1、3.4定積分與微積分基本定理考綱展示1.了解定積分的實(shí)際背景，了解定積分的基本思想，了解定積分的概念2了解微積分基本定理的含義考點(diǎn)1定積分的計(jì)算1.定積分的定義一般地，如果函數(shù)f(x)在區(qū)間a，b上連續(xù)，用分點(diǎn)ax0x1xi1xixnb，將區(qū)間a，b等分成n個(gè)小區(qū)間，在每個(gè)小區(qū)間xi1，xi上任取一點(diǎn)i(i1，2，n)，作和式(i)xf(i)，當(dāng)n時(shí)，上述和式無限接近某個(gè)_，這個(gè)_叫做函數(shù)f(x)在區(qū)間a，b上的定積分，記作f(x)dx.答案：常數(shù)常數(shù)2定積分的相關(guān)概念在f(x)dx中，_與_分別叫做積分下限與積分上限，區(qū)間_叫做積分區(qū)間，函數(shù)_叫做被積函數(shù)，_叫做積分變量，_叫做被積式答案：

2、aba，bf(x)xf(x)dx3定積分的性質(zhì)(1)kf(x)dx_(k為常數(shù))；(2)f1(x)f2(x)dx_；(3)_f(x)dxf(x)dx(其中ac0)所圍成的曲邊梯形的面積為(kxx2)dxk3，即k38，k2.點(diǎn)石成金1.利用定積分求曲線圍成圖形的面積的步驟：(1)畫出圖形；(2)確定被積函數(shù)；(3)確定積分的上、下限，并求出交點(diǎn)坐標(biāo)；(4)運(yùn)用微積分基本定理計(jì)算定積分，求出平面圖形的面積2求解時(shí)，注意要把定積分與利用定積分計(jì)算的曲線圍成圖形的面積區(qū)別開：定積分是一個(gè)數(shù)值(極限值)，可為正，可為負(fù)，也可為零，而平面圖形的面積在一般意義上總為正.1.由曲線ysin x，ycos x

3、與直線x0，x所圍成的平面圖形的面積是()A1B C.D22答案：D解析：由sin xcos x，解得x，故圖中陰影部分的面積S (cos xsin x)dx (sin xcos x)dx(sin xcos x) (cos xsin x)sin cos cos 022.(本題也可利用圖形的對稱性求解)22017山東日照模擬如圖，由兩條曲線yx2，yx2及直線y1所圍成的平面圖形的面積為_答案：解析：由 得交點(diǎn)A(1，1)，B(1，1)由 得交點(diǎn)C(2，1)，D(2，1)面積S22.考點(diǎn)3定積分在物理中的應(yīng)用典題32017湖北武漢調(diào)研一輛汽車在高速公路上行駛，由于遇到緊急情況而剎車，以速度v(t

4、)73t(t的單位：s，v的單位：m/s)行駛至停止在此期間汽車?yán)^續(xù)行駛的距離(單位：m)是()A125ln 5 B825ln C425ln 5 D450ln 2答案C解析令v(t)0，得t4或t(舍去)，汽車行駛距離sdt282425ln 5425ln 5(m)點(diǎn)石成金定積分在物理中的兩個(gè)應(yīng)用(1)變速直線運(yùn)動(dòng)的位移：如果變速直線運(yùn)動(dòng)物體的速度為vv(t)，那么從時(shí)刻ta到tb所經(jīng)過的路程sv(t)dt.(2)變力做功：一物體在變力F(x)的作用下，沿著與F(x)相同方向從xa移動(dòng)到xb時(shí)，力F(x)所做的功是WF(x)dx.一物體在力F(x)(單位：N)的作用下沿與力F相同的方向，從x0處

5、運(yùn)動(dòng)到x4(單位：m)處，則力F(x)做的功為_焦答案：36解析：由題意知，力F(x)所做的功為WF(x)dx5dx(3x4)dx521036(焦)方法技巧1.求定積分的方法(1)利用定義求定積分(定義法)，可操作性不強(qiáng)(2)利用微積分基本定理求定積分步驟如下：求被積函數(shù)f(x)的一個(gè)原函數(shù)F(x)；計(jì)算F(b)F(a)(3)利用定積分的幾何意義求定積分2求曲邊多邊形面積的步驟(1)畫出草圖，在直角坐標(biāo)系中畫出曲線或直線的大致圖形(2)借助圖形確定被積函數(shù)，求出交點(diǎn)坐標(biāo)，確定積分的上限、下限(3)將曲邊梯形的面積表示為若干個(gè)定積分之和(4)計(jì)算定積分易錯(cuò)防范1.被積函數(shù)若含有絕對值號，應(yīng)先去絕

6、對值號，再分段積分2若積分式子中有幾個(gè)不同的參數(shù)，則必須先分清誰是被積變量3定積分式子中隱含的條件是積分上限大于積分下限4定積分的幾何意義是曲邊梯形的面積，但要注意：面積非負(fù)，而定積分的結(jié)果可以為負(fù)5將要求面積的圖形進(jìn)行科學(xué)而準(zhǔn)確的劃分，可使面積的求解變得簡捷 真題演練集訓(xùn) 12014陜西卷定積分(2xex)dx的值為()Ae2Be1Ce De1答案：C解析：(2xex)dx(x2ex) (1e)(0e0)e，故選C.22014山東卷直線y4x與曲線yx3在第一象限內(nèi)圍成的封閉圖形的面積為()A2B4C2D4答案：D解析：由4xx3，解得x0或x2或x2(舍去)，根據(jù)定積分的幾何意義可知，直線

7、y4x與曲線yx3在第一象限內(nèi)圍成的封閉圖形的面積為(4xx3)dx4.32015天津卷曲線yx2與直線yx所圍成的封閉圖形的面積為_答案：解析：如圖，陰影部分的面積即為所求由得A(1,1)故所求面積為S(xx2)dx|.42015湖南卷(x1)dx_.答案：0解析：(x1)dx(22)00.52015陜西卷如圖，一橫截面為等腰梯形的水渠，因泥沙沉積，導(dǎo)致水渠截面邊界呈拋物線型(圖中虛線所示)，則原始的最大流量與當(dāng)前最大流量的比值為_答案：1.2解析：建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系由拋物線過點(diǎn)(0，2)，(5,0)，(5,0)，得拋物線的函數(shù)表達(dá)式為yx22，拋物線與x軸圍成的面積S15dx，梯形面積S216.最大流量比為S2S11.2. 課外拓展閱讀 探究定積分與不等式交匯問題典例2016湖南長沙模擬如圖，矩形OABC內(nèi)的陰影部分是由曲線f(x)sin x；x(0，)及直線xa，a(0，)與x軸圍成，向矩形OABC內(nèi)隨機(jī)投擲一點(diǎn)，若落在陰影部分的概率為，則a的值是()A.B C.D審題視角先運(yùn)用定積分求出陰影部分的面積，再利用幾何概型概率計(jì)