1、9.3圓的方程,基礎知識自主學習,課時作業(yè),題型分類深度剖析,內容索引,基礎知識自主學習,圓的定義與方程,知識梳理,定點,定長,(a，b),r,d2e24f0,1.確定圓的方程的方法和步驟 確定圓的方程主要方法是待定系數(shù)法，大致步驟為 (1)根據(jù)題意，選擇標準方程或一般方程； (2)根據(jù)條件列出關于a，b，r或d，e，f的方程組； (3)解出a，b，r或d，e，f代入標準方程或一般方程.,2.點與圓的位置關系 點和圓的位置關系有三種. 圓的標準方程(xa)2(yb)2r2，點m(x0，y0) (1)點在圓上： ； (2)點在圓外： ； (3)點在圓內： .,(x0a)2(y0b)2r2,(x0

2、a)2(y0b)2r2,(x0a)2(y0b)2r2,判斷下列結論是否正確(請在括號中打“”或“”) (1)確定圓的幾何要素是圓心與半徑.() (2)已知點a(x1，y1)，b(x2，y2)，則以ab為直徑的圓的方程是(xx1)(xx2)(yy1)(yy2)0.() (3)方程ax2bxycy2dxeyf0表示圓的充要條件是ac0，b0，d2e24af0.() (4)方程x22axy20一定表示圓.() (5)若點m(x0，y0)在圓x2y2dxeyf0外，則 dx0ey0f0. (),考點自測,1.(教材改編)圓心是(2,3)，且經過原點的圓的標準方程為_.,(x2)2(y3)213,易得r

3、 .,答案,解析,2.方程x2y2mx2y30表示圓，則m的范圍是_ _.,將x2y2mx2y30化為圓的標準方程得(x )2(y1)2 13. 由其表示圓可得 20，解得m,答案,解析,3.(2016揚州檢測)當a為任意實數(shù)時，直線(a1)xya10恒過定點c，則以點c為圓心， 為半徑的圓的方程為_.,答案,解析,x2y22x4y0,將方程分離參數(shù)a可得a(x1)(xy1)0，,方程表示過兩直線的交點，由 得交點為(1，2)，,故圓的方程為(x1)2(y2)25，即x2y22x4y0.,4.(教材改編)圓c的圓心在x軸上，并且過點a(1,1)和b(1,3)，則圓c的方程為_.,答案,解析,x

4、2y24x60,設圓心坐標為c(a,0)，,點a(1,1)和b(1,3)在圓c上，,cacb，,解得a2，圓心為c(2,0)，,半徑ca ，,圓c的方程為(x2)2y210，即x2y24x60.,5.(2016浙江)已知ar，方程a2x2(a2)y24x8y5a0表示圓，則圓心坐標是_，半徑是_.,答案,解析,(2，4),由已知方程表示圓，則a2a2，解得a2或a1. 當a2時，方程不滿足表示圓的條件，故舍去. 當a1時，原方程為x2y24x8y50， 化為標準方程為(x2)2(y4)225， 表示以(2，4)為圓心，半徑為5的圓.,5,題型分類深度剖析,題型一求圓的方程 例1(1)(2016

5、天津)已知圓c的圓心在x軸的正半軸上，點m(0， )在圓c上，且圓心到直線2xy0的距離為 ，則圓c的方程為_.,答案,解析,x2y24x50,因為圓c的圓心在x軸的正半軸上，設c(a,0)，且a0，,所以圓心到直線2xy0的距離,解得a2，所以圓c的半徑rcm 3，,所以圓c的方程為(x2)2y29，即x2y24x50.,(2)(2015課標全國)一個圓經過橢圓 1的三個頂點，且圓心在 x軸的正半軸上，則該圓的標準方程為_.,答案,解析,由題意知圓過(4,0)，(0,2)，(0，2)三點， (4,0)，(0，2)兩點的垂直平分線方程為y12(x2)，,令y0，解得x ，圓心為 ，半徑為 .,

