1、12.2古典概型,基礎(chǔ)知識自主學(xué)習(xí),課時作業(yè),題型分類深度剖析,內(nèi)容索引,基礎(chǔ)知識自主學(xué)習(xí),1.基本事件的特點 (1)任何兩個基本事件是 的； (2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成 的和. 2.古典概型 具有以下兩個特點的概率模型稱為 ，簡稱古典概型. (1)所有的基本事件只有 個； (2)每個基本事件的發(fā)生都是 的.,知識梳理,互斥,基本事件,古典概率模型,有限,等可能,3.如果1次試驗的等可能基本事件共有n個，那么每一個等可能基本事件發(fā)生的概率都是_.如果某個事件a包含了其中m個等可能基本事件，那么事件a發(fā)生的概率為p(a)_. 4.古典概型的概率公式,p(a)_.,判斷下列結(jié)論是否

2、正確(請在括號中打“”或“”) (1)“在適宜條件下，種下一粒種子觀察它是否發(fā)芽”屬于古典概型，其基本事件是“發(fā)芽與不發(fā)芽”.() (2)擲一枚硬幣兩次，出現(xiàn)“兩個正面”“一正一反”“兩個反面”，這三個結(jié)果是等可能事件.() (3)從市場上出售的標(biāo)準(zhǔn)為5005 g的袋裝食鹽中任取一袋，測其重量，屬于古典概型.(),(4)(教材改編)有3個興趣小組，甲、乙兩位同學(xué)各自參加其中一個小組，每位同學(xué)參加各個小組的可能性相同，則這兩位同學(xué)參加同一個興趣小組的概率為 .() (5)從1,2,3,4,5中任取出兩個不同的數(shù)，其和為5的概率是0.2.() (6)在古典概型中，如果事件a中基本事件構(gòu)成集合a，且

3、集合a中的元素個數(shù)為n，所有的基本事件構(gòu)成集合i，且集合i中元素個數(shù)為m，則事件a的概率為 .(),考點自測,從5本書中取出2本書，基本事件有10個.從3本數(shù)學(xué)書中取出2本書的事件有3個，故所求的概率為 .,1.已知書架上有3本數(shù)學(xué)書，2本物理書，若從中隨機取出2本，則取出的2本書都是數(shù)學(xué)書的概率為_.,答案,解析,從甲、乙等5名學(xué)生中隨機選2人共有10種情況，甲被選中有4種情況，則甲被選中的概率為 .,2.(2016北京改編)從甲、乙等5名學(xué)生中隨機選出2人，則甲被選中的概率為_.,答案,解析,3.(2015課標(biāo)全國改編)如果3個正整數(shù)可作為一個直角三角形三條邊的邊長，則稱這3個數(shù)為一組勾股

4、數(shù)，從1,2,3,4,5中任取3個不同的數(shù)，則這3個數(shù)構(gòu)成一組勾股數(shù)的概率為_.,答案,解析,從1,2,3,4,5中任取3個不同的數(shù)共有如下10種不同的結(jié)果：(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)，其中勾股數(shù)只有(3,4,5)，所以概率為 .,4.從正方形四個頂點及其中心這5個點中，任取2個點，則這2個點的距離不小于該正方形邊長的概率為_.,答案,解析,取兩個點的所有情況為10種，所有距離不小于正方形邊長的情況有6種，概率為 .,5.(教材改編)同時擲兩個骰子，向上點數(shù)不相同

5、的概率為_.,答案,解析,擲兩個骰子一次，向上的點數(shù)共6636(種)可能的結(jié)果， 其中點數(shù)相同的結(jié)果共有6個，,題型分類深度剖析,題型一基本事件與古典概型的判斷,例1(1)有兩顆正四面體的玩具，其四個面上分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4，下面做投擲這兩顆正四面體玩具的試驗：用(x，y)表示結(jié)果，其中x表示第1顆正四面體玩具出現(xiàn)的點數(shù)，y表示第2顆正四面體玩具出現(xiàn)的點數(shù).試寫出： 試驗的基本事件；,解答,這個試驗的基本事件為 (1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)， (2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)， (3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)， (4,1)，(4,2)，(4

6、,3)，(4,4).,事件“出現(xiàn)點數(shù)之和大于3”包含的基本事件；,解答,事件“出現(xiàn)點數(shù)之和大于3”包含的基本事件為 (1,3)，(1,4)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)， (3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4).,事件“出現(xiàn)點數(shù)相等”包含的基本事件.,解答,事件“出現(xiàn)點數(shù)相等”包含的基本事件為 (1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4).,(2)袋中有大小相同的5個白球，3個黑球和3個紅球，每球有一個區(qū)別于其他球的編號，從中摸出一個球. 有多少種不同的摸法？如果把每個球的編號看作一個基本事件建立概率模型，該模型是不是古典概型？,

