1、8.7立體幾何中的向量方法(一) 證明平行與垂直,基礎(chǔ)知識自主學(xué)習(xí),課時作業(yè),題型分類深度剖析,內(nèi)容索引,基礎(chǔ)知識自主學(xué)習(xí),(1)直線的方向向量：在直線上任取一 向量作為它的方向向量. (2)平面的法向量可利用方程組求出：設(shè)a，b是平面內(nèi)兩不共線向量，n為平面的法向量，則求法向量的方程組為,1.直線的方向向量與平面的法向量的確定,知識梳理,非零,2.用向量證明空間中的平行關(guān)系 (1)設(shè)直線l1和l2的方向向量分別為v1和v2，則l1l2(或l1與l2重合) . (2)設(shè)直線l的方向向量為v，與平面共面的兩個不共線向量v1和v2，則l或l . (3)設(shè)直線l的方向向量為v，平面的法向量為u，則l

2、或l. (4)設(shè)平面和的法向量分別為u1，u2，則 .,v1v2,存在兩個實數(shù)x，y，使vxv1yv2,vu,u1 u2,3.用向量證明空間中的垂直關(guān)系 (1)設(shè)直線l1和l2的方向向量分別為v1和v2，則l1l2 . (2)設(shè)直線l的方向向量為v，平面的法向量為u，則l . (3)設(shè)平面和的法向量分別為u1和u2，則 .,v1v2,v1v20,vu,u1u2,u1u20,判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“”或“”) (1)直線的方向向量是唯一確定的.() (2)平面的單位法向量是唯一確定的.() (3)若兩平面的法向量平行，則兩平面平行.() (4)若兩直線的方向向量不平行，則兩直線不平行

3、.() (5)若ab，則a所在直線與b所在直線平行.() (6)若空間向量a平行于平面，則a所在直線與平面平行.(),1.已知a(1,0,0)，b(0,1,0)，c(0,0,1)，則下列向量是平面abc法向量的是,考點自測,答案,解析,設(shè)n(x，y，z)為平面abc的法向量，,xyz.故選c.,2.直線l的方向向量a(1，3,5)，平面的法向量n(1,3，5)，則有 a.l b.l c.l與斜交 d.l或l,答案,解析,由an知，na，則有l(wèi)，故選b.,3.平面的法向量為(1,2，2)，平面的法向量為(2，4，k)，若，則k等于 a.2 b.4 c.4 d.2,，兩平面法向量平行，,答案,解析

4、,4.(教材改編)設(shè)u，v分別是平面，的法向量，u(2,2,5)，當(dāng)v(3，2,2)時，與的位置關(guān)系為_；當(dāng)v(4，4，10)時，與的位置關(guān)系為_.,答案,解析,當(dāng)v(3，2,2)時， uv(2,2,5)(3，2,2)0. 當(dāng)v(4，4，10)時，v2u.,5.(教材改編)如圖所示，在正方體abcda1b1c1d1中，o是底面正方形abcd的中心，m是d1d的中點，n是a1b1的中點，則直線on，am的位置關(guān)系是_.,答案,解析,垂直,題型分類深度剖析,題型一利用空間向量證明平行問題,例1(2016重慶模擬)如圖所示，平面pad平面abcd，abcd為正方形，pad是直角三角形，且paad2，

5、e，f，g分別是線段pa，pd，cd的中點.求證：pb平面efg.,證明,平面pad平面abcd，abcd為正方形，pad是直角三角形，且paad， ab，ap，ad兩兩垂直，以a為坐標(biāo)原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則a(0,0,0)，b(2，0,0)，c(2,2,0)，d(0,2,0)，p(0，0,2)，e(0,0,1)，f(0,1,1)，g(1，2,0).,即(2,0，2)s(0，1,0)t(1,1，1)，,pb 平面efg，pb平面efg.,引申探究,本例中條件不變，證明平面efg平面pbc.,證明,又ef 平面pbc，bc平面pbc， ef平面pbc， 同理可證gfpc，從而得出

