1、12.2直接證明與間接證明,基礎知識自主學習,課時作業(yè),題型分類深度剖析,內容索引,基礎知識自主學習,1.直接證明,知識梳理,(1)綜合法 定義：一般地，利用已知條件和某些數(shù)學定義、公理、定理等，經(jīng)過一系列的 ，最后推導出所要證明的結論成立，這種證明方法叫做綜合法 框圖表示： (其中p表示已知條件、已有的定義、公理、定理等，q表示所要證明的結論) 思維過程：由因導果,推理論證,(2)分析法 定義：一般地，從 出發(fā)，逐步尋求使它成立的 ，直至最后，把要證明的結論歸結為判定一個明顯成立的條件(已知條件、定理、定義、公理等)為止，這種證明方法叫做分析法 (其中q表示要證明的結論) 思維過程：執(zhí)果索因

2、,要證明的結論,充分條件,2.間接證明,反證法：一般地，假設原命題 (即在原命題的條件下，結論不成立)，經(jīng)過正確的推理，最后得出 ，因此說明假設錯誤，從而證明 的證明方法.,不成立,矛盾,原命題成立,判斷下列結論是否正確(請在括號中打“”或“”) (1)綜合法是直接證明，分析法是間接證明.() (2)分析法是從要證明的結論出發(fā)，逐步尋找使結論成立的充要條件.() (3)用反證法證明結論“ab”時，應假設“ab”.(),(4)反證法是指將結論和條件同時否定，推出矛盾.() (5)在解決問題時，常常用分析法尋找解題的思路與方法，再用綜合法展現(xiàn)解決問題的過程.() (6)證明不等式 最合適的方法是分

3、析法.(),考點自測,1.若a，b，c為實數(shù)，且ab0，則下列命題正確的是,答案,解析,a2aba(ab)， a0， a2ab. 又abb2b(ab)0，abb2， 由得a2abb2.,2.用反證法證明命題：“a，bn，若ab不能被5整除，則a與b都不能被5整除”時，假設的內容應為,答案,解析,a.a，b都能被5整除 b.a，b不都能被5整除 c.a，b至少有一個能被5整除 d.a，b至多有一個能被5整除,“都不能”的否定為“至少有一個能”，故假設的內容應為“a，b至少有一個能被5整除”.,3.要證a2b21a2b20，只要證明,a2b21a2b20(a21)(b21)0.,答案,解析,a0，

4、b0且ab,答案,解析,答案,解析,f(x)sin x在區(qū)間(0，)上是凸函數(shù)，且a、b、c(0，).,題型分類深度剖析,題型一綜合法的應用,例1數(shù)列an滿足an1 ，a11.,證明,解答,(1)綜合法是“由因導果”的證明方法，它是一種從已知到未知(從題設到結論)的邏輯推理方法，即從題設中的已知條件或已證的真實判斷(命題)出發(fā)，經(jīng)過一系列中間推理，最后導出所要求證結論的真實性. (2)綜合法的邏輯依據(jù)是三段論式的演繹推理.,思維升華,跟蹤訓練1若a，b，c是不全相等的正數(shù)，求證：,證明,a，b，c(0，)，,由于a，b，c是不全相等的正數(shù)， 上述三個不等式中等號不能同時成立，,例2,題型二分析

5、法的應用,證明,所以cos x1cos x20，sin(x1x2)0,1cos(x1x2)0，,故只需證明1cos(x1x2)2cos x1cos x2，,即證1cos x1cos x2sin x1sin x22cos x1cos x2，,即證cos(x1x2)1.,引申探究,證明,由于x1，x2r時， 0, 0，,(1)逆向思考是用分析法證題的主要思想，通過反推，逐步尋找使結論成立的充分條件.正確把握轉化方向是使問題順利獲解的關鍵. (2)證明較復雜的問題時，可以采用兩頭湊的辦法，即通過分析法找出某個與結論等價(或充分)的中間結論，然后通過綜合法證明這個中間結論，從而使原命題得證.,思維升華

6、,跟蹤訓練2(2017重慶月考)設a0，b0,2cab，求證： (1)c2ab；,證明,證明,(ac)2c2aba(ab2c)0成立，,原不等式成立.,題型三反證法的應用,命題點1證明否定性命題 例3(2016西安模擬)設an是公比為q的等比數(shù)列.,(1)推導an的前n項和公式；,解答,設an的前n項和為sn， 當q1時，sna1a1a1na1； 當q1時，sna1a1qa1q2a1qn1， qsna1qa1q2a1qn， 得，(1q)sna1a1qn，,(2)設q1，證明：數(shù)列an1不是等比數(shù)列.,證明,假設an1是等比數(shù)列，則對任意的kn*， (ak11)2(ak1)(ak21)，,a10

