1、5.3平面向量的數(shù)量積,基礎知識自主學習,課時作業(yè),題型分類深度剖析,內(nèi)容索引,基礎知識自主學習,1.向量的夾角 已知兩個非零向量a和b，作 a， b，則aob(0180)叫作向量a與b的夾角.,知識梳理,2.平面向量的數(shù)量積,|b|cos ,3.平面向量數(shù)量積的性質(zhì) 設a，b都是非零向量，e是單位向量，為a與b(或e)的夾角.則 (1)eaae|a|cos . (2)ab . (3)當a與b同向時，ab|a|b|； 當a與b反向時，ab|a|b|. 特別地，aa 或|a| . (4)cos . (5)|ab| .,ab0,|a|2,|a|b|,4.平面向量數(shù)量積滿足的運算律 (1)ab ；

2、(2)(a)b (為實數(shù))； (3)a(bc)abac. 5.平面向量數(shù)量積有關性質(zhì)的坐標表示 設向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，則ab ，由此得到 (1)若a(x，y)，則|a|2 或|a| . (2)設a(x1，y1)，b(x2，y2)， 則a，b兩點間的距離ab .,ba,(ab),a(b),x1x2y1y2,x2y2,(3)設兩個非零向量a，b，a(x1，y1)，b(x2，y2)， 則ab . (4)若a，b都是非零向量，是a與b的夾角， 則cos .,x1x2y1y20,1.兩個向量a，b的夾角為銳角ab0且a，b不共線； 兩個向量a，b的夾角為鈍角ab0且a，b不共線. 2

3、.平面向量數(shù)量積運算的常用公式 (1)(ab)(ab)a2b2. (2)(ab)2a22abb2. (3)(ab)2a22abb2.,判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“”或“”) (1)向量在另一個向量方向上的射影為數(shù)量，而不是向量.() (2)兩個向量的數(shù)量積是一個實數(shù)，向量的加、減、數(shù)乘運算的運算結(jié)果是向量.() (3)由ab0可得a0或b0.() (4)(ab)ca(bc).() (5)兩個向量的夾角的范圍是0， .(),1.(教材改編)已知向量a(2,1)，b(1，k)，a(2ab)0，則k等于 a.12 b.6 c.6 d.12,考點自測,2ab(4,2)(1，k)(5,2k)，

4、由a(2ab)0，得(2,1)(5,2k)0， 102k0，解得k12.,答案,解析,2.(2016南寧質(zhì)檢)已知向量a與b的夾角為30，且|a|1，|2ab|1，則|b|等于,答案,解析,答案,解析,a.5 b.4 c.3 d.2,四邊形abcd為平行四邊形，,答案,解析,設a與b的夾角為，,5.(2016廈門模擬)設xr，向量a(x,1)，b(1，2)，且ab，則|ab|_.,答案,解析,ab，ab0，即x20，,x2，a(2,1)，a25，b25，,題型分類深度剖析,例1(1)(2016天津)已知abc是邊長為1的等邊三角形，點d，e分別是邊ab，bc的中點，連接de并延長到點f，使得d

5、e2ef，則 的值為,題型一平面向量數(shù)量積的運算,答案,解析,如圖，由條件可知,因為abc是邊長為1的等邊三角形，,(2)已知正方形abcd的邊長為1，點e是ab邊上的動點，則 的值為_； 的最大值為_.,答案,解析,1,1,幾何畫板展示,方法一以射線ab，ad為x軸，y軸的正方向建立平面直角坐標系，,則a(0，0)，b(1,0)，c(1,1)，d(0,1)，,設e(t,0)，t0,1，,方法二由圖知，無論e點在哪個位置，,平面向量數(shù)量積的三種運算方法 (1)當已知向量的模和夾角時，可利用定義法求解， 即ab|a|b|cosa，b. (2)當已知向量的坐標時，可利用坐標法求解，即若a(x1，y

6、1)，b(x2，y2)，則abx1x2y1y2. (3)利用數(shù)量積的幾何意義求解.,思維升華,答案,解析,a.30 b.45 c.60 d.120,又0abc180，abc30.,答案,解析,在等腰梯形abcd中，abdc,ab2，bc1,abc60,cd1，,題型二平面向量數(shù)量積的應用,答案,解析,命題點1求向量的模,2,答案,解析,即動點d的軌跡為以點c為圓心的單位圓.,例3(1)已知單位向量e1與e2的夾角為，且cos ，向量a3e12e2 與b3e1e2的夾角為，則cos _.,答案,解析,命題點2求向量的夾角,因為b2(3e1e2)2923112cos 18，所以|b| ，,因為a2