7、解答,由于共有11個球，且每個球有不同的編號，故共有11種不同的摸法. 又因為所有球大小相同，因此每個球被摸中的可能性相等，故以球的編號為基本事件的概率模型為古典概型.,若按球的顏色為劃分基本事件的依據(jù)，有多少個基本事件？以這些基本事件建立概率模型，該模型是不是古典概型？,解答,由于11個球共有3種顏色，因此共有3個基本事件，分別記為a：“摸到白球”，b：“摸到黑球”，c：“摸到紅球”， 又因為所有球大小相同，所以一次摸球每個球被摸中的可能性均為 ，而白球有5個， 故一次摸球摸到白球的可能性為 ， 同理可知摸到黑球、紅球的可能性均為 ， 顯然這三個基本事件出現(xiàn)的可能性不相等， 所以以顏色為劃分

8、基本事件的依據(jù)的概率模型不是古典概型.,一個試驗是否為古典概型，在于這個試驗是否具有古典概型的兩個特點有限性和等可能性，只有同時具備這兩個特點的概型才是古典概型.,思維升華,跟蹤訓(xùn)練1下列試驗中，古典概型的個數(shù)為_. 向上拋一枚質(zhì)地不均勻的硬幣，觀察正面向上的概率； 向正方形abcd內(nèi)，任意拋擲一點p，點p恰與點c重合； 從1,2,3,4四個數(shù)中，任取兩個數(shù)，求所取兩數(shù)之一是2的概率； 在線段0,5上任取一點，求此點小于2的概率.,答案,解析,1,中，硬幣質(zhì)地不均勻，不是等可能事件， 所以不是古典概型； 的基本事件都不是有限個，不是古典概型； 符合古典概型的特點，是古典概型.,題型二古典概型的

9、求法,例2(1)(2015江蘇)袋中有形狀、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只紅球，2只黃球，從中一次隨機摸出2只球，則這2只球顏色不同的概率為_,答案,解析,設(shè)取出的2只球顏色不同為事件a.,(2)(2016山東)某兒童樂園在“六一”兒童節(jié)推出了一項趣味活動參加活動的兒童需轉(zhuǎn)動如圖所示的轉(zhuǎn)盤兩次，每次轉(zhuǎn)動后，待轉(zhuǎn)盤停止轉(zhuǎn)動時，記錄指針?biāo)竻^(qū)域中的數(shù)設(shè)兩次記錄的數(shù)分別為x，y.獎勵規(guī)則如下：,a.若xy3，則獎勵玩具一個； b.若xy8，則獎勵水杯一個； c.其余情況獎勵飲料一瓶 假設(shè)轉(zhuǎn)盤質(zhì)地均勻，四個區(qū)域劃分均勻，小亮準(zhǔn)備參加此項活動 求小亮獲得玩具的概率；,解答,用數(shù)對(x，y)表示兒

10、童參加活動先后記錄的數(shù)，則基本事件空間與點集s(x，y)|xn，yn,1x4,1y4一一對應(yīng) 因為s中元素的個數(shù)是4416， 所以基本事件總數(shù)n16. 記“xy3”為事件a， 則事件a包含的基本事件共5個， 即(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(3,1),請比較小亮獲得水杯與獲得飲料的概率的大小，并說明理由,解答,記“xy8”為事件b，“3xy8”為事件c. 則事件b包含的基本事件共6個， 即(2,4)，(3,3)，(3,4)，(4,2)，(4,3)，(4,4),事件c包含的基本事件共5個， 即(1,4)，(2,2)，(2,3)，(3,2)，(4,1),所以小亮獲得水杯的概率大于

11、獲得飲料的概率,引申探究 1.本例(1)中，若將4個球改為顏色相同，標(biāo)號分別為1,2,3,4的四個小球，從中一次取兩球，求標(biāo)號和為奇數(shù)的概率.,解答,基本事件數(shù)仍為6.設(shè)標(biāo)號和為奇數(shù)為事件a，則a包含的基本事件為(1,2)，(1,4)，(2,3)，(3,4)，共4種，,2.本例(1)中，若將條件改為有放回地取球，取兩次，求兩次取球顏色相同的概率.,解答,求古典概型的概率的關(guān)鍵是求試驗的基本事件的總數(shù)和事件a包含的基本事件的個數(shù)，這就需要正確列出基本事件，基本事件的表示方法有列舉法、列表法和樹形圖法，具體應(yīng)用時可根據(jù)需要靈活選擇.,思維升華,跟蹤訓(xùn)練2(1)(2016全國乙卷改編)為美化環(huán)境，從

