1、專題一 數(shù)學(xué)思想方法,1.數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)的生命和靈魂，是數(shù)學(xué)知識(shí)的精髓，是把知識(shí)轉(zhuǎn)化為能力的橋梁.隨著中考改革的深入，中考試題從知識(shí)型轉(zhuǎn)變到能力型，更加突出了對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的考查.,2.分析近幾年的中考試題,不難看出,中考命題都遵循著兩條線:一條是明線:以選擇題、填空題、解答題等外在形式考查數(shù)、式、方程、函數(shù)、三角形、四邊形、圓等初中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容;一條是暗線:通過試題重點(diǎn)考查初中數(shù)學(xué)常用的思想方法.,3.對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的考查主要集中在兩個(gè)方面：一是代數(shù)綜合題，其特點(diǎn)是：綜合考查多個(gè)知識(shí)點(diǎn)；與生產(chǎn)生活實(shí)際內(nèi)容相結(jié)合.用到的數(shù)學(xué)思想方法有化歸思想、分類討論思想、整體思想以及代入法、消元法、待

2、定系數(shù)法等.二是代數(shù)與幾何的綜合題，其特點(diǎn)是：題目所涉及的數(shù)學(xué)思想方法很多，以數(shù)形結(jié)合思想為主線，綜合考查其他思想方法的靈活運(yùn)用，難度較大，一般為中考中的壓軸題.,分類討論思想,【技法點(diǎn)撥】 定義：在解答某些數(shù)學(xué)問題時(shí)，有時(shí)會(huì)遇到多種情況，需要對(duì)各種情況加以分類，并逐類求解，然后綜合得解，這就是分類討論法. 分類原因：分類討論思想的數(shù)學(xué)問題具有明顯的邏輯性、綜合性、探索性， 引起分類討論的原因主要是以下四個(gè)方面：,(1)問題所涉及的數(shù)學(xué)概念是分類進(jìn)行定義的; (2)問題中涉及的數(shù)學(xué)定理、公式和運(yùn)算性質(zhì)、法則有范圍或者條件限制，或者是分類給出的; (3)解含有參數(shù)的題目時(shí)，必須根據(jù)參數(shù)的不同取值

3、范圍進(jìn)行討論; (4)題目條件籠統(tǒng)，存在不確定的數(shù)量,不確定的圖形的形狀或位置,不確定的結(jié)論等.,【例1】(2011聊城中考)如圖，在矩形 ABCD中，AB12 cm，BC8 cm，點(diǎn) E,F,G分別從點(diǎn)A,B,C三點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，沿 矩形的邊按逆時(shí)針方向移動(dòng)，點(diǎn)E,G的速 度均為2 cm/s，點(diǎn)F的速度為4 cm/s，當(dāng) 點(diǎn)F追上點(diǎn)G(即點(diǎn)F與點(diǎn)G重合)時(shí)，三個(gè)點(diǎn)隨之停止移動(dòng)設(shè)移動(dòng)開始后第t秒時(shí)，EFG的面積為S(cm2),(1)當(dāng)t1秒時(shí)，S的值是多少？ (2)寫出S和t之間的函數(shù)解析式，并指出自變量t的取值范圍 (3)若點(diǎn)F在矩形的邊BC上移動(dòng)，當(dāng)t為何值時(shí)，以點(diǎn)E,B,F為頂點(diǎn)的三角形與以

4、點(diǎn)F,C,G為頂點(diǎn)的三角形相似？請(qǐng)說明理由,【思路點(diǎn)撥】(1) S=S梯形EGCB-SEBF-SFCG. (2)求S和t之間的函數(shù)解析式時(shí)要分0t2和2t4來求得. (3)由于以點(diǎn)E,B,F為頂點(diǎn)的三角形與以F,C,G為頂點(diǎn)的三角形相 似的對(duì)應(yīng)關(guān)系不明確，因此本題也要分類討論.,【自主解答】(1)如圖甲，當(dāng)t1秒時(shí)，AE2，EB10，BF 4，F(xiàn)C4，CG2， 由 圖甲 圖乙,(2)如圖甲，當(dāng)0t2時(shí)，點(diǎn)E,F,G分別在AB,BC,CD上移動(dòng)， 此時(shí)AE=CG=2t，EB122t，BF4t，F(xiàn)C84t，S8t2 32t48(0t2). 如圖乙，當(dāng)點(diǎn)F追上點(diǎn)G時(shí)，4t2t=8，解得t4，當(dāng)2 t

