后立體圖形中求證.對某些翻折不易看清的元素，可結(jié)合原圖形去分析、計算，即將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題. （2）由方法二可知，有關(guān)柱、錐、臺、球的組合體，經(jīng)常是把正方體、長方體、球作為載體，去求某些量.解決這類問題，首先要把這些載體圖形的形狀、特點及性質(zhì)掌握熟練，把問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，使運算和推理變得更簡單，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想是立體幾何中一個非常重要的思想方法.,舉一反三 4. 有一個倒圓錐形容器,它的軸截面是一個正三角形,在容器內(nèi)放一個半徑為r的鐵球,并注入水,使水面與球正好相切,然

24、后將球取出,求這時容器中水的深度.,解析：如圖,作出軸截面,因軸截面是正三角形,根據(jù)切線性質(zhì)知當(dāng)球在容器內(nèi)時,水的深度為3r,水面半徑為 ,則 容器內(nèi)水的體積為 將球取出后，設(shè)容器內(nèi)水的深度為h，則水面圓的半徑為 ， 從而容器內(nèi)水的體積是 由V=V得,易錯警示,【例】在半徑為15的球內(nèi)有一個底面邊長為 的內(nèi)接正三棱錐,求此正三棱錐的體積.,錯解 如圖,顯然OV=OA=OB=OC=15,ABC是邊長為 的正三角形,它的中心為H,H也是頂點V和球心O在底面ABC的射影,HA=HB=HC=12,可以解得OH=9, 三棱錐的高VH=9+15=24, 即此正三棱錐的體積為 .,錯解分析 漏掉了正三棱錐的

25、頂點和球心在正三棱錐的底面的異側(cè)情形.,正解 設(shè)此正三棱錐為V-ABC,球心為O,則OV=OA=OB=OC=15.設(shè)ABC的中心為H,則H也是頂點V和球心O在底面ABC的射影,HA=HB=HC=12,OH=9.,（1）如圖1,當(dāng)頂點V和球心O位于平面ABC的同側(cè)時,高VH=9+15=24,（2）如圖2,當(dāng)頂點V和球心O位于平面ABC的異側(cè)時,高VH=15-9=6, 綜上,此三棱錐的體積為 .,考點演練,10. 若一個正三棱柱的三視圖如下圖所示,則這個正三棱柱的表面積為.,解析: 側(cè)視圖中矩形的長為原正三棱柱底面正三角形的高,可求得底面正三角形的邊長為4,從而可求得表面積,答案: 24+83,1

26、1. 正六棱柱（底面是正六邊形，側(cè)棱垂直底面）ABCDEF- 的各棱長均為1，求: (1)正六棱柱的表面積； （2）一動點從A沿表面移動到點 時的最短路程.,解析：（1）可知,（2）將所給的正六棱柱如圖2的表面按圖1部分展開. 易得 故從A點沿正側(cè)面和上底面到 的路程最短，為 .,12. 三棱錐一條側(cè)棱長是16 cm,和這條棱相對的棱長是18 cm,其余四條棱長都是17 cm,求棱錐的體積.,解析：如圖，設(shè)AD=16 cm,則BC=18 cm, 取AD的中點E, 連接CE、BE, AC=CD=17 cm, DE=8 cm,CEAD, ,并易知BE=CE, 取BC的中點F,連接EF,EF為BC邊

27、上的高, CEAD,同理BEAD,DA平面BCE, 三棱錐的體積可分為以BCE為底，以AE、DE為高的兩個三棱錐的體積 之和, ,第三節(jié) 空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系,基礎(chǔ)梳理,1. 平面的基本性質(zhì),2. 空間直線與直線的位置關(guān)系 (1)位置關(guān)系 相交 共面 共面與否 平行 異面 一個公共點:相交 公共點個數(shù) 平行 無公共點 異面 (2)公理4(平行公理):平行于同一直線的兩條直線互相平行. (3)定理:空間中如果兩個角的兩邊分別對應(yīng)平行,那么這兩個角相等或互補.,（4）異面直線的夾角 定義：已知兩條異面直線a、b，經(jīng)過空間任意一點O作直線aa,bb，我們把兩相交直線a、b所成的角叫做異面