6、gf平面pbc. 又efgff，ef平面efg，gf平面efg， 平面efg平面pbc.,思維升華,(1)恰當(dāng)建立空間直角坐標(biāo)系，準(zhǔn)確表示各點與相關(guān)向量的坐標(biāo)，是運(yùn)用向量法證明平行和垂直的關(guān)鍵. (2)證明直線與平面平行，只需證明直線的方向向量與平面的法向量的數(shù)量積為零，或證直線的方向向量與平面內(nèi)的不共線的兩個向量共面，或證直線的方向向量與平面內(nèi)某直線的方向向量平行，然后說明直線在平面外即可.這樣就把幾何的證明問題轉(zhuǎn)化為向量運(yùn)算.,跟蹤訓(xùn)練1 (2016北京海淀區(qū)模擬)正方體abcda1b1c1d1中，m，n分別是c1c，b1c1的中點.求證：mn平面a1bd.,證明,如圖所示，以d為坐標(biāo)原點

7、，da，dc，dd1所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系.,設(shè)正方體的棱長為1，則m(0,1， )，n( ，1,1)，d(0,0,0)，a1(1,0,1)，b(1,1,0)，,設(shè)平面a1bd的法向量為n(x，y，z)，,取x1，得y1，z1. 所以n(1，1，1).,又mn 平面a1bd，所以mn平面a1bd.,例2如圖所示，正三棱柱(底面為正三角形的直三棱柱)abca1b1c1的所有棱長都為2，d為cc1的中點.求證：ab1平面a1bd.,題型二利用空間向量證明垂直問題,命題點1證線面垂直,證明,方法一設(shè)平面a1bd內(nèi)的任意一條直線m的方向向量為m.由共面向量定理，則存在實數(shù)，使

8、m .,令 a， b， c，顯然它們不共面，并且|a|b|c|2，abac0，bc2，以它們?yōu)榭臻g的一個基底，,方法二如圖所示，取bc的中點o，連接ao. 因為abc為正三角形， 所以aobc. 因為在正三棱柱abca1b1c1中， 平面abc平面bcc1b1，所以ao平面bcc1b1. 取b1c1的中點o1，以o為原點，分別以 ， ， 所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示， 則b(1,0,0)，d(1,1,0)，a1(0,2， )， a(0,0， )，b1(1,2,0).,設(shè)平面a1bd的法向量為n(x，y，z)， (1,2， )， (2,1,0).,令x1，則y2，z ，

9、 故n(1,2， )為平面a1bd的一個法向量，,故ab1平面a1bd.,例3(2016武漢模擬)如圖，在四棱錐pabcd中，底面abcd是邊長為a的正方形，側(cè)面pad底面abcd，且papd ad，設(shè)e，f分別為pc，bd的中點. (1)求證：ef平面pad；,命題點2證面面垂直,證明,如圖，取ad的中點o，連接op，of. 因為papd，所以poad. 因為側(cè)面pad底面abcd，平面pad平面abcdad， 所以po平面abcd. 又o，f分別為ad，bd的中點，所以ofab. 又abcd是正方形，所以ofad.,以o為原點，oa，of，op所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)

10、系，,所以ef平面pad.,(2)求證：平面pab平面pdc.,證明,又papd，pdcdd，所以pa平面pdc. 又pa平面pab，所以平面pab平面pdc.,思維升華,證明垂直問題的方法 (1)利用已知的線面垂直關(guān)系構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，準(zhǔn)確寫出相關(guān)點的坐標(biāo)，從而將幾何證明轉(zhuǎn)化為向量運(yùn)算.其中靈活建系是解題的關(guān)鍵. (2)其一證明直線與直線垂直，只需要證明兩條直線的方向向量垂直；其二證明線面垂直，只需證明直線的方向向量與平面內(nèi)不共線的兩個向量垂直即可，當(dāng)然 ，也可證直線的方向向量與平面的法向量平行；其三證明面面垂直：證明兩平面的法向量互相垂直；利用面面垂直的判定定理，只要能證明一個平面內(nèi)的一

