1、第三章 平面裂紋級數(shù)解及 K 判據(jù),對無限大板雙軸等值均勻拉伸I型貫穿裂紋尖端附近的應力場，其裂尖解的形式為：,而只有 才與外載有關，它反映了裂尖應力場整體的大小，反映了裂尖應力場的特征。,問題： 1.上述形式的裂尖解是否具有普遍意義？即是否各種平面裂紋尖端的應力場都具有上述形式呢？ 2.對于 的真實裂紋，其裂尖應力場是否具有上述特征呢？ 要把 K 作為裂紋行為的一個判據(jù)，必須回答這兩個問題,3-1 I型裂紋問題的Willianms級數(shù)解及其意義,。,對第1個問題的解答稱為Willianms解。 考慮如下應力函數(shù),Williams的貢獻是：他選的 是無窮級數(shù)：,其中 是實數(shù)， 不一定是整數(shù)，要

2、由邊界條件確定。,此級數(shù)在直角坐標系中求解沒什么好處，但易于在極坐標中求解，故給出其極座標形式。將 代入 式，得,利用近邊界條件，就可以確定 n 取什么值（固有值問題）。 在裂紋的上下界面，有4個邊界條件：,而,將上式代入邊界條件,邊界條件成為：,這四個方程可展開如下：,這是一個關于 的線性齊次方程組，因為 不能全為零。故要使方程有非零解，必須其系數(shù)行列式為零。 從而有：,即,由 解得 取負值和零在三角學上是有意義的，但在力學上卻無意義，所以取,級數(shù)中的系數(shù) 之間是有連系的，而且對不同組的 n 值，關系不同：,當n =1, 2, 3, 時，,當 時，,這樣，可以把應力函數(shù) 分為奇、偶兩部分：U

3、even和Uodd。 即 其中， 適用于對x軸對稱的問題（I型裂紋）。 適用于對x軸反對稱的問題（II型裂紋）。,對I型裂紋，討論 ，這時 當 時， ； 當 時， 代入 表達式并化簡，得,將 代入應力分量表達式求出 ，再用應力變換公式求出 ，最后得到,討論 1. 上面給出了I型問題的全解，這是一個級數(shù)解，此解滿足裂紋邊界條件，但遠邊界條件沒有滿足。這是一個全解，它的一般形式為：,其中， 是與 和 無關的量。,2. 我們感興趣的是裂尖解（Crack tip solution）。當 時， 的諸項 ，j = 2的項是常數(shù)，它們與急劇增大的首項（奇異項）相比，在全解中所占比例越來越小。因此對裂尖解，

4、的諸項都可忽略，只保留j = 1的項，從而原式成為：,而,因此Williams裂尖解與Westergaard裂尖解完全相同，只是 不同 。,3. 綜上所述，I型裂紋裂尖解總可以寫成 的形式，其中 就是上述應力分量角度部分那三種固定的形式。因此，任何受力和幾何條件下的平面裂紋尖端應力場的應力分布是相同的，只是應力場的強度不同而已 （但整體解中非奇異項不同）。這個奇異解在整體解中的位置有二個意義：它是整體解的首項；只有它具有奇異性。,Westergaard裂尖解只成立于 處。這是一個很重要的結論，它將Westergaard解推廣到任何受力和任何幾何形狀的平面裂紋，使人們的認識大大前進了一步。這一結

5、論對斷裂力學的發(fā)展起了重要的作用。 利用至于用Williams級數(shù)求 ，只不過是一種應用而已。,由 可見，只要找出第一項系數(shù) ，就可以得到 。 我們有興趣的是 ，但無法直接地找到。為了求 出 ， Gross等人提出了邊界配位法，就是將無窮級數(shù)Ueven截斷為有限項，例如2m項，然后由邊界上的m個點處的2m個條件（一個點提兩個條件）去確定其中的2m個待定常數(shù)，這樣問題就歸結為求解2m元的線性代數(shù)方程組。其中的 就可確定 。,原則上講，m數(shù)目越大，計算結果越精確。但實際計算表明，m數(shù)過大，結果反而不好。這是因為m過大，方程組系數(shù)矩陣A中相鄰兩行各元的值很接近，但 的值很小使結果很不穩(wěn)定，甚至經常溢