7、(3e12e2)2923212cos 49，所以|a|3，,2a3b與c的夾角為鈍角，(2a3b)c0， 即(2k3，6)(2,1)0，4k660，k3. 又若(2a3b)c，則2k312，即k . 當k 時，2a3b(12，6)6c， 即2a3b與c反向. 綜上，k的取值范圍為 .,(2)若向量a(k,3)，b(1,4)，c(2,1)，已知2a3b與c的夾角為鈍角， 則k的取值范圍是_.,答案,解析,思維升華,平面向量數(shù)量積求解問題的策略 (1)求兩向量的夾角：cos ，要注意0，. (2)兩向量垂直的應用：兩非零向量垂直的充要條件是abab0|ab|ab|. (3)求向量的模：利用數(shù)量積求

8、解長度問題的處理方法有：,跟蹤訓練2(1)(2016江西高安中學等九校聯(lián)考)已知平面向量a，b滿足a(ab)5，且|a|2，|b|1，則向量a與b的夾角的正切值為,答案,解析,a(ab)5，即a2ab5ab1，,答案,解析,(1)若mn，求tan x的值；,例4(2015廣東)在平面直角坐標系xoy中，已知向量m ， n(sin x，cos x)，x .,題型三平面向量與三角函數(shù),解答,所以sin xcos x，所以tan x1.,(2)若m與n的夾角為 ，求x的值.,解答,平面向量與三角函數(shù)的綜合問題的解題思路 (1)題目條件給出向量的坐標中含有三角函數(shù)的形式，運用向量共線或垂直或等式成立等

9、，得到三角函數(shù)的關系式，然后求解. (2)給出用三角函數(shù)表示的向量坐標，要求的是向量的?；蛘咂渌蛄康谋磉_形式，解題思路是經(jīng)過向量的運算，利用三角函數(shù)在定義域內(nèi)的有界性，求得值域等.,思維升華,由題意知6sin2cos (5sin 4cos )0， 即6sin25sin cos 4cos20， 上述等式兩邊同時除以cos2，得6tan25tan 40， 由于 ， 則tan 0，解得tan ，故選a.,答案,解析,由題意得，|a|1，又oab是以o為直角頂點的等腰直角三角形，,答案,解析,1,所以|ab|2|a|2|b|22，,利用數(shù)量積求向量夾角,現(xiàn)場糾錯系列6,錯解展示,糾錯心得,典例已知直

10、線y2x上一點p的橫坐標為a，直線外有兩個點a(1,1)，b(3,3).求使向量 與 夾角為鈍角的充要條件.,現(xiàn)場糾錯,返回,解錯解中，cos 0包含了，即 反向的情況，此時a1， 故 夾角為鈍角的充要條件是0a2且a1.,返回,利用數(shù)量積的符號判斷兩向量夾角的范圍時，不要忽視兩向量共線的情況.,返回,課時作業(yè),a.x b.x1 c.x5 d.x0,1.(2016北師大附中模擬)已知向量a(x1,2)，b(2,1)，則ab的充要條件是,答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,a.2 b.2 c.4 d.12,2.若向量a，b滿足|a|b|2，a與b的夾角為60，則|a

11、b|等于,答案,解析,|ab|2|a|2|b|22|a|b|cos 60 44222 12， |ab| .,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,3.(2016山西四校二聯(lián))已知平面向量a，b滿足a(ab)3，且|a|2，|b|1，則向量a與b夾角的正弦值為,答案,解析,a(ab)a2ab2221cosa，b42cosa，b3， cosa，b ， 又a，b0，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,a.正三角形 b.直角

12、三角形 c.等腰三角形 d.等腰直角三角形,答案,解析,所以abc是等腰三角形，故選c.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,答案,解析,如圖所示，取bc的中點d，連接ad，od， 則由平面向量的加法的幾何意義得,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,7.在abc中，m是bc的中點，am3，點p在am上，且滿足 ，則 的值為_.,4,答案,解析,由題意得，ap2，pm1，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,答案,解析,由三角形面積公式及已知條件知,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,9.(2016江

13、西白鷺洲中學調(diào)研)已知在直角三角形abc中，acb90，acbc2，點p是斜邊ab上的中點，則 _.,4,由題意可建立如圖所示的坐標系， 可得a(2,0)，b(0,2)，p(1,1)，c(0，0)，,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,13,建立如圖所示坐標系，,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,11.(2016江西玉山一中模擬)已知向量a，b滿足|a|1，|b|2，a與b的夾角為60. (1)若(kab)(ab)，求k的值；,解答,(kab)(ab)，(kab)(ab)0， ka2(k1)abb20， |a|1，|b|2，a，b60，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,(2)若|kab|2，求k的取值范圍.,解答,k22k0，0k2.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,(1)求sin a的值；,解答,12.在abc中，角a，b，c的對邊分別為a，b，c，向量m(cos(ab)，sin(ab)，n(cos b，sin b)，且mn .,因為0a，,1,2,3,