1、2.8函數(shù)與方程考綱展示1.結(jié)合二次函數(shù)的圖象，了解函數(shù)的零點與方程根的聯(lián)系，判斷一元二次方程根的存在性及根的個數(shù)2根據(jù)具體函數(shù)的圖象，能夠用二分法求相應(yīng)方程的近似解考點1函數(shù)零點所在區(qū)間的判定1.函數(shù)零點的定義對于函數(shù)yf(x)，把使_成立的實數(shù)x叫做函數(shù)yf(x)的零點答案：f(x)02幾個等價關(guān)系方程f(x)0有實數(shù)根函數(shù)yf(x)的圖象與_有交點函數(shù)yf(x)有_答案：x軸零點3函數(shù)零點的判定(零點存在性定理)如果函數(shù)yf(x)在區(qū)間a，b上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有_，那么函數(shù)yf(x)在區(qū)間_上有零點，即存在c(a，b)，使得_，這個_也就是方程f(x)0的根答案：f(a)

2、f(b)0(a，b)f(c)0c4二分法的定義對于在區(qū)間a，b上連續(xù)不斷且_的函數(shù)yf(x)，通過不斷地把函數(shù)f(x)的零點所在的區(qū)間_，使區(qū)間的兩個端點逐步逼近零點，進而得到零點近似值的方法叫做二分法答案：f(a)f(b)0一分為二函數(shù)零點理解的誤區(qū)：零點的概念；零點的個數(shù)(1)函數(shù)的零點就是函數(shù)的圖象與x軸的_答案：(1)交點的橫坐標解析：函數(shù)的零點不是函數(shù)圖象與x軸的交點，而是圖象與x軸交點的橫坐標，也就是說函數(shù)的零點不是一個點，而是一個實數(shù)(2)若圖象連續(xù)不斷的函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a，b)上單調(diào)且f(a)f(b)0，則函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a，b)上有_零點答案：唯一解析：根據(jù)零點存

3、在性定理可知，函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a，b)上存在零點，再根據(jù)單調(diào)性可得零點唯一二次函數(shù)的零點(1)二次函數(shù)f(x)ax2bxc(a0)存在一個正零點、一個負零點的充要條件是_答案：ac0解析：數(shù)形結(jié)合知，二次函數(shù)f(x)ax2bxc(a0)存在一個正零點、一個負零點的充要條件是af(0)0，即ac0.(2)函數(shù)y(k8)x2x1至多有一個零點，則k的取值范圍為_答案：解析：函數(shù)至多有一個零點，則：當k8時，令x10，即x1，有一個零點，符合題意；當k8時，令14(k8)0，解得k.故k的取值范圍為.典題1(1)2017湖北四地七校聯(lián)盟高三聯(lián)考函數(shù)f(x)xlog2x的零點所在區(qū)間為()A.B

4、C.D答案A解析flog220，即ff0，因此在上至少有一個零點故選A.(2)2017浙江溫州模擬如圖是二次函數(shù)f(x)x2bxa的部分圖象，則函數(shù)g(x)exf(x)的零點所在的大致區(qū)間是()A(1,0)B(0,1)C(1,2)D(2,3)答案B解析由圖象知1，得1b2，f(x)2xb，所以g(x)exf(x)ex2xb，則g(1)2b0，g(0)1b0，所以g(0)g(1)0.故選B.(3)2017浙江嘉興模擬設(shè)函數(shù)yx3與yx2的圖象的交點為(x0，y0)若x0(n，n1)，nN，則x0所在的區(qū)間是_答案(1,2)解析設(shè)f(x)x3x2，則x0是函數(shù)f(x)的零點，在同一坐標系下畫出函數(shù)

5、yx3與yx2的圖象如圖所示因為f(1)1110，所以f(1)f(2)0，所以x0(1,2)點石成金確定函數(shù)f(x)的零點所在區(qū)間的兩種常用方法(1)定義法：使用零點存在性定理，函數(shù)yf(x)必須在區(qū)間a，b上是連續(xù)的，當f(a)f(b)0時，函數(shù)在區(qū)間(a，b)上至少有一個零點(2)圖象法：若一個函數(shù)(或方程)由兩個初等函數(shù)的和(或差)構(gòu)成，則可考慮用圖象法求解，如f(x)g(x)h(x)，作出yg(x)和yh(x)的圖象，其交點的橫坐標即為函數(shù)f(x)的零點考點2判斷函數(shù)零點個數(shù)(1)教材習題改編函數(shù)f(x)ex3x的零點個數(shù)是()A0B1C2D3答案：B(2)教材習題改編用“二分法”求方