7、，2qkqk1qk1. q0，q22q10， q1，這與已知矛盾. 假設不成立，故an1不是等比數(shù)列.,命題點2證明存在性問題 例4已知四棱錐sabcd中，底面是邊長為1的正方形，又sbsd ，sa1.,證明,(1)求證：sa平面abcd；,由已知得sa2ad2sd2，saad. 同理saab. 又abada，ab平面abcd，ad平面abcd， sa平面abcd.,(2)在棱sc上是否存在異于s，c的點f，使得bf平面sad？若存在，確定f點的位置；若不存在，請說明理由.,解答,假設在棱sc上存在異于s，c的點f，使得bf平面sad. bcad，bc平面sad. bc平面sad.而bcbfb

8、， 平面fbc平面sad. 這與平面sbc和平面sad有公共點s矛盾， 假設不成立. 不存在這樣的點f，使得bf平面sad.,命題點3證明唯一性命題 例5已知a0，證明關于x的方程axb有且只有一個根.,證明,假設x1，x2是它的兩個不同的根，,即ax1b， ax2b， 由得a(x1x2)0， 因為x1x2，所以x1x20， 所以a0，這與已知矛盾，故假設錯誤. 所以當a0時，方程axb有且只有一個根.,應用反證法證明數(shù)學命題，一般有以下幾個步驟： 第一步：分清命題“pq”的條件和結論； 第二步：作出與命題結論q相反的假設綈q； 第三步：由p和綈q出發(fā)，應用正確的推理方法，推出矛盾結果； 第四

9、步：斷定產生矛盾結果的原因在于開始所作的假設綈q不真，于是原結論q成立，從而間接地證明了命題pq為真. 所說的矛盾結果，通常是指推出的結果與已知公理、已知定義、已知定理或已知事實矛盾，與臨時假設矛盾以及自相矛盾等都是矛盾結果.,思維升華,跟蹤訓練3已知二次函數(shù)f(x)ax2bxc(a0)的圖象與x軸有兩個不同的交點，若f(c)0，且00.,證明,f(x)的圖象與x軸有兩個不同的交點，,f(x)0有兩個不等實根x1，x2，,f(c)0，x1c是f(x)0的根，,證明,典例(12分)直線ykxm(m0)與橢圓w：y21相交于a、c兩點，o是坐標原點. (1)當點b的坐標為(0,1)，且四邊形oab

10、c為菱形時，求ac的長； (2)當點b在w上且不是w的頂點時，證明：四邊形oabc不可能為菱形.,反證法在證明題中的應用,思想與方法系列23,思想方法指導,規(guī)范解答,在證明否定性問題，存在性問題，唯一性問題時常考慮用反證法證明，應用反證法需注意： (1)掌握反證法的證明思路及證題步驟，正確作出假設是反證法的基礎，應用假設是反證法的基本手段，得到矛盾是反證法的目的. (2)當證明的結論和條件聯(lián)系不明顯、直接證明不清晰或正面證明分類較多、而反面情況只有一種或較少時，常采用反證法. (3)利用反證法證明時，一定要回到結論上去.,返回,(1)解因為四邊形oabc為菱形，,則ac與ob相互垂直平分.,由

11、于o(0,0)，b(0,1)，,(2)證明假設四邊形oabc為菱形，,因為點b不是w的頂點，且acob，所以k0.,設a(x1，y1)，c(x2，y2)，則,因為m為ac和ob的交點，且m0，k0，,所以oabc不是菱形，與假設矛盾.,所以當點b不是w的頂點時，四邊形oabc不可能是菱形. 12分,返回,課時作業(yè),1.(2017泰安質檢)用反證法證明命題“設a，b為實數(shù)，則方程x2axb0至少有一個實根”時，要做的假設是 a.方程x2axb0沒有實根 b.方程x2axb0至多有一個實根 c.方程x2axb0至多有兩個實根 d.方程x2axb0恰好有兩個實根,答案,解析,因為“方程x2axb0至

12、少有一個實根”等價于“方程x2axb0有一個實根或兩個實根”，,所以該命題的否定是“方程x2axb0沒有實根”.故選a.,1,2,3,4,5,7,8,9,10,11,12,13,6,1,2,3,4,5,7,8,9,10,11,12,13,答案,解析,a.(3,0) b.3,0c.3,0) d.(3,0,解得3k0.,6,當且僅當xyz時等號成立.,答案,解析,a.都大于2 b.至少有一個大于2 c.至少有一個不小于2 d.至少有一個不大于2,所以三個數(shù)中至少有一個不小于2，故選c.,1,2,3,4,5,7,8,9,10,11,12,13,6,4.已知p3q32，證明：pq2.用反證法證明時，可