11、條直線的方向向量為另一個平面的法向量即可.,跟蹤訓(xùn)練2 (2016青島模擬)如圖，在多面體abca1b1c1中，四邊形a1abb1是正方形，abac，bc ab，b1c1綊 bc，二面角a1abc是直二面角.求證： (1)a1b1平面aa1c；,證明,二面角a1abc是直二面角，四邊形a1abb1為正方形， aa1平面bac. 又abac，bc ab， cab90，即caab， ab，ac，aa1兩兩互相垂直. 建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，點a為坐標(biāo)原點， 設(shè)ab2，則a(0,0,0)，b1(0,2,2)，a1(0,0,2)，c(2,0,0)，c1(1,1,2).,設(shè)平面aa1c的一個法向量

12、n(x，y，z)，,a1b1平面aa1c.,(2)ab1平面a1c1c.,證明,設(shè)平面a1c1c的一個法向量m(x1，y1，z1)，,令x11，則y11，z11，即m(1，1,1)., m012(1)210，,又ab1 平面a1c1c，ab1平面a1c1c.,題型三利用空間向量解決探索性問題,例4(2016北京)如圖，在四棱錐p-abcd中，平面pad平面abcd，papd，papd，abad，ab1，ad2，accd . (1)求證：pd平面pab；,平面pad平面abcd，平面pad平面abcdad，abad，ab平面abcd， ab平面pad.pd平面pad，abpd. 又papd，pa

13、aba，且pa，pb平面pab， pd平面pab.,證明,(2)求直線pb與平面pcd所成角的正弦值；,解答,取ad中點o，連接co，po， papd， poad. 又po平面pad， 平面pad平面abcd， po平面abcd， co平面abcd， poco， accd，coad.,以o為原點建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系. 易知p(0,0,1)，b(1,1,0)，d(0，1,0)，c(2,0,0).,設(shè)n(x0，y0 ,1)為平面pcd的一個法向量.,設(shè)pb與平面pcd的夾角為.,(3)在棱pa上是否存在點m，使得bm平面pcd？若存在，求 的值；若不存在，說明理由.,解答,bm 面pcd，b

14、m平面pcd，,思維升華,對于“是否存在”型問題的探索方式有兩種：一種是根據(jù)條件作出判斷，再進(jìn)一步論證；另一種是利用空間向量，先設(shè)出假設(shè)存在點的坐標(biāo)，再根據(jù)條件求該點的坐標(biāo)，即找到“存在點”，若該點坐標(biāo)不能求出，或有矛盾，則判定“不存在”.,跟蹤訓(xùn)練3 (2016深圳模擬)如圖所示，四邊形abcd是邊長為1的正方形，md平面abcd，nb平面abcd，且mdnb1，e為bc的中點. (1)求異面直線ne與am所成角的余弦值；,解答,如圖，以d為坐標(biāo)原點，建立空間直角坐標(biāo)系， 依題意得d(0,0,0)，a(1,0,0)，m(0,0,1)，c(0,1,0)，b(1,1,0)，n(1,1,1)，e(

15、 ，1,0)，,(2)在線段an上是否存在點s，使得es平面amn？若存在，求線段as的長；若不存在，請說明理由.,解答,假設(shè)在線段an上存在點s，使得es平面amn. 連接ae，如圖所示.,由es平面amn，,典例(12分)(2016吉林實驗中學(xué)月考)如圖1所示，正abc的邊長為4，cd是ab邊上的高，e，f分別是ac和bc邊的中點，現(xiàn)將abc沿cd翻折成直二面角adcb，如圖2所示. (1)試判斷直線ab與平面def的位置關(guān)系， 并說明理由； (2)求二面角edfc的余弦值； (3)在線段bc上是否存在一點p，使apde？證明你的結(jié)論.,利用向量法解決立體幾何問題,思想與方法系列19,規(guī)范

16、解答,思想方法指導(dǎo),幾何畫板展示,對于較復(fù)雜的立體幾何問題可采用向量法 (1)用向量法解決立體幾何問題，是空間向量的一個具體應(yīng)用，體現(xiàn)了向量的工具性，這種方法可把復(fù)雜的推理證明、輔助線的作法轉(zhuǎn)化為空間向量的運(yùn)算，降低了空間想象演繹推理的難度，體現(xiàn)了由“形”轉(zhuǎn)“數(shù)”的轉(zhuǎn)化思想. (2)兩種思路：選好基底，用向量表示出幾何量，利用空間向量有關(guān)定理與向量的線性運(yùn)算進(jìn)行判斷.建立空間直角坐標(biāo)系，進(jìn)行向量的坐標(biāo)運(yùn)算，根據(jù)運(yùn)算結(jié)果的幾何意義解釋相關(guān)問題.,返回,解(1)ab平面def，理由如下： 在abc中，由e，f分別是ac，bc中點，得efab. 又ab 平面def，ef平面def， ab平面def.

