1、1,重積分在幾何上的應(yīng)用,重積分在物理上的應(yīng)用,小結(jié) 思考題 作業(yè),第四節(jié) 重積分的應(yīng)用,第九章 重積分,2,一、重積分在幾何上的應(yīng)用,1. 平面區(qū)域的面積,設(shè)有平面區(qū)域D,2. 體積,設(shè)曲面方程為,則D上的曲頂柱體體積為:,則其面積為:,把定積分的元素法推廣到重積分的應(yīng)用中.,占有空間有界域的立體的體積為:,3,(1) 設(shè)曲面S的方程為：,如圖,3. 曲面的面積,設(shè)小區(qū)域,則有,母線平行于z軸的小柱面,在xOy面上的投影區(qū)域為D,4,曲面S的面積元素,曲面S的面積公式,5,(3) 設(shè)曲面的方程為,曲面面積公式,曲面面積公式,(2) 設(shè)曲面的方程為,曲面面積公式,(1) 設(shè)曲面S的方程為,6,

2、解,求球面,含在圓柱體,內(nèi)部的那部分面積.,例,由對稱性知,曲面方程,D1,于是,曲面面積元素為,7,D1,8,例,因曲面方程為,所以,D,解,截下的有限曲面片的面積.,被柱面,求曲面,a,9,例,所截的部分的面積.,作出圖形在第一卦限的,A1:,則,解,部分,被圓柱面,計算圓柱面,(如圖).,10,在第一掛限部分面積為,整個面積,11,解,解方程組,得兩曲面的交線為圓周,平面上的投影域,求由曲面,所圍立體的表面積.,12,求由曲面,所圍立體的表面積.,13,1989年研究生考題,計算,9分,例,解,由于球為中心對稱圖形,解得,問:R取何值,設(shè)半徑為R的球面的球心在定球面,球面,在定球面內(nèi)部的

3、那部分面積最大?,不妨設(shè)球面 的方程為:,因為是求球面 在定球面內(nèi)部,的面積,故由方程,14,面積元素是,又由,令,即得出球面 在定球面內(nèi)部的,那部分在xOy面上的投影區(qū)域,15,所以,所以,球面 在定球面內(nèi)部的面積設(shè)為A,則,16,二、重積分在物理上的應(yīng)用,則該質(zhì)點系的質(zhì)心的坐標(biāo)為,它們分別位于,質(zhì)量分別為,(1) 平面薄片的質(zhì)心,設(shè)xOy平面上有n個質(zhì)點,17,由元素法:,所以,設(shè)有一平面薄片,占有xOy面上的閉區(qū)域D,在點(x, y)處的面密度為,假定,在D上連續(xù),平面薄片的質(zhì)心,薄片中相應(yīng)于,的部分的質(zhì)量近似等于,這部分質(zhì)量可近似看作集中在點,(x, y)上,于是可寫出靜矩元素:,18

4、,注,所以,薄片的質(zhì)心坐標(biāo)為,當(dāng)薄片是均勻的,質(zhì)心稱為,形心.,平面的面積.,19,設(shè)物體占有空間域 ,有連續(xù)密度函數(shù),則其質(zhì)心坐標(biāo)為,常數(shù)時,則得形心坐標(biāo),物體的體積.,(2) 物體的質(zhì)心,當(dāng)物體是均勻的,其中,20,例,求位于兩圓,之間的均勻薄片的質(zhì)心.,解,薄片關(guān)于x軸對稱.,則,質(zhì)心,21,一個煉鋼爐為旋轉(zhuǎn)體形,剖面,壁線的方程為,若爐內(nèi)儲有高為h的均質(zhì)鋼液,不計,由對稱性知質(zhì)心在 z 軸上，,爐壁方程為,故,爐體的自重,求它的質(zhì)心.,例,解,22,質(zhì)心為,23,(1) 平面薄片的轉(zhuǎn)動慣量,設(shè)平面薄片占有平面區(qū)域D,則轉(zhuǎn)動慣量為,有連續(xù)密度函數(shù),24,設(shè)物體占有空間區(qū)域 ,(2) 物體

5、的轉(zhuǎn)動慣量,則轉(zhuǎn)動慣量為,有連續(xù)的密度函數(shù),25,例,解,設(shè)一均勻的直角三角形薄板,兩直角邊長分別,求這三角形對任一直角邊的轉(zhuǎn)動慣量.,為a、b,設(shè)三角形的兩直角邊分別在x軸和y軸上,(如圖),對y軸的轉(zhuǎn)動慣量為,對x軸的轉(zhuǎn)動慣量為,26,用元素法求薄片對z軸上的單位質(zhì)點的引力,引力在三個坐標(biāo)軸上的投影,(1)平面薄片對質(zhì)點的引力,設(shè)有一平面薄片,占有xOy面上的閉區(qū)域D,在點(x, y)處的面密度為,假定,在D上連續(xù),計算該平面薄片對位于z軸上的點,處的單位質(zhì)點的引力.,元素.,薄片中,的大小近似地為,的部分對該質(zhì)點的引力,27,引力的方向,方向余弦,薄片中,上的投影 的元素:,薄片中,的大

6、小近似地為,的部分對該質(zhì)點的引力,的對該質(zhì)點的引力在三個坐標(biāo)軸,28,k為引力常數(shù).,29,(2) 物體對質(zhì)點的引力,設(shè)物體占有空間區(qū)域,物體對于物體外一點,利用元素法,有連續(xù)分布的密度,引力元素在三坐標(biāo)軸上的投影分別,空間一物體對于物體外一點,處的單位質(zhì)量的質(zhì)點的引力.,函數(shù),的單位質(zhì)量的質(zhì)點的引力,為,30,在上分別積分,得,31,設(shè)有面密度為常量,半徑為R的均勻圓的薄片,求它對位于點,由對稱性知,處的單位質(zhì)量質(zhì)點的引力.,例,解,引力為,32,求密度 為常數(shù)的半圓環(huán):,對原點一單位質(zhì)點的引力.,答案:,練習(xí),引力為,33,幾何應(yīng)用,平面薄片、空間物體的質(zhì)心,平面薄片、空間物體對質(zhì)點的引力,平面的面積,物理應(yīng)用,三、小結(jié),曲面的面積,體積,平面薄片、空間物體的轉(zhuǎn)動慣量,34,( t為時間)的雪堆在融化,設(shè)長度單位為厘米,時間單位為小時,設(shè)有一高度為,已知體積,(比例系數(shù)0.9),問,高度為130(厘米)的雪堆全部融化需要多少小時?,思考題,過程中,其側(cè)面滿足方程,減少的速率與側(cè)面積成正比,2001研究生考題,記雪堆體積為V, 側(cè)面積為 S ,則,解,35,36,令,得,(小時),因此高度為130厘米的雪