5、4時(shí)，CF4t8，CG2t，F(xiàn)GCGCF82t，即S 8t32(2t4).,(3)如圖甲，當(dāng)點(diǎn)F在矩形的邊BC上移動(dòng)時(shí)，0t2，在EBF 和FCG中，BC90，若 即 解 得 又 滿足0t2，所以當(dāng) 時(shí)，EBFFCG; 若 即 解得 又 滿足0t2，所 以當(dāng) 時(shí)EBFGCF，綜上知，當(dāng) 或 時(shí)，以點(diǎn)E,B,F 為頂點(diǎn)的三角形與以點(diǎn)F,C,G為頂點(diǎn)的三角形相似.,【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】 1.(2012廣安中考)已知等腰ABC中，ADBC于點(diǎn)D，且 則ABC底角的度數(shù)為( ) (A)45 (B)75 (C)45或15 (D)60 【解析】選C. 設(shè)等腰三角形的底角為x，AB=AC時(shí)， AD=BD=CD，4x

6、=180，x=45； 當(dāng)AC=BC時(shí)， ACD=30，x=15. 等腰三角形的底角為45或15.,2. (2011大理中考)如圖，已知B與 ABD的邊AD相切于點(diǎn)C，AC4，B的 半徑為3，當(dāng)A與B相切時(shí)，A的半 徑是( ) (A)2 (B)7 (C)2或5 (D)2或8 【解析】選D.連結(jié)BC，BCAD，AC4，BC=3， AB=5，當(dāng)A與B相外切時(shí)，A的半徑是2;當(dāng)A 與B相內(nèi)切時(shí)，A的半徑是8,3.(2012張家界中考)已知線段AB=6，C,D 是AB上兩點(diǎn)，且AC=DB=1,P是線段CD上一動(dòng) 點(diǎn)，在AB同側(cè)分別作等邊三角形APE和等邊 三角形PBF，G為線段EF的中點(diǎn)，點(diǎn)P由點(diǎn)C移動(dòng)

7、到點(diǎn)D時(shí)， G點(diǎn)移動(dòng)的路徑長(zhǎng)度為_.,【解析】以點(diǎn)A為原點(diǎn)，AB所在直線為x軸， 建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)C時(shí)， 這時(shí)E1點(diǎn)坐標(biāo)為 F1點(diǎn)坐標(biāo)為 可得點(diǎn)G1坐標(biāo)為 當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)D時(shí)， 這時(shí)E2點(diǎn)坐標(biāo)為 F2點(diǎn)坐標(biāo)為 這時(shí)可得點(diǎn)G2坐 標(biāo)為 從而可得線段G1G2的長(zhǎng)度為2，所以G點(diǎn)移動(dòng)的路徑 長(zhǎng)度為2. 答案：2,數(shù)形結(jié)合思想,【技法點(diǎn)撥】 定義：數(shù)形結(jié)合思想是指從幾何直觀角度，利用幾何圖形的性質(zhì)研究數(shù)量關(guān)系，尋找代數(shù)問題的解決途徑，或利用數(shù)量關(guān)系來研究幾何圖形的性質(zhì)、解決幾何問題的一種數(shù)學(xué)思想. 其實(shí)質(zhì)是將抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖象結(jié)合起來，關(guān)鍵是代數(shù)問題與圖形之間的相互轉(zhuǎn)化.,解

8、題關(guān)鍵：數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用內(nèi)涵主要體現(xiàn)在兩個(gè)方面：一是利 用圖形的直觀性研究數(shù)量關(guān)系，二是應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的工具(數(shù)軸、 平面直角坐標(biāo)系)通過數(shù)量關(guān)系研究圖形性質(zhì).在運(yùn)用數(shù)形結(jié)合 思想分析和解決問題時(shí)，要注意三點(diǎn)： (1)是要徹底明白一些概念和運(yùn)算的幾何意義以及函數(shù)圖象的 代數(shù)特征，對(duì)題目中的條件和結(jié)論既分析其幾何意義又分析其 代數(shù)意義；(2)是恰當(dāng)設(shè)未知數(shù)建立關(guān)系，由數(shù)思形，以形想 數(shù)，做好數(shù)形轉(zhuǎn)化；(3)是正確確定未知數(shù)的取值范圍.,【例2】(2012益陽中考)已知：如圖，拋物線y=a(x-1)2+c與x 軸交于點(diǎn) 和點(diǎn)B，將拋物線沿x軸向上翻折，頂點(diǎn)P落 在點(diǎn)P(1，3)處.,(1)求原拋物線的