6、所以圓的標準方程為(x )2y2 .,(1)直接法：根據(jù)圓的幾何性質，直接求出圓心坐標和半徑，進而寫出方程. (2)待定系數(shù)法 若已知條件與圓心(a，b)和半徑r有關，則設圓的標準方程，依據(jù)已知條件列出關于a，b，r的方程組，從而求出a，b，r的值； 若已知條件沒有明確給出圓心或半徑，則選擇圓的一般方程，依據(jù)已知條件列出關于d，e，f的方程組，進而求出d，e，f的值.,思維升華,跟蹤訓練1(2016蘇州一模)圓心在直線2xy70上的圓c與y軸交于a(0，4)，b(0，2)兩點，則圓c的標準方程為_.,答案,解析,設圓的標準方程為(xa)2(yb)2r2，,(x2)2(y3)25,故圓c的標準方

7、程為(x2)2(y3)25.,題型二與圓有關的最值問題 例2(2016鹽城檢測)已知點(x，y)在圓(x2)2(y3)21上，求xy的最大值和最小值.,解答,設txy，則yxt，t可視為直線yxt的縱截距， xy的最大值和最小值就是直線與圓有公共點時直線縱截距的最大值和最小值，即直線與圓相切時的縱截距. 由直線與圓相切得圓心到直線的距離等于半徑，,即 1，,解得t 1或t 1.,xy的最大值為 1，最小值為 1.,幾何畫板展示,引申探究 1.在例2的條件下，求 的最大值和最小值.,解答,可視為點(x，y)與原點連線的斜率， 的最大值和最小值就是與該圓有公共點的過原點的直線斜率的最大值和最小值，

8、即直線與圓相切時的斜率. 設過原點的直線的方程為ykx，由直線與圓相切得圓心到直線的距離等于半徑，,即 1，解得k2 或k2 ., 的最大值為2 ，最小值為2 .,幾何畫板展示,2.在例2的條件下，求 的最大值和最小值.,解答,求它的最值可視為求點(x，y)到定點(1, 2)的距離的最值，可轉化為圓心(2，3)到定點(1,2)的距離與半徑的和或差.,又圓心到定點(1,2)的距離為 ，, 的最大值為 1，最小值為 1.,與圓有關的最值問題的常見類型及解題策略 (1)與圓有關的長度或距離的最值問題的解法.一般根據(jù)長度或距離的幾何意義，利用圓的幾何性質數(shù)形結合求解. (2)與圓上點(x，y)有關代數(shù)

9、式的最值的常見類型及解法.形如u 型的最值問題，可轉化為過點(a，b)和點(x，y)的直線的斜率的最值問題；形如taxby型的最值問題，可轉化為動直線的截距的最值問題；形如(xa)2(yb)2型的最值問題，可轉化為動點到定點(a，b)的距離平方的最值問題.,思維升華,跟蹤訓練2(2016揚州模擬)已知實數(shù)x，y滿足方程x2y24x10.求： (1) 的最大值和最小值；,解答,如圖，方程x2y24x10表示以點(2,0)為圓心，以 為半徑的圓.,設 k，即ykx，,則圓心(2,0)到直線ykx的距離為半徑， 即直線與圓相切時，斜率取得最大值、最小值.,由 ，解得k23，,kmax ，kmin .

10、,(2)yx的最小值；,解答,設yxb，則yxb， 當且僅當直線yxb與圓切于第四象限時，截距b取最小值，,由點到直線的距離公式，得,即b2 ， 故(yx)min2 .,(3)x2y2的最大值和最小值.,解答,x2y2是圓上的點與原點的距離的平方，故連結oc， 與圓交于b點，并延長交圓于c，則 (x2y2)max(oc)2(2 )27 ， (x2y2)minob2(2 )27 .,題型三與圓有關的軌跡問題 例3(2016鹽城模擬)已知圓x2y24上一定點a(2,0)，b(1,1)為圓內一點，p，q為圓上的動點. (1)求線段ap中點的軌跡方程；,解答,設ap的中點為m(x，y)， 由中點坐標公

