1、第3章 區(qū)間估計(jì),置信區(qū)間 正態(tài)總體參數(shù)的置信區(qū)間 大樣本置信區(qū)間,統(tǒng)計(jì)推斷的過程,0 引言,前面，我們討論了參數(shù)點(diǎn)估計(jì). 它是用樣本算得的一個(gè)值去估計(jì)未知參數(shù). 但是，點(diǎn)估計(jì)值僅僅 是未知參數(shù)的一個(gè)近似值，它無法給出這個(gè)近似值的精度（也可用均方誤差來刻畫），使用起來把握不大（間接）. 區(qū)間估計(jì)正好彌補(bǔ)了點(diǎn)估計(jì)的這個(gè)缺陷（可直接給出誤差限） .,譬如，在估計(jì)湖中魚數(shù)的問題中，若我們根據(jù)一個(gè)實(shí)際樣本，得到魚數(shù) N 的極大似然估計(jì)為1000條.,若我們能給出一個(gè)區(qū)間，在此區(qū)間內(nèi)我們合理地相信 N 的真值位于其中. 這樣對(duì)魚數(shù)的估計(jì)就有把握多了.,實(shí)際上，N的真值可能大于1000條，也可能小于100

2、0條.,也就是說，我們希望確定一個(gè)區(qū)間，使我們能以比較高的可靠程度相信它包含真參數(shù)值.,湖中魚數(shù)的真值, ,這里所說的“可靠程度”是用概率來度量的 ， 稱為置信度或置信水平.,習(xí)慣上把置信水平記作,，這里 是一個(gè),很小的正數(shù)，其大小是根據(jù)實(shí)際需要選定的.,1、區(qū)間估計(jì),2、回顧分位數(shù),3、 置信區(qū)間,注1：,這里有兩個(gè)要求:,注2：,對(duì)參數(shù) 作區(qū)間估計(jì)，就是要設(shè)法找出兩個(gè) 只依賴于樣本的界限(構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量).,可靠度與精度是一對(duì)矛盾，一般是 在保證可靠度的條件下盡可能提高 精度.,4、同等置信區(qū)間, N(0, 1),選 的點(diǎn)估計(jì)為 ,明確問題,是求什么 參數(shù)的置信區(qū)間? 置信水平是多少？,解,尋

3、找一個(gè)待估參數(shù)和 統(tǒng)計(jì)量的函數(shù) ，要求 其分布為已知.,有了分布，就可以求出 U取值于任意區(qū)間的概率.,5、置信區(qū)間的求法,從中解得,對(duì)給定的置信水平,查正態(tài)分布表得,使,也可簡記為,于是所求 的 置信區(qū)間為,從例1解題的過程，我們歸納出求置信區(qū)間的一般步驟如下:,1）明確問題, 是求什么參數(shù)的置信區(qū)間?,2） 尋找參數(shù) 的一個(gè)良好的點(diǎn)估計(jì) T(X1,X2,Xn),3）尋找一個(gè)待估參數(shù) 和估計(jì)量 T 的函數(shù) U(T, ),且其分布為已知.,需要指出的是，給定樣本，給定置信水平 ，置信區(qū)間也不是唯一的.,對(duì)同一個(gè)參數(shù)，我們可以構(gòu)造許多置信區(qū)間.,由標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表，對(duì)任意a、b，我們可以求得 P(

4、 aUb) .,N(0, 1),由 P(-1.75U2.33)=0.95,這個(gè)區(qū)間比前面一個(gè)要長一些.,我們總是希望置信區(qū)間盡可能短.,類似地，我們可得到若干個(gè)不同的置信區(qū)間.,任意兩個(gè)數(shù)a和b，只要它們的縱標(biāo)包含f(u) 下95%的面積，就確定一個(gè)95%的置信區(qū)間.,在概率密度為單峰且對(duì)稱的情形，當(dāng)a =-b時(shí)求得的置信區(qū)間的長度為最短.,a =-b,即使在概率密度不對(duì)稱的情形，如 分布， F分布，習(xí)慣上仍取對(duì)稱的分位點(diǎn)來計(jì)算未知參數(shù)的置信區(qū)間.,我們可以得到未知參數(shù)的的任何置信水平小于 1 的置信區(qū)間，并且置信水平越高，相應(yīng)的置信區(qū)間平均長度越長.,上述置信區(qū)間中置信限都是雙側(cè)的，但對(duì)于有

5、些實(shí)際問題，人們關(guān)心的只是參數(shù)在一個(gè)方向的界限.,例如對(duì)于設(shè)備、元件的使用壽命來說，平均壽命過長沒什么問題，過短就有問題了.,這時(shí), 可將置信上限取為+ ，而只著眼于置信下限 ，這樣求得的置信區(qū)間叫單側(cè)置信區(qū)間.,6、置信限（單側(cè)置信區(qū)間）,設(shè)燈泡壽命服從正態(tài)分布. 求燈泡壽命均值 的置信水平為0.95的單側(cè)置信下限.,例2 從一批燈泡中隨機(jī)抽取5只作壽命試驗(yàn)，測得壽命X（單位：小時(shí)）如下：,1050，1100，1120，1250，1280,方差 未知,解 的點(diǎn)估計(jì)取為樣本均值 ,對(duì)給定的置信水平 ，確定分位點(diǎn),使,即,將樣本值代入得,的置信水平為0.95的單側(cè)置信下限是,1065小時(shí),的置信水平為 的單側(cè)置信下限為,即,課堂練習(xí),隨機(jī)地取炮彈 10 發(fā)做試驗(yàn)，得炮口速度的標(biāo)準(zhǔn)差 , 炮口速度服從正態(tài)分布. 求這種炮彈的炮口速度的標(biāo)準(zhǔn)差 的置信水平為0.95 的置信區(qū)間.,由,解,隨機(jī)地取炮彈 10 發(fā)做試驗(yàn)，得炮口速度的標(biāo)準(zhǔn)差 , 炮口速度服從正態(tài)分布. 求這種炮彈的炮口速度的標(biāo)準(zhǔn)差 的置信水平為0.95 的置信區(qū)間.,于是得到 的置信水平為 的置信區(qū)間為,這里,可得到