1、8.2空間幾何體的表面積、體積考綱展示1.掌握與三視圖相結(jié)合求解柱、錐、臺、球的表面積和體積，了解計算公式2會處理棱柱、棱錐與球組合體的“接”“切”問題考點(diǎn)1幾何體的表面積1.柱、錐、臺和球的側(cè)面積和體積面積圓柱S側(cè)_圓錐S側(cè)_圓臺S側(cè)(r1r2)l直棱柱S側(cè)_正棱錐S側(cè)_正棱臺S側(cè)(cc)h球S球面_答案：2rhrlChCh4R22幾何體的表面積(1)棱柱、棱錐、棱臺的表面積就是_(2)圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面展開圖分別是_、_、_；它們的表面積等于_與底面面積之和答案：(1)各面面積之和(2)矩形扇形扇環(huán)側(cè)面積側(cè)面展開圖：關(guān)注展開圖的形狀(1)若圓錐的底面半徑為1，高為，則圓錐的側(cè)面積等于_

2、答案：2解析：圓錐的母線長為2，故所求側(cè)面積S222.(2)圓臺的上下底面圓的半徑分別為1,2，高為1，則圓臺的側(cè)面積等于_答案：3解析：圓臺的母線長為，所以所求側(cè)面積S(12)3.典題1(1)2017湖北七校聯(lián)考如圖，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AB1，AA12，點(diǎn)P是平面A1B1C1D1內(nèi)的一個動點(diǎn)，則三棱錐PABC的正視圖與俯視圖的面積之比的最大值為()A1 B2 C. D.答案B解析由題意知，三棱錐PABC的正視圖是一個底為1，高為2的三角形，其面積為1，而當(dāng)P在底面ABCD內(nèi)的投影在ABC的內(nèi)部或邊界上時，其俯視圖的面積最小，最小值為，此時，三棱錐PABC的正視圖與俯視圖的

3、面積之比的最大值為2.故選B.(2) 2015新課標(biāo)全國卷圓柱被一個平面截去一部分后與半球(半徑為r)組成一個幾何體，該幾何體三視圖中的正視圖和俯視圖如圖所示若該幾何體的表面積為1620，則r()A1 B2C4 D8答案B解析如圖，該幾何體是一個半球與一個半圓柱的組合體，球的半徑為r，圓柱的底面半徑為r，高為2r，則表面積S4r2r24r2r2r(54)r2.又S1620， (54)r21620， r24，r2，故選B.點(diǎn)石成金求解幾何體面積的常見策略(1)已知幾何體的三視圖求其表面積，一般是先根據(jù)三視圖判斷空間幾何體的形狀，再根據(jù)題目所給數(shù)據(jù)與幾何體的表面積公式，求其表面積(2)多面體的表面

4、積是各個面的面積之和，組合體的表面積應(yīng)注意重合部分的處理(3)圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面是曲面，計算側(cè)面積時需要將這個曲面展開成平面圖形來計算，而表面積是側(cè)面積與底面圓的面積之和.1.2017安徽江南十校聯(lián)考某幾何體的三視圖如圖所示，其中側(cè)視圖的下半部分曲線為半圓弧，則該幾何體的表面積為()A4164 B5164C4162 D5162答案：D解析：由三視圖可知，該幾何體是一個正三棱柱和一個半圓柱的組合體，三棱柱的兩個側(cè)面面積之和為24216，兩個底面面積之和為222；半圓柱的側(cè)面積為44，兩個底面面積之和為212，所以幾何體的表面積為5162，故選D.2一個幾何體的三視圖及其相關(guān)數(shù)據(jù)如圖所示，則這

5、個幾何體的表面積為_答案：3解析：這個幾何體是一個圓臺被軸截面割出來的一半根據(jù)圖中數(shù)據(jù)可知，圓臺的上底面半徑為1，下底面半徑為2，高為，母線長為2，幾何體的表面積是兩個半圓的面積、圓臺側(cè)面積的一半和軸截面的面積之和，故這個幾何體的表面積為S1222(12)2(24)3.考點(diǎn)2幾何體的體積 體積圓柱V_r2h圓錐V_r2hr2圓臺V(S上S下)h(rrr1r2)h直棱柱V_正棱錐V_正棱臺V(S上S下)h球VR3答案：ShShShSh空間幾何體表面積和體積的求解：公式法(1)圓柱的底面半徑為1，高為2，若該圓柱內(nèi)接于球O，則球O的表面積是_答案：12解析：過圓柱的上、下底面圓的圓心作截面，在該截