28、直線a、b所成的角（或夾角）. 范圍：（0, .特別地，如果兩異面直線所成的角是 ，我們就稱這兩條直線垂直，記作ab. 3. 空間中的直線與平面的位置關(guān)系 直線在平面內(nèi)有無數(shù)個公共點 直線與平面相交有且只有一個公共點 直線在平面外 直線與平面平行無公共點 4. 平面與平面的位置關(guān)系 平行無公共點 相交有且只有一條公共直線,典例分析,題型一 點、線、面的位置關(guān)系,【例1】下列命題: 空間不同三點確定一個平面; 有三個公共點的兩個平面必重合; 空間兩兩相交的三條直線確定一個平面; 三角形是平面圖形; 平行四邊形、梯形、四邊形都是平面圖形; 垂直于同一直線的兩直線平行; 一條直線和兩平行線中的一條相

29、交,也必和另一條相交; 兩組對邊相等的四邊形是平行四邊形. 其中正確的命題是_.,分析 根據(jù)公理及推論作判斷.,解 由公理2知,不共線的三點才能確定一個平面,所以命題、均錯,中有可能出現(xiàn)兩平面只有一條公共線(當(dāng)這三個公共點共線時);空間兩兩相交的三條直線有三個交點或一個交點,若為三個交點,則這三線共面,若只有一個交點,則可能確定一個平面或三個平面;正確;中平行四邊形及梯形由公理2的推論及公理1可得必為平面圖形,而四邊形有可能是空間四邊形;如圖,在正方體ABCD-ABCD中,直線BBAB,BBBC,但AB與BC不平行,所以錯;ABCD,BBAB=B,但BB與CD不相交,所以錯;四邊形ADBC中,

30、AD=DB=BC=CA,但它不是平行四邊形,所以也錯.,學(xué)后反思 平面性質(zhì)的三個公理及其推論是論證線面關(guān)系的依據(jù),在判斷過程中要注意反例和圖形的應(yīng)用.,舉一反三,1. 給出下列命題： 如果平面與平面相交,那么它們只有有限個公共點; 經(jīng)過空間任意三點的平面有且只有一個; 如果兩個平面有三個不共線的公共點,那么這兩個平面重合為一個平面; 不平行的兩直線必相交. 其中正確命題的序號為_.,解析 由公理3知，錯;由公理2知，錯;對;不平行的兩直線可能異面，故錯. 答案 ,題型二 證明三點共線,【例2】已知ABC的三個頂點都不在平面內(nèi),它的三邊AB、BC、AC延長 后分別交平面于點P、Q、R.求證:P、

31、Q、R三點在同一條直線上.,分析 要證明P、Q、R三點共線,只需證明這三點都在ABC所在的平面和平面的交線上即可.,證明 由已知條件易知, 平面與平面ABC相交. 設(shè)交線為 ,即 =面ABC. PAB,P面ABC. 又PAB,P,即P為平面與面ABC的公共點,P .同理可證, 點R和Q也在交線 上. 故P、Q、R三點共線于 .,學(xué)后反思 證明多點共線的方法是：以公理3為依據(jù)，先找出兩個平面的交線，再證明各個點都是這兩個面的公共點，即在交線上，則多點共線.或者，先證明過其中兩點的直線是這兩個平面的交線，然后證明第三個點也在交線上.同理，其他的點都在交線上，即多點共線.,舉一反三,2. 如圖，已知

32、E、F、G、H分別是空間四邊形ABCD(四條線段首尾相接,且連接點不在同一平面內(nèi),所組成的空間圖形叫空間四邊形)各邊AB、AD、CB、CD上的點,且直線EF和GH交于點P,如圖所示. 求證:點B、D、P在同一條直線上.,證明 由于直線EF和GH交于點P, PEF,又EF平面ABD,P平面ABD. 同理,P平面CBD. P在平面ABD與平面CBD的交線BD上, 即B、D、P三點在同一條直線上.,題型三 證明點線共面,【例3】求證:兩兩相交且不共點的四條直線在同一平面內(nèi).,分析 由題知，四條直線兩兩相交且不共點，故有兩種情況：一種是三條交于一點，另一種是任何三條都不共點，故分兩種情況證明. 要證明