11、式可知，p點坐標為(2x2,2y). 因為p點在圓x2y24上， 所以(2x2)2(2y)24， 故線段ap中點的軌跡方程為(x1)2y21.,幾何畫板展示,(2)若pbq90，求線段pq中點的軌跡方程.,解答,設pq的中點為n(x，y)，在rtpbq中， pnbn. 設o為坐標原點，連結on，則onpq， 所以op2on2pn2on2bn2， 所以x2y2(x1)2(y1)24. 故線段pq中點的軌跡方程為x2y2xy10.,幾何畫板展示,求與圓有關的軌跡問題時，根據(jù)題設條件的不同常采用以下方法 (1)直接法，直接根據(jù)題目提供的條件列出方程. (2)定義法，根據(jù)圓、直線等定義列方程. (3)

12、幾何法，利用圓的幾何性質列方程. (4)代入法，找到要求點與已知點的關系，代入已知點滿足的關系式等.,思維升華,跟蹤訓練3(2016天津模擬)設定點m(3,4)，動點n在圓x2y24上運動，以om、on為兩邊作平行四邊形monp，求點p的軌跡.,解答,幾何畫板展示,如圖所示，設p(x，y)，n(x0，y0)，,則線段op的中點坐標為 ，,線段mn的中點坐標為,由于平行四邊形的對角線互相平分，,從而,又n(x3，y4)在圓上， 故(x3)2(y4)24. 因此所求軌跡為圓：(x3)2(y4)24，,但應除去兩點 和 (點p在直線om上的情況).,典例在平面直角坐標系xoy中，曲線yx26x1與坐

13、標軸的交點都在圓c上，求圓c的方程.,利用幾何性質巧設方程求半徑,思想與方法系列19,本題可采用兩種方法解答，即代數(shù)法和幾何法. (1)一般解法(代數(shù)法)：可以求出曲線yx26x1與坐標軸的三個交點，設圓的方程為一般式，代入點的坐標求解析式. (2)巧妙解法(幾何法)：利用圓的性質，知道圓心一定在圓上兩點連線的垂直平分線上，從而設圓的方程為標準式，簡化計算，顯然幾何法比代數(shù)法的計算量小，因此平時訓練多采用幾何法解題.,思想方法指導,規(guī)范解答,解一般解法(代數(shù)法)曲線yx26x1與y軸的交點為(0,1)， 與x軸的交點為(3 ，0)，(3 ，0)， 設圓的方程是x2y2dxeyf0(d2e24f

14、0)，,則有,解得,故圓的方程是x2y26x2y10.,巧妙解法(幾何法)曲線yx26x1與y軸的交點為(0,1)， 與x軸的交點為(3 ，0)，(3 ，0). 故可設c的圓心為(3，t)， 則有32(t1)2( )2t2，解得t1. 則圓c的半徑為 3， 所以圓c的方程為(x3)2(y1)29， 即x2y26x2y10.,課時作業(yè),1.(2016南通模擬)已知點a(1，1)，b(1,1)，則以線段ab為直徑的圓的標準方程是_.,答案,解析,x2y22,ab的中點坐標為(0,0)，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,圓的標準方程為x2y22.,2.已知圓m的圓心m在y

15、軸上，半徑為1，直線l：y2x2被圓m所截得的弦長為 ，且圓心m在直線l的下方，則圓m的標準方程是_.,答案,解析,x2(y1)21,點m到l的距離d,設m(0，a)，所以 ，,又因為a2022，所以a1. 所以圓m的標準方程為x2(y1)21.,所以a1或a3.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,3.(2016徐州質檢)設圓的方程是x2y22ax2y(a1)20，若0a1，則原點與圓的位置關系是_.,答案,解析,將圓的一般方程化成標準方程為(xa)2(y1)22a， 因為0a1， 所以(0a)2(01)22a(a1)20，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,