9、解析式. (2)學(xué)校舉行班徽設(shè)計(jì)比賽，九年級(jí)5班的小明在解答此題時(shí)頓 生靈感：過點(diǎn)P作x軸的平行線交拋物線于C，D兩點(diǎn)，將翻折 后得到的新圖象在直線CD以上的部分去掉，設(shè)計(jì)成一個(gè)“W”型 的班徽，“5”的拼音開頭字母為W，“W”圖案似大鵬展翅，寓 意深遠(yuǎn)；而且小明通過計(jì)算驚奇地發(fā)現(xiàn)這個(gè)“W”圖案的高與寬 (CD)的比非常接近黃金分割比 (約等于0.618).請(qǐng)你計(jì)算這 個(gè)“W”圖案的高與寬的比到底是多少？(參考數(shù)據(jù)： 結(jié)果可保留根號(hào)),【思路點(diǎn)撥】,【自主解答】(1)P與P(1，3) 關(guān)于x軸對(duì)稱， P點(diǎn)坐標(biāo)為(1，-3). 拋物線y=a(x-1)2+c過點(diǎn) 頂點(diǎn)是P(1，-3) ， 則拋物線

10、的解析式為y=(x-1)2-3， 即y=x2-2x-2.,(2)CD平行于x軸，P(1，3) 在CD上， C，D兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)為3； 由(x-1)2-3=3得： C，D兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為 “W”圖案的高與寬(CD)的比 (或約等 于0.612 3).,【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】 4.(2012黔東南中考)如圖，點(diǎn)A是反比例函數(shù) 的 圖象上的一點(diǎn)，過點(diǎn)A作ABCD，使點(diǎn)B，C在x軸上，點(diǎn)D在y軸 上，則ABCD的面積為( ) (A)1 (B)3 (C)6 (D)12,【解析】選C.設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(a,b)，則AD=BC=-a,BC邊上的高 為b,所以ABCD的面積為-ab,因?yàn)辄c(diǎn)A(a,b)在反比例函數(shù) 的圖象上

11、，所以 所以ab=-6，所以ABCD的面 積為-ab=6.,5.(2012蘭州中考)二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a0)的圖象如圖所 示，若|ax2+bx+c|=k(k0)有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則k的取值 范圍是( ) (A)k-3 (B)k-3 (C)k3 (D)k3,【解析】選D .由題意知 b2-4ac=12a,當(dāng) ax2+bx+c0時(shí)，k0.當(dāng)ax2+bx+c0,12a-4ak0,4ak12a,k3,所以k的取值范圍為 k3.,6.(2012株洲中考)如圖，已知拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)A(1， 0)，對(duì)稱軸是x=-1，則該拋物線與x軸的另一交點(diǎn)坐標(biāo)是( ) (A)(-3,0) (B)(-

12、2,0) (C)x=-3 (D)x=-2,【解析】選A.因點(diǎn)A到對(duì)稱軸的距離為1+|-1|=2，所以拋物線與x軸的另一交點(diǎn)到對(duì)稱軸的距離也為2，在原點(diǎn)的左側(cè),則到原點(diǎn)的距離為3，故另一交點(diǎn)坐標(biāo)為(-3，0).,化歸轉(zhuǎn)化思想,【技法點(diǎn)撥】 定義：解決數(shù)學(xué)問題時(shí)，常遇到一些問題直接求解較為困難，通過觀察、分析、類比、聯(lián)想等思維過程，選擇運(yùn)用恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法進(jìn)行變換，將原問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)新問題(相對(duì)來說自己較熟悉的問題)，通過新問題的求解，達(dá)到解決原問題的目的，這一思想方法我們稱之為“化歸與轉(zhuǎn)化的思想方法”.,化歸與轉(zhuǎn)化應(yīng)遵循的五個(gè)基本原則： (1)熟悉化原則：將陌生的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題，以利于我們運(yùn)

