1、類型三 與等腰三角形有關的問題1. (2017重慶A卷)如圖，在平面直角坐標系中，拋物線yx2x與x軸交于A，B兩點(點A在點B的左側(cè))，與y軸交于點C，對稱軸與x軸交于點D，點E(4，n)在拋物線上(1)求直線AE的解析式；(2)點P為直線CE下方拋物線上的一點，連接PC，PE.當PCE的面積最大時，連接CD，CB，點K是線段CB的中點，點M是CP上的一點，點N是CD上的一點，求KMMNNK的最小值；(3)點G是線段CE的中點將拋物線yx2x沿x軸正方向平移得到新拋物線y，y經(jīng)過點D，y的頂點為點F.在新拋物線y的對稱軸上，是否存在點Q，使得FGQ為等腰三角形？若存在，直接寫出點Q的坐標；若

2、不存在，請說明理由第1題圖2. (2016重慶A卷)如圖，在平面直角坐標系中，拋物線yx2x3與x軸交于A，B兩點(點A在點B左側(cè))，與y軸交于點C，拋物線的頂點為點E.(1)判斷ABC的形狀，并說明理由；(2)經(jīng)過B，C兩點的直線交拋物線的對稱軸于點D，點P為直線BC上方拋物線上的一動點，當PCD的面積最大時，點Q從點P出發(fā)，先沿適當?shù)穆窂竭\動到拋物線的對稱軸上點M處，再沿垂直于拋物線對稱軸的方向運動到y(tǒng)軸上的點N處，最后沿適當?shù)穆窂竭\動到點A處停止當點Q的運動路徑最短時，求點N的坐標及點Q經(jīng)過的最短路徑的長；(3)如圖，平移拋物線，使拋物線的頂點E在射線AE上移動，點E平移后的對應點為點E

3、，點A的對應點為點A.將AOC繞點O順時針旋轉(zhuǎn)至A1OC1的位置，點A，C的對應點分別為點A1，C1，且點A1恰好落在AC上，連接C1A，C1E.AC1E是否能為等腰三角形？若能，請求出所有符合條件的點E的坐標；若不能，請說明理由第2題圖3. (2018原創(chuàng))如圖，在平面直角坐標系中，拋物線yx22x3交x軸于A，B兩點(點A在點B左側(cè))，與y軸交于點C，頂點為D，對稱軸與x軸交于點E.(1)判斷直線AC與CD的位置關系，并說明理由；(2)點P是直線AC上方的拋物線上的一點，當PAC面積最大時，在拋物線的對稱軸上是否存在點Q，使得PAQ的周長最小，若存在，求點Q的坐標若不存在，請說明理由；(3

4、)如圖，設DE與AC相交于F，將AEF繞點E順時針旋轉(zhuǎn)60.再向右平移(3)個單位長度，得到A1E1F1，其中點F的對應點為F1，在拋物線的對稱軸上是否存在點M，使得CMF1是等腰三角形，若存在，求點M的坐標；若不存在，說明理由第3題圖4. (2017重慶沙坪壩區(qū)一模)如圖，拋物線yx2x3與x軸相交于A、B兩點(點A在點B的右側(cè))，已知C(0，)，連接AC.(1)求直線AC的解析式(2)點P是x軸下方的拋物線上一動點，過點P作PEx軸交直線AC于點E，交x軸于點F，過點P作PGAE于點G，線段PG交x軸于點H.設lEPFH，求l的最大值(3)如圖，在(2)的條件下，點M是x軸上一動點，連接E

5、M、PM，將EPM沿直線EM折疊為EP1M，連接AP，AP1，當APP1是等腰三角形時，試求出點M的坐標第4題圖5. 如圖，拋物線yx2x與y軸交于點A，點B在第一象限拋物線上，直線yxb與x軸交于點C，與y軸交于點A，點D在x軸上，BD6，ODB120，連接OB、CB.(1)求點A、C兩點的坐標；(2)設點E是第一象限OB上方拋線線上一動點，過點E作EFy軸交OB于點F，過E在EF的右側(cè)作FEGBOD，交OB于點G，求EFG周長的最大值；(3)將直線AC沿x軸向右平移，平移過程中直線AC交直線BC于點H，交x軸于點K，在平移過程中，是否存在某一時刻，使KDH為等腰三角形？若存在，求出平移后C

6、的對應點K的坐標；若不存在，請說明理由第5題圖備用圖6. (2018原創(chuàng))如圖，在平面直角坐標系中，拋物線yx2x3分別交x軸于A、B兩點，交y軸交于C點，頂點為D.(1)如圖，連接AD，R是拋物線對稱軸上的一點，當ARAD時，求點R的坐標；(2)在(1)的條件下在直線AR上方，對稱軸左側(cè)的拋物線上找一點P，過P作PQx軸，交直線AR于點Q，點M是線段PQ的中點，過點M作MNAR交拋物線對稱軸于點N，當平行四邊形MNRQ周長最大時，在拋物線對稱軸上找一點E，y軸上找一點F，使得PEEFFA最小，并求此時點E、F的坐標(3)如圖，過拋物線頂點D作DHAB于點H，將DBH繞著H點順時針旋轉(zhuǎn)得到DB