33、四線共面，先根據(jù)公理2的推論證兩條直線共面，然后再證第三條直線在這個平面內(nèi)，同理第四條直線也在這個平面內(nèi)，故四線共面.,證明 (1)如圖,設(shè)直線a,b,c相交于點O,直線d和a,b,c分別相交于A,B,C三點,直線d和點O確定平面,由O平面,A平面,O直線a,A直線a,知直線a平面.同理b平面,c平面,故直線a,b,c,d共面于. (2)如圖,設(shè)直線a,b,c,d兩兩相交,且任何三線不共點,交點分別是M,N,P,Q,R,G,由直線ab=M,知直線a和b確定平面.由ac=N,bc=Q,知點N、Q都在平面內(nèi),故c.同理可證d,故直線a,b,c,d共面于. 由(1)、(2)可知,兩兩相交且不共點的四

34、條直線必在同一平面內(nèi).,學(xué)后反思 證多線共面的方法： （1）以公理、推論為依據(jù)先證兩直線共面，然后再由公理1證第三條也在這個平面內(nèi).同理其他直線都在這個平面內(nèi). （2）先由部分直線確定平面，再由其他直線確定平面,然后證明這些平面重合.,舉一反三,3. 在正方體ABCD- 中,E是AB的中點,F是 的中點.求證:E、F、 、C四點共面.,證明 如圖，連接 ,EF, . E是AB的中點,F是 的中點, EF . ,EF . 故E、F、 、C四點共面.,題型四 證明三線共點,【例5】(12分)已知四面體A-BCD中,E、F分別是AB、AD的中點,G、H 分別是BC、CD上的點,且 .求證:直線EG、

35、FH、AC相交于 同一點P.,分析 先證E、F、G、H四點共面，再證EG、FH交于一點，然后證明這一點在AC上.,證明E、F分別是AB、AD的中點, EFBD且EF= BD.2 又 ,GHBD且GH= BD, EFGH且EFGH,4 四邊形EFHG是梯形,其兩腰所在直線必相交,設(shè)兩腰EG、FH的延長線相交于一點P,.6 EG平面ABC,FH平面ACD, P平面ABC,P平面ACD.8 又平面ABC平面ACD=AC,PAC,10 故直線EG、FH、AC相交于同一點P12,學(xué)后反思 證明三線共點的方法:首先證明其中的兩條直線交于一點，然后證明第三條直線是經(jīng)過這兩條直線的兩個平面的交線；由公理3可知

36、，兩個平面的公共點必在這兩個平面的交線上，即三條直線交于一點.,舉一反三 4. （2010曲靖模擬）已知：如圖所示的空間四邊形ABCD，E、F分別是 AB、AD的中點，G、H分別是BC、CD上的點，且CG= CB，CH= CD. 求證：（1）E、F、G、H四點共面； （2）三直線FH、EG、AC共點.,解析：（1）如圖，連接EF、GH. 故EF與GH共面，即E、F、G、H四點共面.,（2）EFGH，但EFGH,故EFHG是梯形. 如圖，設(shè)FH與EG交于O點， 則OFH平面DAC,OEG平面BAC, O(平面DAC平面BAC)=AC, 即直線AC過O點， 故三直線FH、EG、AC共點.,易錯警示

37、,【例】過已知直線a外一點P,與直線a上的四個點A、B、C、D分別畫四條直線. 求證:這四條直線在同一平面內(nèi).,錯解 P、A、B三點不共線, P、A、B共面,即PA、PB、AB共面, 同理,PB、PC、BC共面;PC、PD、CD共面. A、B、C、D均在直線a上, PA、PB、PC、PD四條直線在同一平面內(nèi).,錯解分析 錯解在證明了四條直線分別在三個平面(平面PAB、平面PBC、平面PCD)內(nèi)后,通過A、B、C、D均在a上,而認(rèn)為三個平面重合在同一個平面內(nèi),這種方法是錯誤的.錯誤在于沒有根據(jù)地用一條直線來保證三個平面重合.,正解 過直線a及點P作一平面, A、B、C、D均在a上,A、B、C、D

