1、3.2第一課時(shí)空間向量與平行、垂直關(guān)系預(yù)習(xí)課本P102108，思考并完成以下問(wèn)題1平面的法向量的定義是什么？2設(shè)直線l的方向向量u(a1，b1，c1)，平面的法向量v(a2，b2，c2)，則l，l的充要條件分別是什么？1平面的法向量(1)直線的方向向量直線的方向向量是指和這條直線平行或共線的向量(2)平面的法向量直線l，取直線l的方向向量a，則a叫做平面的法向量2空間平行關(guān)系的向量表示(1)線線平行設(shè)直線l，m的方向向量分別為a(a1，b1，c1)，b(a2，b2，c2)，則lmababa1a2，b1b2，c1c2(R)(2)線面平行設(shè)直線l的方向向量為a(a1，b1，c1)，平面的法向量為u

2、(a2，b2，c2)，則lauau0a1a2b1b2c1c20.(3)面面平行設(shè)平面，的法向量分別為u(a1，b1，c1)，v(a2，b2，c2)，則uvuva1a2，b1b2，c1c2(R)3空間垂直關(guān)系的向量表示(1)線線垂直設(shè)直線l的方向向量為a(a1，a2，a3)，直線m的方向向量為b(b1，b2，b3)，則lmab0a1b1a2b2a3b30.(2)線面垂直設(shè)直線l的方向向量是a(a1，b1，c1)，平面的法向量是u(a2，b2，c2)，則lauaua1a2，b1b2，c1c2(R)(3)面面垂直若平面的法向量u(a1，b1，c1)，平面的法向量v(a2，b2，c2)，則 uvuv0

3、a1a2b1b2c1c20.1判斷下列命題是否正確(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“”)(1)直線l的方向向量是惟一的()(2)若點(diǎn)A，B是平面上的任意兩點(diǎn)，n是平面的法向量，則n0()(3)若向量n1，n2為平面的法向量，則以這兩個(gè)向量為方向向量的兩條不重合直線一定平行()答案：(1)(2)(3)2若A(1,0，1)，B(2,1,2)在直線l上，則直線l的一個(gè)方向向量是()A(2,2,6)B(1,1,3)C(3,1,1) D(3,0,1)答案：A3設(shè)直線l1，l2的方向向量分別為a(2,2,1)，b(3，2，m)，若l1l2，則m等于()A2 B2C6 D10答案：D求平面的法向量典例已知平面經(jīng)過(guò)三

4、點(diǎn)A(1,2,3)，B(2,0，1)，C(3，2,0)，求平面的一個(gè)法向量解因?yàn)锳(1,2,3)，B(2,0，1)，C(3，2,0)，所以(1，2，4)，(2，4，3)設(shè)平面的法向量為n(x，y，z)，則有即得z0，x2y，令y1，則x2，所以平面的一個(gè)法向量為n(2,1,0)利用待定系數(shù)法求法向量的解題步驟活學(xué)活用四邊形ABCD是直角梯形，ABC90，SA平面ABCD，SAABBC2，AD1.在如圖所示的坐標(biāo)系A(chǔ)xyz中，分別求平面SCD和平面SAB的一個(gè)法向量解：A(0,0,0)，D(1,0,0)，C(2,2,0)，S(0,0,2)AD平面SAB，(1,0,0)是平面SAB的一個(gè)法向量設(shè)平

5、面SCD的法向量為n(1，y，z)，則n(1，y，z)(1,2,0)12y0，y.又n(1，y，z)(1,0,2)12z0，z.n即為平面SCD的一個(gè)法向量.用空間向量證明平行問(wèn)題典例已知正方體ABCDA1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2，E，F(xiàn)分別是BB1，DD1的中點(diǎn)，求證：(1)FC1平面ADE；(2)平面ADE平面B1C1F.證明如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz，則有D(0,0,0)，A(2,0,0)，C1(0,2,2)，E(2,2,1)，F(xiàn)(0,0,1)，B1(2，2,2)，所以(0,2,1)，(2,0,0)，(0,2,1)(1)設(shè)n1(x1，y1，z1)是平面ADE的法向量，則n1，n1，