16、11,12,13,原點在圓外,所以原點在圓外.,4.點p(4，2)與圓x2y24上任一點連線的中點的軌跡方程是_.,答案,解析,(x2)2(y1)21,設圓上任一點坐標為(x0，y0)， 4，,連線中點坐標為(x，y)，,代入 4，得(x2)2(y1)21.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,5.已知圓m的圓心在x軸上，且圓心在直線l1：x2的右側，若圓m截直線l1所得的弦長為 ，且與直線l2：2x 40相切，則圓m的標準方程為_.,答案,解析,(x1)2y24,由已知，可設圓m的圓心坐標為(a,0)，a2，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13

17、,半徑為r，得,解得 滿足條件，,所以圓m的標準方程為(x1)2y24.,6.若圓x2y22x6y5a0關于直線yx2b成軸對稱圖形，則ab的取值范圍是_.,答案,解析,圓的方程可化為(x1)2(y3)2105a， 可知圓心為(1，3)， 且105a0，即a2. 圓關于直線yx2b成軸對稱圖形， 點(1，3)在直線上，則b2. ab2a4.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,(，4),7.(2016常州模擬)已知圓c過點(1,0)，且圓心在x軸的負半軸上，直線l：yx1被該圓所截得的弦長為 ，則過圓心且與直線l平行的直線方程為_.,答案,解析,設圓的方程為(xa)2y

18、2r2(a0)， 因為圓c過點(1,0)，且直線l：yx1被該圓所截得的弦長為 ，,xy30,所以,解得 即圓心坐標為(3,0)，,則所求直線為yx3，即xy30.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,8.過點p(1,1)的直線，將圓形區(qū)域(x，y)|x2y24分為兩部分，使得這兩部分的面積之差最大，則該直線的方程為_.,當圓心與點p的連線和過點p的直線垂直時，符合條件. 圓心o與點p連線的斜率k1， 所求直線方程為y1(x1)，即xy20.,xy20,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,9.圓心在直線x2y0上的圓c與y軸的正半軸相

19、切，圓c截x軸所得弦的長為 ，則圓c的標準方程為_.,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,(x2)2(y1)24,設圓c的圓心為(a，b)(a0，b0)， 由題意得a2b0， 且a2( )2b2， 解得a2，b1. 所求圓的標準方程為(x2)2(y1)24.,10.(2016無錫模擬)已知兩點a(1,0)，b(0,2)，點p是圓(x1)2y21上 任意一點，則pab面積的最大值與最小值分別是_.,答案,解析,如圖，圓心(1,0)到直線ab：2xy20的距離d 故圓上的點p到直線ab的距離的最大值是 最小值是 又ab ，故pab面積的最大值和最小值分別 是,1

20、,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,11.已知圓c經過p(4，2)，q(1,3)兩點，且在y軸上截得的線段的長為 ，半徑小于5. (1)求直線pq與圓c的方程；,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,由題意知直線pq的方程為xy20.,由于線段pq的垂直平分線的方程是y x ，,設圓心c(a，b)，半徑為r，,即yx1，所以ba1.,由圓c在y軸上截得的線段的長為 ，,知r2( )2a2，,可得(a1)2(b3)212a2，,由得a1，b0或a5，b4. 當a1，b0時，r213，滿足題意， 當a5，b4時，r237，不滿足題意. 故圓c的方程為(x1)2y213.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,(2)若直線lpq，且l與圓c交于點a，b，且以線段ab為直徑的圓經過坐標原點，求直線l的方程.,解答,設直線l的方程為yxm(m2)，,a(x1，mx1)，b(x2，mx2).,由題意可知oaob，即 0，,化簡得2x1x2m(x1x2)m20.,x1x2(mx1)(mx2)0，,由 得2x22(m1)xm2120，,x1x2m1，x1x2 ，,m4或m3，經檢驗都滿足題意， 直線l的方程為xy40或xy30.,代入，得m212