38、均在內(nèi). 直線PA、PB、PC、PD上各有兩點在內(nèi), 由公理1可知,直線PA、PB、PC、PD均在平面內(nèi),即四直線共面.,10. G、H、M、N分別是正三棱柱的頂點或所在棱的中點，則表示直線GH、MN是異面直線的圖形有.（填上所有正確答案的序號）,解析: 對于（1），連接GM，顯然四邊形GMNH是平行四邊形；對于（3），連接GM，易知GMHN，故（1）、（3）中GH與MN共面；（2）、（4）中GH與MN是異面的.,答案:（2）（4）,考點演練,11. 設(shè)ABCD的各邊和對角線所在的直線與平面依次相交于 ,求證: 六點在同一條直線上.,解析：如圖，設(shè)ABCD所在的平面為, A,B,AB. 又 A

39、B, . 又 , 在平面與平面的交線上, 設(shè)交線為l,則 l. 同理可證, 都在直線l上, 六點在同一條直線上.,證明 如圖，ab,a、b可以確定一個平面. 又 a=A, b=B,Aa,Bb,A,B,AB; 又A ,B , . 另一方面,bc,b、c可以確定一個平面. 同理可證, . 平面、均經(jīng)過直線b、,且b和 是兩條相交直線,它們確定的平面是唯一的, 平面與是同一個平面,a、b、c、共面.,12. 已知直線abc,直線 a=A, b=B, c=C. 求證:a、b、c、 共面.,第四節(jié) 直線、平面平行的判定及其性質(zhì),1. 平行直線 (1)定義:同一平面內(nèi)不相交的兩條直線叫做平行線. (2)公

40、理4:平行于同一條直線的兩條直線互相平行. (3)線面平行的性質(zhì)定理:如果一條直線和一個平面平行,經(jīng)過這條直線的平面和這個平面相交,那么這條直線就和兩平面的交線平行. (4)面面平行的性質(zhì)定理:如果兩個平行平面同時與第三個平面相交,那么它們的交線平行. (5)線面垂直的性質(zhì)定理:如果兩條直線垂直于同一平面,那么這兩條直線平行. 2. 直線與平面平行 (1)定義:直線a和平面沒有公共點,叫做直線與平面平行. (2)線面平行的判定定理:如果不在一個平面內(nèi)的一條直線和平面內(nèi)的一條直線平行,那么這條直線和這個平面平行.,基礎(chǔ)梳理,(3)面面平行的性質(zhì):如果兩平面互相平行,那么一個平面內(nèi)的任意一條直線平

41、行于另一個平面. 3. 平面與平面平行 (1)定義:如果兩個平面沒有公共點,那么這兩個平面叫做平行平面. (2)面面平行的判定定理:如果一個平面內(nèi)有兩條相交直線平行于另一個平面,那么這兩個平面平行. (3)判定定理的推論:如果一個平面內(nèi)的兩條相交直線分別平行于另一個平面內(nèi)的兩條直線,則這兩個平面平行. (4)線面垂直的性質(zhì):如果兩平面垂直于同一直線,則這兩個平面平行. (5)平行公理:如果兩平面平行于同一平面,則這兩個平面平行.,典例分析,題型一 線線平行,【例1】已知四邊形ABCD是空間四邊形,E、F、G、H分別是邊AB、BC、CD、DA的中點.求證:四邊形EFGH是平行四邊形.,分析 若證

42、四邊形是平行四邊形,只需證一組對邊平行且相等或兩組對邊分別平行即可.,證明 如圖,連接BD. EH是ABD的中位線, EHBD,EH= BD. 又FG是CBD的中位線, FGBD,FG= BD. FGEH,且FG=EH, 四邊形EFGH是平行四邊形.,學(xué)后反思 若證明四邊形EFGH是平行四邊形,可有兩條途徑：一是證明兩組對邊分別平行,二是證明一組對邊平行且相等.,舉一反三,1. 已知E、 分別是正方體ABCD- 的棱AD、 的中點.求證:BEC= .,證明 如圖,連接 . ,E分別為 ,AD的中點, 四邊形 為平行四邊形， 四邊形 是平行四邊形， EB.同理 EC. 又 與CEB方向相同， =

43、CEB.,題型二 線面平行,【例2】如圖,正方體ABCD- 中,側(cè)面對角線 上分別有兩點E,F,且 .求證:EF平面ABCD.,分析 要證EF平面ABCD,方法有兩種:一是利用線面平行的判定定理,即在平面ABCD內(nèi)確定EF的平行線;二是利用面面平行的性質(zhì)定理,即過EF作與平面ABCD平行的平面.,證明 方法一:過E作EMAB于M,過F作FNBC于N,連接MN(如圖)，則EM ,FN , EMFN. AE=BF,EM=FN, 四邊形EMNF是平行四邊形,EFMN. 又EF平面ABCD,MN平面ABCD, EF平面ABCD.,方法二:連接 ,并延長交BC的延長線于點P,連接AP(如圖). PFB,