6、即得令z12，則y11，所以n1(0，1,2)因?yàn)閚1220，所以n1.又因?yàn)镕C1平面ADE，所以FC1平面ADE.(2)因?yàn)?2,0,0)，設(shè)n2(x2，y2，z2)是平面B1C1F的一個(gè)法向量由n2，n2，得得令z22，得y21，所以n2(0，1,2)，因?yàn)閚1n2，所以平面ADE平面B1C1F.利用向量法證明平行問(wèn)題的兩種途徑(1)利用三角形法則和平面向量基本定理實(shí)現(xiàn)向量間的相互轉(zhuǎn)化，得到向量的共線關(guān)系；(2)通過(guò)建立空間直角坐標(biāo)系，借助直線的方向向量和平面的法向量進(jìn)行平行關(guān)系的證明活學(xué)活用在長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1中，AB4，AD3，AA12，P，Q，R，S分別是AA1，D1C

7、1，AB，CC1的中點(diǎn)求證：PQRS.證明：法一：以D為原點(diǎn)，DA，DC，DD1所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Dxyz.則P(3,0,1)，Q(0,2,2)，R(3,2,0)，S(0,4,1)，(3,2,1)，(3,2,1)，即PQRS.法二：，即RSPQ.利用空間向量證明垂直問(wèn)題典例如圖，在四棱錐EABCD中，AB平面BCE，CD平面BCE，ABBCCE2CD2，BCE120.求證：平面ADE平面ABE.證明取BE的中點(diǎn)O，連接OC，則OCEB，又AB平面BCE，以O(shè)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz.如圖所示則由已知條件有C(1,0,0)，E(0，0)，D(1,

8、0,1)，A(0，2)設(shè)平面ADE的法向量為n(a，b，c)，則n(a，b，c)(0,2，2)2b2c0，n(a，b，c)(1，1)abc0.令b1，則a0，c，n(0,1，)，又AB平面BCE，ABOC，OC平面ABE，平面ABE的法向量可取為m(1,0,0)nm(0,1，)(1,0,0)0，nm，平面ADE平面ABE.(1)用向量法判定線面垂直，只需直線的方向向量與平面的法向量平行或直線的方向向量與平面內(nèi)兩相交的直線的方向向量垂直(2)用向量法判定兩個(gè)平面垂直，只需求出這兩個(gè)平面的法向量，再看它們的數(shù)量積是否為0.活學(xué)活用在正方體ABCDA1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為BB1，D1B1的中

9、點(diǎn)，求證：EF平面B1AC.證明：設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Dxyz，則A(2,0,0)，C(0,2,0)，B1(2,2,2)，E(2，2,1)，F(xiàn)(1,1,2)法一：(1，1,1)，(0,2,2)，(2,2,0)，(1，1,1)(0,2,2)0，(1，1,1)(2,2,0)0，EFAB1，EFAC，又AB1ACA，EF平面B1AC.法二：設(shè)平面B1AC的法向量為n(x，y，z)又(0,2,2)，(2,2,0)，則令x1，可得平面B1AC的一個(gè)法向量為n(1,1，1)又n，n，EF平面B1AC.層級(jí)一學(xué)業(yè)水平達(dá)標(biāo)1若n(2，3,1)是平面的一個(gè)法向量，則下列向量中能作為平

10、面的法向量的是()A(0，3,1)B(2,0,1)C(2，3,1) D(2,3，1)解析：選D問(wèn)題即求與n共線的一個(gè)向量即n(2，3，1)(2,3，1)2已知直線l與平面垂直，直線l的一個(gè)方向向量為u(1，3，z)，向量v(3，2,1)與平面平行，則z等于()A3 B6C9 D9解析：選Cl，v與平面平行，uv，即uv0，1332z10，z9.3已知A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，則平面ABC的一個(gè)法向量是()A(1,1，1) B(1，1,1)C(1,1,1) D(1，1，1)解析：選D(1,1,0)，(1,0,1)設(shè)平面ABC的法向量為n(x，y，z)，則有取x1，則y