12、紅、黃、白、紫4種顏色的花中任選2種花種在一個花壇中，余下的2種花種在另一個花壇中，則紅色和紫色的花不在同一花壇的概率是_.,從4種顏色的花中任選2種種在一個花壇中，余下2種種在另一個花壇，有(紅黃)，(白紫)，(白紫)，(紅黃)，(紅白)，(黃紫)，(黃紫)，(紅白)，(紅紫)，(黃白)，(黃白)，(紅紫)，共6種種法，其中紅色和紫色不在一個花壇的種法有(紅黃)，(白紫)，(白紫)，(紅黃)，(紅白)，(黃紫)，(黃紫)，(紅白)，共4種，故所求概率為p .,答案,解析,(2)某中學(xué)調(diào)查了某班全部45名同學(xué)參加書法社團和演講社團的情況，數(shù)據(jù)如下表：(單位：人),解答,從該班隨機選1名同學(xué)，求

13、該同學(xué)至少參加上述一個社團的概率；,由調(diào)查數(shù)據(jù)可知，既未參加書法社團又未參加演講社團的有30人， 故至少參加上述一個社團的共有453015(人)，,在既參加書法社團又參加演講社團的8名同學(xué)中，有5名男同學(xué)a1，a2，a3，a4，a5,3名女同學(xué)b1，b2，b3.現(xiàn)從這5名男同學(xué)和3名女同學(xué)中各隨機選1人，求a1被選中且b1未被選中的概率,解答,從這5名男同學(xué)和3名女同學(xué)中各隨機選1人，其一切可能的結(jié)果組成的基本事件有 a1，b1，a1，b2，a1，b3， a2，b1，a2，b2，a2，b3， a3，b1，a3，b2，a3，b3， a4，b1，a4，b2，a4，b3， a5，b1，a5，b2，a

14、5，b3，共15個 根據(jù)題意，這些基本事件的出現(xiàn)是等可能的， 事件“a1被選中且b1未被選中”所包含的基本事件有 a1，b2，a1，b3，共2個,題型三古典概型與統(tǒng)計的綜合應(yīng)用,例3(2015安徽)某企業(yè)為了解下屬某部門對本企業(yè)職工的服務(wù)情況，隨機訪問50名職工.根據(jù)這50名職工對該部門的評分，繪制頻率分布直方圖(如圖所示)，其中樣本數(shù)據(jù)分組區(qū)間為：40,50)，50,60)，80,90)，90,100.,(1)求頻率分布直方圖中a的值；,解答,因為(0.004a0.0180.02220.028)101，所以a0.006.,(2)估計該企業(yè)的職工對該部門評分不低于80的概率；,解答,由所給頻率

15、分布直方圖知，50名受訪職工評分不低于80的頻率為(0.0220.018)100.4， 所以該企業(yè)職工對該部門評分不低于80的概率的估計值為0.4.,(3)從評分在40,60)的受訪職工中，隨機抽取2人，求此2人的評分都在40,50)的概率.,解答,受訪職工中評分在50,60)的有500.006103(人)，記為a1，a2，a3； 受訪職工中評分在40,50)的有500.004102(人)，記為b1，b2， 從這5名受訪職工中隨機抽取2人，所有可能的結(jié)果共有10種，它們是a1，a2，a1，a3，a1，b1，a1，b2，a2，a3，a2，b1，a2，b2，a3，b1，a3，b2，b1，b2. 又

16、因為所抽取2人的評分都在40,50)的結(jié)果有1種，即b1，b2， 故所求的概率為p .,有關(guān)古典概型與統(tǒng)計結(jié)合的題型是高考考查概率的一個重要題型，已成為高考考查的熱點.概率與統(tǒng)計結(jié)合題，無論是直接描述還是利用頻率分布表、頻率分布直方圖、莖葉圖等給出信息，只要能夠從題中提煉出需要的信息，則此類問題即可解決.,思維升華,跟蹤訓(xùn)練3海關(guān)對同時從a，b，c三個不同地區(qū)進(jìn)口的某種商品進(jìn)行抽樣檢測，從各地區(qū)進(jìn)口此種商品的數(shù)量(單位：件)如下表所示.工作人員用分層抽樣的方法從這些商品中共抽取6件樣品進(jìn)行檢測.,解答,(1)求這6件樣品中來自a，b，c各地區(qū)商品的數(shù)量；,所以a，b，c三個地區(qū)的商品被選取的件