44、又EF平面ABCD,AP平面ABCD, EF平面ABCD.,方法三:過點E作EH 于點H,連接FH(如圖)，則EHAB, EHFH=H,平面EFH平面ABCD. EF平面EFH,EF平面ABCD.,學(xué)后反思 判斷或證明線面平行的常用方法有: (1)利用線面平行的定義(無公共點); (2)利用線面平行的判定定理(a,b,aba); (3)利用面面平行的性質(zhì)定理(,aa); (4)利用面面平行的性質(zhì)(,a,a,aa).,舉一反三,2. （2010無錫調(diào)研）如圖所示，在正三棱柱 中，點D是BC的中點.求證： .,解析：如圖，連接 ， 設(shè) 與 交于E，連接DE. 點D是BC的中點， 點E是 的中點，

45、DE . 平面 ， DE 平面 , 平面 .,題型三 面面平行,【例3】如圖,正方體ABCD- 的棱長為1.求證:平面 平面,分析 要證明平面 平面 ,根據(jù)面 面平行的判定定理或推論，只要證明AC平 面 ， 平面 ,且AC =A即可.,證明 方法一: 四邊形 為平行四邊形,方法二:易知 和確定一個 平面 ,于是,學(xué)后反思 證明平面與平面相互平行,一般利用面面平行的判定定理或其推論,將面面平行轉(zhuǎn)化為線面平行或線線平行來證明.具體方法有: (1)面面平行的定義; (2)面面平行的判定定理：如果一個平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個平面,那么這兩個平面平行; (3)利用垂直于同一條直線的兩個平面平行

46、; (4)兩個平面同時平行于第三個平面,那么這兩個平面平行; (5)利用“線線平行”、“線面平行”、“面面平行”的相互轉(zhuǎn)化.,3. 如圖，設(shè)AB、CD為夾在兩個平行平面、之間的線段且直線AB、CD為異面直線，M、P分別為AB、CD的中點. 求證：MP.,解析：過A作AECD交于E，連接ED. ,ACED. 取AE的中點N，連接NP、MN， 則NPED,MNBE. MNNP=N,且BE、ED， 平面MNP.又MP平面MNP, MP.,題型四 平行問題的探究 【例4】長方體 ，點PBB（不與B、B重合），PABA=M,PCBC=N,求證：MN平面AC.,分析 要證明MN平面AC,只要證明MN平行于

47、平面AC內(nèi)的一條直線即可，而這條直線應(yīng)與MN共面，由于AC與MN共面，只要證明ACMN即可.,證明 如圖，連接 ,AC, 為長方體， AC . AC 平面 B, 平面 B, AC平面 B. 又平面PAC過AC且與平面B 交于MN， MNAC. MN平面AC，AC平面AC， MN平面AC.,學(xué)后反思 定理、定義是做題的依據(jù)，具備了條件，便可得到結(jié)論；條件不足，要通過題設(shè)和圖形的結(jié)構(gòu)特征、性質(zhì)去尋求，增添輔助線是解決問題的關(guān)鍵.,舉一反三,4. （2010泰安模擬） 如圖所示，已知正三棱柱 的每條棱長均為a，M為棱 上的動點. 當(dāng)M在何處時， ，并給予證明.,解析：方法一：當(dāng)M是 中點時， .,證

48、明:M為 的中點，延長AM、 ， 設(shè)AM與 延長線交于點N， 則 . 連接 并延長與CB延長線交于點G，如圖,則BG=CB， 在CGN中， 為中位線， GN. 又GN平面 , ,方法二：當(dāng)M為A1C1中點時，BC1平面MAB1.證明： 如圖，連接A1B交AB1于點N，連接MN. 四邊形ABB1A1為矩形，A1N=NB. 又A1M=MC1， 在A1BC1中，MN為中線，MNBC, MN 平面MAB1，BC1 平面MAB1， BC1平面MAB1.,題型五 平行關(guān)系的綜合應(yīng)用,【例5】(12分)求證:若一條直線分別和兩個相交平面平行,則這條直線必與它們的交線平行.,分析 此題可先過直線作平面分別與已