13、假設pq2； 若a，br，|a|b|1，求證：方程x2axb0的兩根的絕對值都小于1.用反證法證明時可假設方程有一根x1的絕對值大于或等于1，即假設|x1|1.以下結論正確的是 a.與的假設都錯誤 b.的假設正確；的假設錯誤 c.與的假設都正確 d.的假設錯誤；的假設正確,答案,解析,1,2,3,4,5,7,8,9,10,11,12,13,6,1,2,3,4,5,7,8,9,10,11,12,13,對于，結論的否定是pq2，,故中的假設錯誤； 對于，其假設正確，故選d.,6,1,2,3,4,5,7,8,9,10,11,12,13,答案,解析,a.都不大于2 b.都不小于2 c.至少有一個不大于

14、2 d.至少有一個不小于2,所以三者不能都大于2.,6,6.用反證法證明：若整系數(shù)一元二次方程ax2bxc0 (a0)有有理數(shù)根，那么a，b，c中至少有一個是偶數(shù).用反證法證明時，下列假設正確的是_.,1,2,3,4,5,7,8,9,10,11,12,13,假設a，b，c都是偶數(shù)； 假設a，b，c都不是偶數(shù)； 假設a，b，c至多有一個偶數(shù)； 假設a，b，c至多有兩個偶數(shù).,答案,解析,“至少有一個”的否定為“都不是”，故正確.,6,7.(2016全國甲卷)有三張卡片，分別寫有1和2,1和3,2和3.甲，乙，丙三人各取走一張卡片，甲看了乙的卡片后說：“我與乙的卡片上相同的數(shù)字不是2”，乙看了丙的

15、卡片后說：“我與丙的卡片上相同的數(shù)字不是1”，丙說：“我的卡片上的數(shù)字之和不是5”，則甲的卡片上的數(shù)字是_.,答案,解析,1和3,1,2,3,4,5,7,8,9,10,11,12,13,6,由丙說：“我的卡片上的數(shù)字之和不是5”可知， 丙為“1和2”或“1和3”， 又乙說“我與丙的卡片上相同的數(shù)字不是1”， 所以乙只可能為“2和3”， 又甲說“我與乙的卡片上相同的數(shù)字不是2”， 所以甲只能為“1和3”.,1,2,3,4,5,7,8,9,10,11,12,13,6,若二次函數(shù)f(x)0在區(qū)間1,1內恒成立，,8.若二次函數(shù)f(x)4x22(p2)x2p2p1，在區(qū)間1,1內至少存在一點c，使f(

16、c)0，則實數(shù)p的取值范圍是_.,答案,解析,1,2,3,4,5,7,8,9,10,11,12,13,6,1,2,3,4,5,7,8,9,10,11,12,13,證明,因為m0，所以1m0. 所以要證原不等式成立， 只需證(amb)2(1m)(a2mb2)， 即證m(a22abb2)0， 即證(ab)20，而(ab)20顯然成立， 故原不等式得證.,6,10.設f(x)ax2bxc(a0)，若函數(shù)f(x1)與f(x)的圖象關于y軸對稱，求證：f(x )為偶函數(shù).,證明,由函數(shù)f(x1)與f(x)的圖象關于y軸對稱，可知f(x1)f(x).,1,2,3,4,5,7,8,9,10,11,12,13

17、,6,(1)證明：函數(shù)f(x)在(1，)上為增函數(shù)；,證明,1,2,3,4,5,7,8,9,10,11,12,13,6,任取x1，x2(1，)，,又x110，x210，,不妨設x10.,1,2,3,4,5,7,8,9,10,11,12,13,6,故函數(shù)f(x)在(1，)上為增函數(shù).,1,2,3,4,5,7,8,9,10,11,12,13,6,(2)用反證法證明方程f(x)0沒有負數(shù)根.,證明,假設存在x00(x01)滿足f(x0)0，,a1，0 1，,故方程f(x)0沒有負數(shù)根.,1,2,3,4,5,7,8,9,10,11,12,13,6,1,2,3,4,5,7,8,9,10,11,12,13,(1)f(x)1xx2；,所以f(x)1xx2.,證明,6,1,2,3,4,5,7,8,9,10,11,12,13,證明,6,1,2,