17、數(shù)分別是1,3,2.,(2)若在這6件樣品中隨機抽取2件送往甲機構(gòu)進(jìn)行進(jìn)一步檢測，求這2件商品來自相同地區(qū)的概率.,解答,設(shè)6件來自a，b，c三個地區(qū)的樣品分別為 a；b1，b2，b3；c1，c2. 則從6件樣品中抽取的這2件商品構(gòu)成的所有基本事件為a，b1，a，b2，a，b3，a，c1，a，c2，b1，b2，b1，b3，b1，c1，b1，c2，b2，b3，b2，c1，b2，c2，b3，c1，b3，c2，c1，c2，共15個. 每個樣品被抽到的機會均等，因此這些基本事件的出現(xiàn)是等可能的. 記事件d：“抽取的這2件商品來自相同地區(qū)”，則事件d包含的基本事件有b1，b2，b1，b3，b2，b3，c

18、1，c2，共4個. 所以p(d) ， 即這2件商品來自相同地區(qū)的概率為 .,典例(14分)一個袋中裝有四個形狀、大小完全相同的球，球的編號分別為1,2,3,4. (1)從袋中隨機取兩個球，求取出的球的編號之和不大于4的概率； (2)先從袋中隨機取一個球，該球的編號為m，將球放回袋中，然后再從袋中隨機取一個球，該球的編號為n，求nm2的概率.,六審細(xì)節(jié)更完善,審題路線圖系列,審題路線圖,規(guī)范解答,(1)基本事件為取兩個球 (兩球一次取出，不分先后，可用集合的形式表示) 把取兩個球的所有結(jié)果列舉出來 1,2，1,3，1,4，2,3，2,4，3,4 兩球編號之和不大于4 (注意：和不大于4，應(yīng)為小于

19、4或等于4) 1,2，1,3 利用古典概型概率公式求解,(2)兩球分兩次取，且有放回 (兩球的編號記錄是有次序的，用坐標(biāo)的形式表示) 基本事件的總數(shù)可用列舉法表示 (1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4) (2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4) (3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4) (4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4) (注意細(xì)節(jié)，m是第一個球的編號，n是第2個球的編號) nm2的情況較多，計算復(fù)雜,(將復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為簡單問題) 計算nm2的概率 nm2的所有情況為(1,3)，(1,4)，(2,4) ,返回,解(1)從袋中隨機取兩個球，其一切可能的結(jié)果組成的基

20、本事件有1,2，1,3，1,4，2,3，2,4，3,4，共6個. 從袋中取出的球的編號之和不大于4的事件有1,2，1,3，共2個.,(2)先從袋中隨機取一個球，記下編號為m，放回后，再從袋中隨機取一個球，記下編號為n，其一切可能的結(jié)果有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16個.8分 又滿足條件nm2的事件為(1,3)，(1,4)，(2,4)，共3個，,返回,課時作業(yè),1.(2016全國丙卷改編)小敏打開計算機時，忘記了開機密碼的前兩位，

21、只記得第一位是m，i，n中的一個字母，第二位是1,2,3,4,5中的一個數(shù)字，則小敏輸入一次密碼能夠成功開機的概率是_.,答案,解析,第一位是m，i，n中的一個字母，第二位是1,2,3,4,5中的一個數(shù)字， 所以總的基本事件的個數(shù)為15，密碼正確只有一種，概率為 .,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,2.若某公司從五位大學(xué)畢業(yè)生甲、乙、丙、丁、戊中錄用三人，這五人被錄用的機會均等，則甲或乙被錄用的概率為_,答案,解析,由題意知，從五位大學(xué)畢業(yè)生中錄用三人，所有不同的可能結(jié)果有(甲，乙，丙)，(甲，乙，丁)，(甲，乙，戊)，(甲，丙，丁)，(甲，丙，戊)，(甲，丁，戊)