49、知兩平面相交,由線面平行的性質(zhì)定理及公理4,可證得兩交線平行,從而進(jìn)一步證得一條交線與另一平面平行,進(jìn)而可證得結(jié)論.,證明 , ,=a.過 作平面交于b,過 作平面交于c,.3 , ,=b, b.(線面平行的性質(zhì)定理) 同理 c.5 bc.6 又c,b,b.(線面平行的判定定理).8 又b,=a, ba.(線面平行的性質(zhì)定理) 10 a.(公理4).12,舉一反三,學(xué)后反思 把文字語言轉(zhuǎn)化成符號語言和圖形語言，過 作平面和與、得到兩條交線，利用線面平行的性質(zhì)定理及公理4可證得交線平行，從而進(jìn)一步證明一條交線與另一個平面平行，進(jìn)而可證得結(jié)論.,5. 已知平面,線段BC,DBC,A，直線AB、AD

50、、AC分別交于E、F、G，且BC=a,AD=b,DF=c,求EG的長度.,解析：利用點A與線段BC之間不同的位置關(guān)系，以及點A、線段BC與平面之間不同的位置關(guān)系，進(jìn)行邏輯劃分.分情況討論：AB、AD、AC延長線分別交于E、F、G；AB、AD、AC的反向延長線分別交于E、F、G；A與直線BC位于的兩側(cè).,（1）如圖1，BC，BC平面ABC，平面ABC=EG, BCEG, 即 又,（2）如圖2，同理BCEG, AF=DF-DA=c-b, ,（3）如圖3，同理BCEG, AF=AD-DF=b-c,易錯警示,【例】在正方體 中，E、F分別是棱BC、 的中點，求證：EF平面,錯解 如圖，連接 并延長至G

51、點，使GE= ， 連接在 中，F(xiàn)是 的中點，E是 的中點，所以EF ，而EF平面 平面 故EF平面,錯解 分析上述證明中，“ ”這一結(jié)論沒有根據(jù)，只是主觀認(rèn)為 在平面 內(nèi)，說明在利用線面平行的判定定理時，對兩直線平行比較關(guān)注，而對另外兩個條件（一直線在平面內(nèi)，另一直線在平面外）容易忽視.大多數(shù)情況下，這兩個條件在作圖（添加輔助線）時就可以清楚地表達(dá)出來，一般不需單獨證明，而本題作圖過程看不出“ ”的理論依據(jù).而且題設(shè)條件“E是BC的中點”沒有用到，而沒有這一條件，結(jié)論會成立嗎？比如把E點移至B點，顯然結(jié)論不成立.,正解 如圖，連接 ，并延長交 的延長線于G，連接 因為 ，E是BC的中點， 所以

52、E是 的中點. 在 中，F(xiàn)是 的中點，E是 的中點， 所以EF . 而EF平面 ， 平面 ， 所以EF平面 .,答案: 或24,解析: 如圖1，ACBD=P, 經(jīng)過直線AC與BD可確定平面PCD. ,平面PCD=AB，平面PCD=CD， ABCD, 即 如圖2，同理可證ABCD, 即 綜上所述，BD= 或24.,考點演練,11. 已知：ABC中，ACB=90，D、E分別為AC、AB的中點，沿DE將ADE折起，使A到A的位置，M是 的中點.求證：ME平面,解析：如圖所示，取 的中點G， 連接MG、GD， M、G分別是 、 的中點， 四邊形DEMG是平行四邊形， MEDG. 又ME平面 ,DG平面

53、 , ME平面,12. 如圖所示,已知兩條異面直線AB與CD所成的角等于,且AB=m,CD=n,平面MNPQ與AB、CD都平行,且M、N、P、Q依次在線段AC、BC、BD、AD上. (1)求證:四邊形MNPQ是平行四邊形; (2)當(dāng)M點在何位置時,MNPQ的面積最大?最大面積是多少?,解析：(1)證明:由于AB平面MNPQ, 平面ABC平面MNPQ=MN,則ABMN. 同理,ABPQ.由公理4得,MNPQ.同理,MQNP. 故四邊形MNPQ是平行四邊形.,(2)由于AB與CD所成的角等于,ABMN,CDMQ, 則sin NMQ=sin .設(shè)CMMA=1, 則CMCA=(1+),AMAC=1(1