7、H且B落在線段BD上，將線段AC沿直線AC平移后，點A、C對應的點分別為A、C，連接DC，DA，DCA能否為等腰三角形？若能，請求出所有符合條件的點A的坐標；若不能，請說明理由第6題圖答案1. 解：(1)當y0時，即x2x0，解得x11，x23，A(1，0)，B(3，0)，當x4時，n424，點E(4，)，設直線AE的解析式為：ykxb(k0)，把A(1，0)，E(4，)代入得，解得，直線AE的解析式為yx；(2)在yx2x中，令x0，得y，點C(0，)，點E(4，)，易求直線CE的解析式為yx，過點P作PHy軸，交CE于點H，如解圖，第1題解圖設點P的坐標為P(t，t2t)，則H(t，t)，

8、PHt(t2t)t2t，SPCE|xExC|PH4(t2t)t2t，(0t4)0，拋物線開口向下，當t2時，SPCE取得最大值此時，點P為(2，)，點C(0，)，B(3，0)，由中點坐標公式得K(，)，yCyP，PCx軸，作點K關于CP的對稱點K1，如解圖，則K1(，)，tanOCB，OCB60，第1題解圖拋物線yx2x的對稱軸為x1，D(1，0)，tanOCD，OCD30，OCDDCB30，CD平分OCB，點K關于CD的對稱點K2在y軸上，又CKOC，K2與點O重合，連接OK1，交CD于點N，交CP于點M，如解圖，KMMNNKK1MMNON，根據(jù)“兩點之間，線段最短”可得，此時KMMNNK的

9、值最小，K1K2OK13，KMMNNK的最小值為3；(3)存在點Q，使得FGQ為等腰三角形，且點Q的坐標為(3，)或(3，)或(3，)或(3，2)【解法提示】C(0，)，E(4，)，G(2，)，新拋物線y是原拋物線yx2x(x1)2沿x軸正方向平移得到的，且y經(jīng)過點D，拋物線向右平移了AD1(1)2個單位，y(x12)2(x3)2.新拋物線的頂點坐標為F(3，)，對稱軸為x3，若在新拋物線的對稱軸上存在點Q，使得FGQ為等腰三角形，設Q點坐標為Q(3，m)，則FQ2(m)2m2m，GQ21(m)2m2m，F(xiàn)G21()2，當FQGQ時，m2mm2m，解得m，此時Q1(3，)；當FQFG時，m2m

10、，解得m，此時Q2(3，)，Q3(3，)；當GQFG時，m2m，解得m12，m2，此時Q4(3，2)，Q5(3，)(舍去)綜上所述，存在點Q，使得FGQ為等腰三角形，且點Q的坐標為(3，)或(3，)或(3，)或(3，2)2. 解：(1)ABC為直角三角形，理由如下：在拋物線yx2x3中，令y0，得x2x30，解得，x1，x23，A(，0)，B(3，0)令x0，得y3，C(0，3)，AC212，BC236，AB248，AC2BC2AB2，ABC為直角三角形(2)設直線BC的解析式為ykxb，將B(3，0)，C(0，3)代入，得， ，直線BC的解析式為yx3，如解圖，過點P作PRy軸交BC于點R，

11、設P(t，t2t3)，則R(t，t3)，PRt2t3(t3)t2t，SPCDSPRCSPRDPRxR(xRxD)t2t(t)20t3，當t時，SPCD取得最大值，此時P(，)，將P(，)向左平移個單位，得P(，)，連接AP交y軸于點N，過點N做NM拋物線的對稱軸于點M，連接PM，點Q沿PMNA運動，所走的路經(jīng)最短，即最短路徑的長為PMMNAN.設直線AP的解析式為ymxn，將A(，0)，P(，)代入，得：， ，直線AP的解析式為yx，令x0，得y，故N(0，)，點Q經(jīng)過的最短路徑等于PMMNANAPMN.第2題解圖(3)tanCAO，CAO60，OAOA1，AA1O為等邊三角形，C1OB30，

12、C1(，)，E(，4)，A(，0)，直線AE的解析式為yx2，設A(t，t2)，則E(t2，t6)，AE228，AC12t2t7，EC12t27t21，當AC1EC1時，t2t7t27t21，解得，t，故E(，5)，當AEAC1時28t2t7，解得t，t，t，E(，7)，當AEEC1時，t27t2128，解得t，t，t，E(，3)，綜上所述，所有符合條件的點E的坐標為(，5)或(，7)或(，3)3. 解：(1)ACCD，理由如下：對于拋物線yx22x3，令y0得x22x30，解得x13，x21，點A的坐標為(3，0)，點B的坐標為(1，0)令x0，得y3，點C的坐標為(0，3)，化為頂點式得y