22、，(乙，丙，丁)，(乙，丙，戊)，(乙，丁，戊)，(丙，丁，戊)，共10種，其中“甲與乙均未被錄用”的所有不同的可能結(jié)果只有(丙，丁，戊)這1種，故其對立事件“甲或乙被錄用”的可能結(jié)果有9種，所求概率p .,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,3.(2015廣東改編)已知5件產(chǎn)品中有2件次品，其余為合格品.現(xiàn)從這5件產(chǎn)品中任取2件，則恰有一件次品的概率為_.,答案,解析,設(shè)3件合格品為a1，a2，a3，2件次品為b1，b2，從5件產(chǎn)品中任取2件有(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，a3)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，b1)

23、，(a3，b2)，(b1，b2)，共10種.,0.6,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,4.(2016無錫模擬)若從1,2,3,4這四個數(shù)中一次隨機取兩個數(shù)，則取出的兩個數(shù)中一個是奇數(shù)一個是偶數(shù)的概率為_.,答案,解析,從四個數(shù)中隨機取兩個數(shù)，基本事件有6個.其中一奇一偶的事件有4個：(1,2)，(1,4)，(3,2)，(3,4)，故所求的概率為 .,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,5.連擲兩次骰子分別得到點數(shù)m，n，則向量(m，n)與向量(1,1)的夾,答案,解析,(m，n)(1,1)mnn. 基本事件總共有6636(個)，符合要求的有(

24、2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,4)，(6,1)，(6,5)，共1234515(個).,角90的概率是_.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,6.(2016南通模擬)在平面直角坐標(biāo)系中，從下列五個點：a(0,0)，b(2,0)，c(1,1)，d(0,2)，e(2,2)中任取三個，則這三點能構(gòu)成三角形的概率是_.,答案,解析,從5個點中取3個點，列舉得abc，abd，abe，acd，ace，ade，bcd，bce，bde，cde，共10個基本事件，而其中ace，bcd兩種情況三點共線，其余8個均符合題意，故能構(gòu)成三

25、角形的概率為 .,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,7.(2016蘇州高三一模)若連續(xù)兩次拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子(六個面上分別有數(shù)字1,2,3,4,5,6)，則兩次向上的數(shù)字之和等于7的概率為_.,連續(xù)拋擲骰子兩次，基本事件有36個.兩次向上的數(shù)字之和等于7的事件有6個：(1,6)，(2,5)，(3,4)，(4,3)，(5,2)，(6,1).故所求的概率為 .,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,8.(2016鎮(zhèn)江模擬)若箱子中有形狀、大小完全相同的3個紅球和2個白球，一次摸出2個球，則摸到的2個球顏色不同的概率為_.,答案,解析,

26、從5個球中摸出2個球，基本事件共有10個.摸到的2個球顏色不同的事件為：紅1，白1；紅1，白2；紅2，白1；紅2，白2；紅3，白1；紅3，白2，共6個.故所求的概率為 .,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,9.如下圖的莖葉圖是甲、乙兩人在4次模擬測試中的成績，其中一個數(shù)字被污損，則甲的平均成績不超過乙的平均成績的概率為_.,答案,解析,0.3,依題意，記題中的被污損數(shù)字為x，若甲的平均成績不超過乙的平均成績，則有(8921)(53x5)0，x7，即此時x的可能取值是7,8,9，因此甲的平均成績不超過乙的平均成績的概率p 0.3.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,1

27、0,11,12,13,10.連續(xù)2次拋擲一枚骰子(六個面上分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,5,6)，記“兩次向上的數(shù)字之和等于m”為事件a，則p(a)最大時，m_.,112,123,134,145,156， 167，213,224,235,246,257,268， 依次列出m的可能取值，知7出現(xiàn)次數(shù)最多.,7,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,11.設(shè)連續(xù)擲兩次骰子得到的點數(shù)分別為m，n，令平面向量a(m，n)，b(1，3). (1)求事件“ab”發(fā)生的概率；,解答,由題意知，m1,2,3,4,5,6，n1,2,3,4,5,6，故(m，n)所有可能的取法共36

28、種. 因為ab，所以m3n0，即m3n，有(3,1)，(6,2)，共2種，所以事件ab發(fā)生的概率為 .,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,(2)求事件“|a|b|”發(fā)生的概率.,解答,由|a|b|，得m2n210， 有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(3,1)，共6種，其概率為 .,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,12.甲、乙兩人用4張撲克牌(分別是紅桃2，紅桃3，紅桃4，方片4)玩游戲，他們將撲克牌洗勻后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一張. (1)設(shè)(i，j)表示甲、乙抽到的牌的牌面數(shù)字(如果甲抽到紅桃2，乙抽到紅桃3，記為(2,3)，寫出甲、乙兩人抽到的牌的所有情況；,解