54、+), 則 于是 其中當(dāng)=1時, 達(dá)到最大值 .故當(dāng)點M位于AC中點時, 的面積最大,最大面積為 .,第五節(jié) 直線、平面垂直的判定及其性質(zhì),基礎(chǔ)梳理,1. 直線與平面垂直 (1)定義:如果直線 與平面內(nèi)的任意一條直線都垂直,我們就說直線 與平面互相垂直.這條直線叫做平面的垂線,這個平面叫做直線的垂面,交點叫做垂足.垂線上任意一點到垂足間的線段,叫做這個點到這個平面的垂線段,垂線段的長度叫做點到平面的距離. (2)性質(zhì):如果一條直線垂直于一個平面,那么它就和平面內(nèi)的任意一條直線垂直. (3)判定定理:如果一條直線與平面內(nèi)的兩條相交直線垂直,則這條直線與這個平面垂直. (4)推論:如果在兩條平行直

55、線中,有一條垂直于一個平面,那么另一條也垂直于這個平面. (5)性質(zhì)定理:如果兩條直線垂直于同一個平面,那么這兩條直線平行.,2. 平面與平面垂直 (1)定義:一般地,兩個平面相交,如果它們所成的二面角是直二面角,就稱這兩個平面互相垂直. (2)判定定理:如果一個平面過另一個平面的一條垂線,則這兩個平面互相垂直. (3)性質(zhì)定理:如果兩個平面互相垂直,那么在一個平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于另一個平面.,典例分析,題型一 線線垂直,【例1】如圖,=CD,EA,垂足為 A,EB,垂足為B,求證:CDAB.,分析 要證CDAB,只需證CD平面ABE即可.,證明 =CD,CD,CD. 又EA,CD

56、,EACD,同理EBCD. EACD,EBCD,EAEB=E,CD平面EAB. AB平面EAB,ABCD.,學(xué)后反思 證明空間中兩直線互相垂直,通常先觀察兩直線是否共面.若兩直線共面,則一般用平面幾何知識即可證出,如勾股定理、等腰三角形的性質(zhì)等.若兩直線異面,則轉(zhuǎn)化為線面垂直進(jìn)行證明.,舉一反三,1. （2010淮安模擬）如圖，在三棱柱BCE-ADF中，四邊形ABCD是正方形，DF平面ABCD，N是AC的中點，G是DF上的一點.求證：GNAC.,解析：如圖，連接DN， 四邊形ABCD是正方形，N是AC的中點 DNAC. DF平面ABCD，AC平面ABCD， DFAC. 又DNDF=D, AC平

57、面DNF. GN平面DNF， GNAC.,題型二 線面垂直,【例2】如圖,P為ABC所在平面外一點,PA平面ABC,ABC=90,AEPB于E,AFPC于F.求證: (1)BC平面PAB; (2)AE平面PBC; (3)PC平面AEF.,分析 要證明線面垂直，只要證明這條直線與這個平面內(nèi)的兩條相交直線垂直即可.,證明 (1)PA平面ABCPABC ABBC BC平面PAB. PAAB=A (2)AE平面PAB,由(1)知AEBC AEPB AE平面PBC. PBBC=B (3)PC平面PBC,由(2)知PCAE PCAF PC平面AEF. AEAF=A,學(xué)后反思 本題的證明過程是很有代表性的,即證明線面垂直,可先證線線垂直,而已知的線線垂直又可以產(chǎn)生有利于題目的線線垂直,在線線垂直和線面垂直的相互轉(zhuǎn)化中,平面在其中起著至關(guān)重要的作用,由于線線垂直是相互的,應(yīng)充分考慮線和線各自所在平面的特征,以順利實現(xiàn)證明所需要的轉(zhuǎn)化.,舉一反三,2. 如圖所示,P是ABC所在平面外一點,且PA平面ABC,若O、Q分別是ABC和PBC的垂心，求證:OQ平面PBC.,證明 如圖，連接AO并延長交BC于E,連接PE. PA平面ABC,BC平面ABC, PABC. 又O是ABC的垂心,BCAE. PAAE=A,BC平面PAE, BCPE,PE必過Q點， OQ平面PAE,OQBC.