6、面圖中，易求得球O的半徑R，所以球O的表面積S4R212.(2)側(cè)棱垂直于底面的棱柱叫作直棱柱，已知直四棱柱的底面是正方形，其所有棱長之和為12，表面積為6，則其體積為_答案：1解析：設(shè)該直四棱柱的底面邊長為a，高為b，則有即解得角度一以三視圖為背景的幾何體的體積典題2(1)2017河北石家莊一模某幾何體的三視圖如圖所示，圖中網(wǎng)格小正方形邊長為1，則該幾何體的體積是()A4 B. C. D12答案B解析由三視圖可得，該幾何體是一個五面體ABHGEF(如圖)，長方體ABCDA1B1C1D1中，AB4，BC2，CC12，D1EFC1DGHC1，連接AF，AH，則該幾何體的體積是VAEFHGVFAB

7、H222422.(2)一個幾何體的三視圖如圖所示，則它的體積為()A. B. C20 D40答案B解析由幾何體的三視圖可知，該空間幾何體是一個四棱錐，其直觀圖如圖所示其體積為(14)44.角度二求幾何體的體積典題3如圖，在多面體ABCDEF中，已知ABCD是邊長為1的正方形，且ADE，BCF均為正三角形，EFAB，EF2，則該多面體的體積為()A. B. C. D.答案A解析如圖，分別過點(diǎn)A，B作EF的垂線，垂足分別為G，H，連接DG，CH，容易求得EGHF，AGGDBHHC，SAGDSBHC1，VVEADGVFBHCVAGDBHC2VEADGVAGDBHC21.故選A.點(diǎn)石成金空間幾何體體積

8、問題的常見類型及解題策略(1)若所給定的幾何體是可直接用公式求解的柱體、錐體或臺體，則可直接利用公式進(jìn)行求解(2)若所給定的幾何體的體積不能直接利用公式得出，則常用轉(zhuǎn)換法、分割法、補(bǔ)形法等方法進(jìn)行求解(3)若以三視圖的形式給出幾何體，則應(yīng)先根據(jù)三視圖得到幾何體的直觀圖，然后根據(jù)條件求解考點(diǎn)3與球有關(guān)的切、接問題幾個與球有關(guān)的切、接常用結(jié)論a正方體的棱長為a，球的半徑為R，若球?yàn)檎襟w的外接球，則2Ra；若球?yàn)檎襟w的內(nèi)切球，則2Ra；若球與正方體的各棱相切，則2Ra.b若長方體的同一頂點(diǎn)的三條棱長分別為a，b，c，外接球的半徑為R，則2R.c正四面體的外接球與內(nèi)切球的半徑之比為31.典題4(1

9、)已知三棱錐SABC的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上，ABC是邊長為1的正三角形，SC為球O的直徑，且SC2，則此棱錐的體積為()A. B. C. D.答案A解析設(shè)ABC外接圓的圓心為O1，則|OO1|.三棱錐SABC的高為2|OO1|.所以三棱錐SABC的體積V.故選A.(2)2017遼寧撫順模擬已知直三棱柱ABCA1B1C1的6個頂點(diǎn)都在球O的球面上，若AB3，AC4，ABAC，AA112，則球O的半徑為()A. B2C. D3答案C解析如圖所示，由球心作平面ABC的垂線，則垂足為BC的中點(diǎn)M.又AMBC，OMAA16，所以球O的半徑ROA .題點(diǎn)發(fā)散1本例(2)若將直三棱柱改為“棱長為4的正方

10、體”，則此正方體外接球和內(nèi)切球的體積各是多少？解：由題意可知，此正方體的體對角線長即為其外接球的直徑，正方體的棱長即為其內(nèi)切球的直徑設(shè)該正方體外接球的半徑為R，內(nèi)切球的半徑為r.又正方體的棱長為4，故其體對角線長為4，從而V外接球R3(2)332，V內(nèi)切球r323.題點(diǎn)發(fā)散2本例(2)若將直三棱柱改為“正四面體”，則此正四面體的表面積S1與其內(nèi)切球的表面積S2的比值為多少？解：設(shè)正四面體棱長為a，則正四面體表面積為S14a2a2，其內(nèi)切球半徑r為正四面體高的，即raa，因此內(nèi)切球表面積為S24r2，則.題點(diǎn)發(fā)散3本例(2)中若將直三棱柱改為“側(cè)棱和底面邊長都是3的正四棱錐”，則其外接球的半徑是