6、出。一般三點彎曲試樣，取30-40個配位點效果較好。,邊界配位法主要用于直邊界計算。,Williams解只能解二維問題。,3-2 鈍化裂紋尖端的應力場,斷裂力學研究數(shù)學尖裂紋（ ），對此問題有很多指責，因為工程中的實際裂紋端部都有一點圓角，是鈍裂紋。1966年Creager在Praris指導下作的碩士論文，研究了 的情況，其裂紋尖端為一個扁長橢圓形的缺口， 是扁長橢圓在長軸上的曲率半徑，坐標原點在曲率中心和裂紋與x軸交點連線的中點。,求得的無限大板中長為2a的貫穿裂紋，受均勻拉伸應力的端部解為：,適用范圍：,因為 ，所以這個缺口端部解沒有奇異性。注意其適用范圍是很狹窄的地區(qū)。,討論 1. 當

7、時，坐標原點逼近裂尖，此解就變成為尖裂紋的裂尖解，說明了此解的正確性。,2. 從Creager解中可見，應力分量每一項都有 。因此，無論是尖裂紋和有限 值的鈍裂紋，決定應力場強度的仍是因子 。這一點很重要，它證明了引入 因子的必要性。,3. 當r增大時，可看到上式表示的缺口端部解也很快趨于0。因此，它的影響也只在裂紋端部很小區(qū)域。,4. 缺口端部解的 與尖裂紋解的 是 相同的。,這就是對第2個問題的解答。,3-3 K 判據(jù),任何受力和幾何條件下的平面裂紋尖端應力場的應力分布是相同的，都可以寫成如下形式,其中： 是與 有關的函數(shù)。而 反映裂尖附近應力場中各點的應力相對變化的情況，即裂尖附近應力場

8、分布情況。,是一個與外載有關的數(shù)，反映裂紋尖端附近 r 很小處奇異的應力場的整體強度情況，即是裂尖附近應力場強弱程度的系數(shù)（因子）。它反映的是“體積”的力學狀態(tài)，而不是“一點”的力學狀態(tài)，更符合破壞的真實情況。,隨外載的增加而增加，當 達到材料的臨界值 時，裂紋發(fā)生失穩(wěn)快速擴展，這就是斷裂的 判據(jù)。,破壞判據(jù) 材料力學 斷裂力學,：應力強度因子( Stress Intensity Factor SIF ) ，是根據(jù)裂紋的幾何形狀和受載算出來的一個量。 ：斷裂韌度 ( Fracture Toughness )，是材料的一個特性參數(shù)，由實驗測定。,由于裂紋擴展總是從裂尖開始，所以斷裂力學問題可以只

9、考慮裂尖解，這就是可以采用K判據(jù)的根據(jù)。 線彈性斷裂力學的中心議題就是求帶裂紋的線彈性體其裂紋尖端附近的應力場（即進行裂尖附近的應力分析）。 求裂紋尖端附近應力場的主要任務，就是確定 。,目前已基本上解決了 K 的確定問題，并編成手冊備查，當然還要尋找新問題的值。,無限大板中長為2a的貫穿裂紋，在遠處均勻雙向拉應力 的作用下： 這是一個最基本的結果。對其它型受力情況：,其中： 是當?shù)貞Γㄍ唤Y構物當無裂紋存在時在裂紋所在位置的應力。當此區(qū)域應力分布不均勻時，應選其中最大的，這樣偏于安全）。,：當?shù)貞?其中,力學工作者的任務進一步縮小到找出系數(shù) 。由于研究對象是裂紋體，數(shù)學處理上有很大困難。

10、,在工程上應用斷裂力學，不象理論上那么困難。也就是說，并不要求非常精確的 值。這是因為工程上要求： ：安全系數(shù) 這里每一項都有很大誤差，特別是經探傷得出的裂紋長度a，誤差很大。當?shù)貞θ≈狄财诎踩Ｓ捎诹鸭y體材料不均勻 也有誤差，再加上安全系數(shù)，可見式中最精確的還是 。但 Y 是抽象后算出的，忽略了許多因素，從而也包含了與實際對象間的誤差。因此對Y 要求過分精確，在工程上的意義不大。,當 時，為什么外荷載在裂尖引起的應力趨于無限大（即應力奇異），而裂紋并不擴展呢？這是因為裂紋尖端上下兩表面受到分子內聚力作用，施加應力（外應力）和分子內聚力在裂紋面上聯(lián)合作用使裂紋不擴展。由于裂尖處的實際應力總是有限值（沒有任何應力奇