13、用熟知的知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)和問題來解決. (2)簡(jiǎn)單化原則：將復(fù)雜的問題化歸為簡(jiǎn)單問題，通過對(duì)簡(jiǎn)單問題的解決，達(dá)到解決復(fù)雜問題的目的，或獲得某種解題的啟示和依據(jù).,(3)和諧化原則：化歸問題的條件或結(jié)論，使其表現(xiàn)形式更符合數(shù)與形內(nèi)部所表示的和諧的形式，或者轉(zhuǎn)化命題，使其推演有利于運(yùn)用某種數(shù)學(xué)方法或其方法符合人們的思維規(guī)律. (4)直觀化原則：將比較抽象的問題轉(zhuǎn)化為比較直觀的問題來解決. (5)正難則反原則：當(dāng)問題正面討論遇到困難時(shí)，可考慮問題的反面，設(shè)法從問題的反面去探求，使問題獲解.,【例3】(2011紹興中考)數(shù)學(xué)課上，李老師出示了如下框中 的題目. 在等邊三角形ABC中，點(diǎn)E在AB上， 點(diǎn)D在C

14、B的延長(zhǎng)線上，且ED=EC， 如圖.試確定線段AE與DB的大小關(guān)系， 并說明理由.,小敏與同桌小聰討論后，進(jìn)行了如下解答： (1)特殊情況，探索結(jié)論 當(dāng)點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)時(shí)，如圖1，確定線段AE與DB的大小關(guān)系，請(qǐng)你直接寫出結(jié)論： AE_DB(填“”“”或“=”).,(2)特例啟發(fā)，解答題目 解：題目中，AE與DB的大小關(guān)系是:AE_DB(填“”“” 或“=”).理由如下： 如圖2，過點(diǎn)E作EFBC，交AC于點(diǎn)F. (請(qǐng)你完成以下解答過程) (3)拓展結(jié)論，設(shè)計(jì)新題. 在等邊三角形ABC中，點(diǎn)E在直線AB上，點(diǎn)D在直線BC上，且 ED=EC.若ABC的邊長(zhǎng)為1，AE=2，求CD的長(zhǎng)(請(qǐng)你直接寫出

15、 結(jié)果).,【思路點(diǎn)撥】,【自主解答】(1)= (2)= 剩余解題過程：在等邊三角形ABC中,ABC=ACB=BAC=60,AB=BC=AC, EFBC,AEF=AFE=60=BAC, AEF為等邊三角形,AE=AF=EF,AB-AE=AC-AF,即BE=CF, 又ABC=EDB+BED=60,ACB=ECB+FCE=60, ED=EC,EDB=ECB,BED=FCE, DBEEFC,DB=EF,AE=DB. (3)1或3,【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】 7. (2011內(nèi)江中考)如圖，在等邊 ABC中，D為BC邊上一點(diǎn)，E為AC邊 上一點(diǎn)，且ADE=60，BD=4， 則ABC的面積為( ) (A) (B)15

16、 (C) (D),【解析】選C. ABC是等邊三角形，ADE=60， B=C=ADE=60，AB=BC. ADB=DAC+C，DEC=ADE+DAC， ADB=DEC，ABDDCE， BD=4， 設(shè)AB=x，則DC=x-4， x=6，AB=6. 過點(diǎn)A作AFBC于F，在RtABF中，,8.(2011邵陽中考)數(shù)學(xué)課堂上，徐老師出示了一道試題： 如圖所示，在正三角形ABC中，M是BC邊(不含端點(diǎn)B，C)上任意一點(diǎn)，P是BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，N是ACP的平分線上一點(diǎn)，若AMN=60，求證：AM=MN.,(1)經(jīng)過思考，小明展示了一種正確的證明過程，請(qǐng)你將證明 過程補(bǔ)充完整. 證明：在AB上截取EA=MC，連結(jié)EM，得AEM. 1=180-AMB-AMN，2=180-AMB -B， AMN=B=60，1=2. 又CN平分ACP， MCN=3+4=120,又BA=BC，EA=MC，BA-EA=BC-MC，即BE=BM. BEM為等邊三角形，6=60. 5=180-6=120. 由得MCN=5, 在AEM和MCN中， _,_,_, AEMMCN(