13、(x1)24，點D的坐標為(1，4)，AC2323218，AD2(13)24220，CD212(43)22，AC2CD2AD2，ACCD.(2)設直線AC的解析式為ykxt，將點A(3，0)，C(0，3)代入得，解得，直線AC的解析式為yx3.設過點P且平行AC的直線的解析式為yxt1，與拋物線聯(lián)立得，整理得x23xt130，PAC的面積最大，點P到AC的距離最大，直線yxt1與拋物線只有一個交點，一元二次方程x23xt130有兩個相等的實數(shù)根，3241(t13)0，解得t1，此時一元二次方程為x23x30，解得x，點P的坐標為(，)，點B的坐標為(1，0)，點A與點B關于直線x1對稱，點Q在

14、直線x1上，QAQB，第3題解圖當點Q為直線BP與直線x1的交點時，滿足題意，設直線PB的解析式為yk2xb2，將點B、P代入得，解得，直線BP的解析式為yx，令x1，得y3，點Q的坐標為(1，3)(3)對于直線AC：yx3，當x1時，y2，點F(1，2)，設AEF繞點E順時針旋轉(zhuǎn)60得到AEF，則AEA60，AEF90，F(xiàn)EO30，如解圖，過F作FGx軸于G，第3題解圖則EFEF2，在RtFEG中，易得EG，F(xiàn)G1，點F的坐標為(1，1)，將AEF的向右平移(3)個單位，得到A1E1F1，則點F1的坐標為(2，1)，CF1222(31)28，設點M的坐標為(1，m)，則MC21(m3)2，M

15、F1232(m1)2.若MCF1是等腰三角形，則可按以下情況分類，()MCMF1，即1(m3)232(m1)2，解得m0，此時點M的坐標為(1，0)；()MCCF1，即1(m3)28，解得m3，此時點M的坐標為(1，3)，(1，3)；()MF1CF1，即32(m1)28，此時方程無解，即此時不存在這樣的點M.綜上可知，存在點M使得MCF1是等腰三角形，這樣的點M有3個，坐標分別為(1，0)，(1，3)，(1，3)4. 解：(1)當y0時，x2x30，解得x13，x22，點A在點B的右側(cè)，A(2，0)、B(3，0)；設直線AC的解析式為ykxb，把A(2，0)、C(0，)代入得，解得，直線AC的

16、解析式為：yx；(2)在RtACO中，tanOAC，F(xiàn)PHPHF90，OACAHG90，PHFAHG，F(xiàn)PHOAC，tanFPHtanOAC，tanFPH，F(xiàn)HFPFP，設點P(m，m2m3)，則E(m，m)，EPm2m，F(xiàn)Pm2m3，于是lEPFHEPFPm2m3，0，lm2m3開口向下，對稱軸x2，點P是x軸下方的拋物線上一動點，聯(lián)立得，3m2，當m2時，l最大4；(3)如解圖，m2時，E(2，3)，P(2，2)，A(2，0)，EPEA5，當P1PP1A時，AP的中點為K(0，1)，于是直線EK為y2x1，直線EK交x軸于I(，0)，EI，IF，過點M1作M1JEK于J，則EJEF3，IJ

17、3，IEFIM1J，IM13.M1(38，0)，當APAP2時，AEPAEP2，AEPAEP2，點M2與點A重合，點M2(2，0)當P3PP3A時，由EFM3M1FE，得到EF2FM3FM1，F(xiàn)M336，點M3(38，0)，當P4PPA時，作M4QEP4，設M4QM4Fx，在RtP4QM4中，P4Q2QM42P4M42，22x2(4x)2，x，OM42，點M4(，0)綜上所述點M1(38，0)，M2(2，0)，M3(38，0)，M4(，0)第4題解圖5. 解：(1)當x0時，y，A(0，)，將A(0，)代入yxb中，得b，yx，當y0時，x3，C(3，0)；(2)延長EF交x軸于點M，過點B作

18、BQx軸于點Q，如解圖，第5題解圖ODB120，BDQ60，BD6，BQ3，DQ3，B點的縱坐標為3，代入拋物線解析式可求得B點的橫坐標為9，B(9，3)，直線OB的解析式為yx，BOD30，EFy軸，EMx軸，F(xiàn)EGBOD，EFGOFM，EGEF，F(xiàn)GEF，CEFGEFEGFGEF，設E(m，m2m)，F(xiàn)(m，m)，EFyEyFm2mm(m4)2，當m4時，CEFG最大().(3)設DKa，AO，OC3，ACOHKO30.當DHDKa時，如解圖，作HNCD于N，第5題解圖DHKDKH30，HDN60，NDa，HNa，CN3a，解得a2，K(8，0)；當KHKDa時，如解圖，作HRDK于R，則HRa，KRa，DRaa，解得a，K(，0)；當點K在點D左邊時，設DKKHa，同理可得，解得a，k(，0)，第5題解圖HDKHKD，HDHK不存在綜上所述，滿足要求的K點坐標為：(8，0)，(，0)6. 解：(1)對于拋物線yx2x3，令y0，得x2x30，解得x2或6，B(2，0)，A(6，0)，yx2x3(x2)24，拋物線頂點D坐標為(2，4)，對稱軸x2，設直線AD的解析式為ykxb則有，解得，直線AD的解析式為yx6，ARAD，直線AR的解析式為yx2，點R坐標(2，)(2)如解圖中，設P