11、多少？解：依題意得，該正四棱錐的底面對角線的長為36，高為 3，因此底面中心到各頂點(diǎn)的距離均等于3，所以該正四棱錐的外接球的球心即為底面正方形的中心，其外接球的半徑為3.點(diǎn)石成金1.正方體的內(nèi)切球的直徑為棱長，外接球的直徑為正方體的體對角線的長此問題也適合長方體，或由同一頂點(diǎn)出發(fā)的兩兩互相垂直的三條棱構(gòu)成的三棱柱或三棱錐2直棱柱外接球的球心到直棱柱底面的距離恰為棱柱高的.求球的半徑關(guān)鍵是找到由球的半徑構(gòu)成的三角形，解三角形即可求球的半徑3若正四面體的高為h，其內(nèi)切球的半徑為r，外接球的半徑為R，則rh，Rh.4球與旋轉(zhuǎn)體的組合通常作出它們的軸截面解題5球與多面體的組合，通常過多面體的一條側(cè)棱和

12、球心，或“切點(diǎn)”“接點(diǎn)”作出截面圖，把空間問題化歸為平面問題. 2017江西師大附中模擬已知邊長為2的菱形ABCD中，BAD60，沿對角線BD折成二面角ABDC的大小為120的四面體，則四面體的外接球的表面積為_答案：28解析：如圖，取BD的中點(diǎn)E，連接AE，CE.由已知條件可知，平面ACE平面BCD.易知外接球球心在平面ACE內(nèi)，如圖，在CE上取點(diǎn)G.使CG2GE，過點(diǎn)G作l1垂直于CE，過點(diǎn)E作l2垂直于AC，設(shè)l1與l2交于點(diǎn)O，連接OA，OC，則OAOC，易知O即為球心分別解OCG，EGO，可得ROC，外接球的表面積為28. 真題演練集訓(xùn) 12016新課標(biāo)全國卷在封閉的直三棱柱ABCA

13、1B1C1內(nèi)有一個體積為V的球若ABBC，AB6，BC8，AA13，則V的最大值是()A4 B. C6 D.答案：B解析：由題意可得，若V最大，則球與直三棱柱的部分面相切，若與三個側(cè)面都相切，可求得球的半徑為2，球的直徑為4，超過直三棱柱的高，所以這個球放不進(jìn)去，則球可與上下底面相切，此時球的半徑R，該球的體積最大，VmaxR3.22015安徽卷一個四面體的三視圖如圖所示，則該四面體的表面積是()A1 B2C12 D2答案：B解析：根據(jù)三視圖還原幾何體如圖所示，其中側(cè)面ABD底面BCD，另兩個側(cè)面ABC，ACD為等邊三角形，則有S表面積2212()22.故選B.32014新課標(biāo)全國卷如圖，網(wǎng)格

14、紙上正方形小格的邊長為1(表示1 cm)，圖中粗線畫出的是某零件的三視圖，該零件由一個底面半徑為3 cm，高為6 cm的圓柱體毛坯切削得到，則切削掉部分的體積與原來毛坯體積的比值為()A. B. C. D.答案：C解析：原毛坯的體積V(32)654，由三視圖可知該零件為兩個圓柱的組合體，其體積VV1V2(22)4(32)234，故所求比值為1.42014湖南卷一塊石材表示的幾何體的三視圖如圖所示將該石材切削、打磨，加工成球，則能得到的最大球的半徑等于()A1 B2 C3 D4答案：B解析：該幾何體為直三棱柱，底面是邊長分別為6,8,10的直角三角形，側(cè)棱長為12，故能得到的最大球的半徑等于底面

15、直角三角形內(nèi)切圓的半徑，其半徑為r2，故選B. 課外拓展閱讀 空間幾何體表面上的最值問題所謂空間幾何體表面上的最值問題，是指空間幾何體表面上的兩點(diǎn)之間的最小距離或某些點(diǎn)到某一個定點(diǎn)的距離之和的最值問題典例如圖，在長方體ABCDA1B1C1D1中，AB3，BC4，CC15，則沿著長方體表面從A到C1的最短路線長為_審題視角將此長方體沿某一條側(cè)棱剪開，得到展開圖，求展開圖中AC1的平面距離即可，注意對不同情況的討論解析在長方體的表面上從A到C1有三種不同的展開圖(1)將平面ADD1A1繞著A1D1折起，得到的平面圖形如圖所示則AB1538，B1C14，連接AC1，在RtAB1C1中，AC14.(2)將平面ABB1A1繞著A1B1折起，得到的平面圖形如圖所示則BC1549，AB3，連接AC1，在