17、 1分 (2)以d為原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系， 則a(0,0,2)，b(2,0,0)，c(0,2 ，0)，e(0， ，1)，f(1， ，0)， 3分,設(shè)平面edf的法向量為n(x，y，z)，,返回,課時作業(yè),1.(2016茂名調(diào)研)已知a(2，1,3)，b(1,4，2)，c(7,5，).若a，b，c三向量共面，則實數(shù)等于,答案,解析,由題意得ctab(2t，t4，3t2)，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,2.(2016西安質(zhì)檢)若平面，的法向量分別是n1(2，3,5)，n2(3,1，4)，則 a. b. c.，相交但不垂直 d.以上答案均不正確,答案,解析,n

18、1n22(3)(3)15(4)0， n1與n2不垂直，且不共線. 與相交但不垂直.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,3.已知平面內(nèi)有一點m(1，1,2)，平面的一個法向量為n(6，3,6)，則下列點p中，在平面內(nèi)的是 a.p(2,3,3) b.p(2,0,1) c.p(4,4,0) d.p(3，3,4),答案,解析,點p在平面內(nèi)，同理可驗證其他三個點不在平面內(nèi).,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,a.相交 b.平行 c.在平面內(nèi) d.平行或在平面內(nèi),答案,解析,ab與平面cde平行或在平面cde內(nèi).,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12

19、,5.設(shè)u(2,2，t)，v(6，4,4)分別是平面，的法向量.若，則t等于 a.3 b.4 c.5 d.6,答案,解析,，則uv262(4)4t0，t5.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,6.(2016泰安模擬)如圖所示，在正方體abcda1b1c1d1中，棱長為a，m，n分別為a1b和ac上的點，a1man ，則mn與平面bb1c1c的位置關(guān)系是 a.斜交 b.平行 c.垂直 d.mn在平面bb1c1c內(nèi),答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，,又c1d1平面bb1c1c， 所以 (0，a,0)為平面bb1c1

20、c的一個法向量.,所以mn平面bb1c1c.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,7.(2016廣州質(zhì)檢)已知平面內(nèi)的三點a(0,0,1)，b(0,1,0)，c(1,0,0)，平面的一個法向量n(1，1，1)，則不重合的兩個平面與的位置關(guān)系是_.,答案,解析,設(shè)平面的法向量為m(x，y，z)，,m(1,1,1)，mn， mn，.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12, 是平面abcd的法向量，則正確.,abap，adap，則正確.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,*9.如圖

21、，圓錐的軸截面sab是邊長為2的等邊三角形，o為底面中心，m為so中點，動點p在圓錐底面內(nèi)(包括 圓周).若ammp，則點p形成的軌跡長度為_.,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,由題意可知，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示. 則a(0，1,0)，b(0,1,0)，s(0,0， )，m(0,0， )，,設(shè)p(x，y,0)，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,10.如圖，在三棱錐p-abc中，abac，d為bc的中點，po平面abc，垂足o落在線段ad上.已知bc8，po4，ao3，od2. (1)證明：apbc；,證明,1,2,3,4,5,6,7

22、,8,9,10,11,12,如圖所示，以o為坐標(biāo)原點，od，op所在直線為y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系. 則o(0,0,0)，a(0，3,0)， b(4,2,0)，c(4,2,0)，p(0,0,4).,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,(2)若點m是線段ap上一點，且am3.試證明平面amc平面bmc.,證明,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,由(1)知ap5， 又am3，且點m在線段ap上，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,又根據(jù)(1)的結(jié)論知apbc，且bmbcb， ap平面bmc，于是am平面bmc. 又am平面amc，故平面amc平面bmc.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,11.(2016長沙模擬)如圖，在四棱錐pa