6、程x32x50在區(qū)間2,3內(nèi)的實根，取區(qū)間中點為x02.5，那么下一個有根的區(qū)間是_答案：2,2.5函數(shù)零點個數(shù)的判斷方法：直接求零點；零點存在性定理；圖象交點個數(shù)(1)若函數(shù)f(x)axb的一個零點是2，則函數(shù)g(x)bx2ax的零點是_答案：0，解析：因為2ab0，所以g(x)2ax2axax(2x1)，所以零點為0和.(2)給出三個區(qū)間，則函數(shù)f(x)xln x的零點所在的一個區(qū)間是_答案：解析：當x從1趨近于0時，ln x趨近于負無窮大，所以f(x)趨近于負無窮大，而fln10，fln20，f(1)1ln 10，所以函數(shù)的零點所在區(qū)間是.典題2(1)2017安徽合肥模擬若偶函數(shù)f(x)

7、滿足f(x1)f(x1)，且在x0,1時，f(x)x2，則關(guān)于x的方程f(x)x在上的根的個數(shù)是()A1B2C3D4答案C解析因為f(x)為偶函數(shù)，所以當x1,0時，x0,1，所以f(x)x2，即f(x)x2.又f(x1)f(x1)，所以f(x2)f(x1)1f(x1)1f(x)，故f(x)是以2為周期的周期函數(shù)，在同一坐標系中作出函數(shù)yf(x)與yx在上的圖象，如圖所示數(shù)形結(jié)合得兩圖象有3個交點，故方程f(x)x在上有3個根故選C.(2)2017湖南衡陽模擬函數(shù)f(x)的定義域為1,1，圖象如圖所示；函數(shù)g(x)的定義域為2,2，圖象如圖所示，方程f(g(x)0有m個實數(shù)根，方程g(f(x)

8、0有n個實數(shù)根，則mn()A14B12 C10D8答案A解析由題圖可知，若f(g(x)0，則g(x)1或g(x)0或g(x)1，由題圖可知，g(x)1時，x1或x1；g(x)0對應(yīng)的x值有3個；g(x)1時，x2或x2，故m7.若g(f(x)0，則f(x)1.5或f(x)1.5或f(x)0，由題圖知，f(x)1.5與f(x)1.5對應(yīng)的x值各有2個，f(x)0時，x1或x1或x0，故n7，故mn14.故選A.點石成金判斷函數(shù)零點個數(shù)的三種方法(1)解方程法：若對應(yīng)方程f(x)0可解時，通過解方程，則有幾個解就有幾個零點(2)零點存在性定理法：利用定理不僅要判斷函數(shù)在區(qū)間a，b上是連續(xù)不斷的曲線

9、，且f(a)f(b)1時有交點，即函數(shù)g(x)f(x)xm有零點的實數(shù)m的取值范圍是(，0(1，)考點4二次函數(shù)的零點問題二次函數(shù)yax2bxc(a0)的圖象與零點的關(guān)系000圖象與x軸的交點_無交點零點個數(shù)_答案：(x1,0)，(x2,0)(x1,0)210典題4已知函數(shù)f(x)x2ax2，aR.(1)若不等式f(x)0的解集為1,2，求不等式f(x)1x2的解集；(2)若函數(shù)g(x)f(x)x21在區(qū)間(1,2)上有兩個不同的零點，求實數(shù)a的取值范圍解(1)因為不等式f(x)0的解集為1,2，所以a3，于是f(x)x23x2.由f(x)1x2，得2x23x10，解得x或x1，所以不等式f(

10、x)1x2的解集為.(2)函數(shù)g(x)2x2ax3在區(qū)間(1,2)上有兩個不同的零點，則即解得5a2.所以實數(shù)a的取值范圍是(5，2)點石成金解決與二次函數(shù)有關(guān)的零點問題(1)可利用一元二次方程的求根公式；(2)可用一元二次方程的判別式及根與系數(shù)之間的關(guān)系；(3)利用二次函數(shù)的圖象列不等式組.已知f(x)x2(a21)x(a2)的一個零點比1大，一個零點比1小，求實數(shù)a的取值范圍解：解法一：設(shè)方程x2(a21)x(a2)0的兩根分別為x1，x2(x1x2)，則(x11)(x21)0，x1x2(x1x2)10，由根與系數(shù)的關(guān)系，得(a2)(a21)10，即a2a20，2a1.故實數(shù)a的取值范圍為

11、(2,1)解法二：函數(shù)圖象大致如圖，則有f(1)0，即1(a21)a20，得a2a20，2a1.故實數(shù)a的取值范圍是(2,1)方法技巧1.判定函數(shù)零點的常用方法有：(1)零點存在性定理；(2)數(shù)形結(jié)合；(3)解方程f(x)0.2研究方程f(x)g(x)的解，實質(zhì)就是研究G(x)f(x)g(x)的零點3若函數(shù)f(x)在a，b上單調(diào)，且f(x)的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，則f(a)f(b)0函數(shù)f(x)在a，b上只有一個零點4轉(zhuǎn)化思想：方程解的個數(shù)問題可轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖象交點的個數(shù)問題；已知方程有解求參數(shù)范圍問題可轉(zhuǎn)化為函數(shù)值域問題易錯防范1.函數(shù)的零點不是點，是方程f(x)0的實根2函數(shù)零點的存