11、1，z1.故平面ABC的一個(gè)法向量是(1，1，1)4在正方體ABCDA1B1C1D1中，若E為A1C1的中點(diǎn)，則直線CE垂直于()AACBBDCA1DDA1A解析：選B建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1.則A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，D(0,0,0)，A1(1,0,1)，C1(0,1,1)，E，(1,1,0)，(1，1,0)，(1,0，1)，(0,0，1)(1)(1)010，CEBD.5.如圖，在平行六面體ABCDA1B1C1D1中，點(diǎn)M，P，Q分別為棱AB，CD，BC的中點(diǎn)，平行六面體的各棱長(zhǎng)均相等給出下列結(jié)論：A1MD1P；A1MB1Q；A1M平面DC

12、C1D1；A1M平面D1PQB1.這四個(gè)結(jié)論中正確的個(gè)數(shù)為()A1 B2C3 D4解析：選C，從而A1MD1P，可得正確又B1Q與D1P不平行，故不正確6. 已知點(diǎn)P是平行四邊形ABCD所在的平面外一點(diǎn)，如果(2，1，4)，(4,2,0)，(1,2，1)對(duì)于結(jié)論：APAB；APAD；是平面ABCD的法向量；.其中正確的是_(填序號(hào))解析：由于12(1)2(4)(1)0，4(1)220(1)0，所以正確答案：7在直角坐標(biāo)系Oxyz中，已知點(diǎn)P(2cos x1,2cos 2x2,0)和點(diǎn)Q(cos x，1,3)，其中x0，若直線OP與直線OQ垂直，則x的值為_(kāi)解析：由OPOQ，得0.即(2cos

13、x1)cos x(2cos 2x2)(1)0.cos x0或cos x.x0，x或x.答案：或8.如圖所示，在直三棱柱ABCA1B1C1中，底面是以ABC為直角的等腰三角形，AC2a，BB13a，D是A1C1的中點(diǎn)，點(diǎn)E在棱AA1上，要使CE面B1DE，則AE_.解析：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則B1(0,0,3a)，C(0，a,0)，D，3a.設(shè)E(a,0，z)(0z3a)，則，(a,0，z3a)，.又a2a200，故由題意得2a2z23az0，解得za或2a.故AEa或2a.答案：a或2a9.如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD底面ABCD，PDDC，E為PC的中

14、點(diǎn)，EFBP于點(diǎn)F.求證：(1)PA平面EDB；(2)PB平面EFD.證明：以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DC，DP所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz，如圖，設(shè)DCPD1，則P(0,0,1)，A(1,0,0)，D(0,0,0)，B(1,1,0)，E.(1,1，1)，設(shè)F(x，y，z)，則(x，y，z1)，.，x0，即xyz0.又，可設(shè)，x，y，z1.由可知，x，y，z，.(1)設(shè)n1(x1，y1，z1)為平面EDB的一個(gè)法向量，則有即取z11，則n1(1,1，1)(1,0，1)，n10.又PA平面EDB，PA平面EDB.(2)設(shè)n2(x2，y2，z2)為平面EFD的一個(gè)法向量，則

15、有即取z21，則n2(1，1,1)n2，PB平面EFD.10已知在長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1中，E，M分別是BC，AE的中點(diǎn)，ADAA1a，AB2a.試問(wèn)在線段CD1上是否存在一點(diǎn)N使MN平面ADD1A1，若存在確定N的位置，若不存在說(shuō)明理由解：以D為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A(a，0,0)，B(a,2a,0)，C(0，2a,0)，D1(0,0，a)，E，M，(0,2a,0)，(0，2a，a)，假設(shè)CD1上存在點(diǎn)N使MN平面ADD1A1并設(shè)1(0，2a，a)(00)，a，PA平面xOy，則在RtPBO中，|PB|sina，im，在RtPCO中，|OC|cosa，j，|AB|，

16、在RtPAB中，|PA| ，|OD|，在RtPDO中，cosa，k，又0a，k180，a，k60.8.如圖，在正四棱柱ABCD A1B1C1D1中，AA12，ABBC1，動(dòng)點(diǎn)P，Q分別在線段C1D，AC上，則線段PQ長(zhǎng)度的最小值是()A. B.C. D.解析：選C建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，C1(0,1,2)設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0，2)，0,1，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(1，0)，0,1，PQ，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)，線段PQ的長(zhǎng)度取得最小值.二、填空題(本大題共7小題，多空題每空3分，單空題每題4分，共36分)9已知向量a(1,2,3)，b(2，4，6)，|c|，若(ab)c7，則a與c的夾角為_(kāi)