12、在性定理只能判斷函數(shù)在某個區(qū)間上的變號零點，而不能判斷函數(shù)的不變號零點，而且連續(xù)函數(shù)在一個區(qū)間的端點處函數(shù)值異號是這個函數(shù)在這個區(qū)間上存在零點的充分不必要條件. 真題演練集訓(xùn) 12015山東卷設(shè)函數(shù)f(x)則滿足f(f(a)2f(a)的a的取值范圍是()A.B0,1C.D1，)答案：C解析：由f(f(a)2f(a)得，f(a)1.當a1時，有3a11， a，即a2時，g(x)xb4，f(x)(x2)2；當0x2時，g(x)bx，f(x)2x；當x2時，方程f(x)g(x)0可化為x25x80，無解；當0x2時，方程f(x)g(x)0可化為2x(x)0，無解；當x2時，方程f(x)g(x)0可化

13、為(x2)2x2，得x2(舍去)或x3，有1解；當0x2時，方程f(x)g(x)0可化為2x2x，有無數(shù)個解；當x2時，方程f(x)g(x)0可化為x25x70，無解；當0x2時，方程f(x)g(x)0可化為1x2x，無解；當x0時，方程f(x)g(x)0可化為x2x10，無解所以b1，排除答案C.故選D.32014湖南卷已知函數(shù)f(x)x2ex(x0時，yf(x)與yg(x)的圖象有交點，即g(x)f(x)有正解，即x2ln(xa)(x)2ex有正解，即exln(xa)0有正解，令F(x)exln(xa)，則F(x)ex0，故函數(shù)F(x)exln(xa)在(0，)上是單調(diào)遞減的，要使方程g(

14、x)f(x)有正解，則存在正數(shù)x使得F(x)0，即exln(xa)0，所以aex，又yex在(0，)上單調(diào)遞減，所以am時，f(x)x22mx4m(xm)2 4mm2，其頂點為(m,4mm2)；當xm時，函數(shù)f(x)的圖象與直線xm的交點為Q(m，m)當即03時，函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，則存在實數(shù)b滿足4mm2bm，使得直線yb與函數(shù)f(x)的圖象有三個不同的交點，符合題意綜上，m的取值范圍為(3，)52015湖南卷已知函數(shù)f(x)若存在實數(shù)b，使函數(shù)g(x)f(x)b有兩個零點，則a的取值范圍是_答案：(，0)(1，)解析：函數(shù)g(x)有兩個零點，即方程f(x)b0有兩個不等實根，則函數(shù)

15、yf(x)和yb的圖象有兩個公共點若a0)，其中e表示自然對數(shù)的底數(shù)(1)若g(x)m有實根，求實數(shù)m的取值范圍；(2)確定t的取值范圍，使得g(x)f(x)0有兩個相異實根思路分析(1)可將g(x)m有實根轉(zhuǎn)化為一元二次方程有大于零的實根來求解，也可利用基本不等式或根據(jù)函數(shù)圖象求解；(2)利用函數(shù)圖象得到不等式，解不等式即可解(1)解法一：因為x0，所以g(x)x22e，等號成立的條件是xe.故g(x)的值域是2e，)，因而只需m2e，g(x)m就有實根故實數(shù)m的取值范圍為2e，)解法二：作出g(x)x(x0)的圖象，如圖所示觀察圖象可知g(x)的最小值為2e，因此要使g(x)m有實根，則只

16、需m2e.故實數(shù)m的取值范圍為2e，)解法三：由g(x)m，得x2mxe20，故等價于故m2e.故實數(shù)m的取值范圍為2e，)(2)若g(x)f(x)0有兩個相異的實根，則函數(shù)g(x)與f(x)的圖象有兩個不同的交點因為f(x)x22ext1(xe)2t1e2，所以函數(shù)f(x)圖象的對稱軸為直線xe，開口向下，最大值為t1e2.由題意，作出g(x)x(x0)及f(x)x22ext1的大致圖象，如圖所示故當t1e22e，即te22e1時，g(x)與f(x)的圖象有兩個交點，即g(x)f(x)0有兩個相異實根所以t的取值范圍是(e22e1，)典例2設(shè)函數(shù)f(x)ax33ax，g(x)bx2ln x(a，bR)，已知它們的圖象在x1處的切線的斜率相等(1)求b的值；(2)若函數(shù)F(x)且方程F(x)a2有且僅有四個解，求實數(shù)a的取值范圍思路分析解(1)f(x)3ax23a，所以f(1)0.而g(x)2bx，故g(1)2b1，由題意得2b10，解得b.(2)當x(0,1)時，g(x)x0，所以當x1時，g(x)取得極小值g(1).當a0時，易知方程F(x)a2不可能只有四個解當a0時，x(，1)時，f(x)0，所以當x