1、1,2.3 行列式按一行或一列展開及行列式的計算,一、余子式與代數(shù)余子式,二、行列式按行（列）展開法則,三、小結(jié),Page 2,例如,一、余子式與代數(shù)余子式,Page 3,叫做元素 的代數(shù)余子式,例如,Page 4,Page 5,引理 一個 階行列式，如果其中第 行所有元素除 外都為零，那末這行列式等于 與它的代數(shù)余子式的乘積，即 ,例如,Page 6,Page 7,即有,又,從而,再證一般情形,此時,Page 8,得,Page 9,得,Page 10,Page 11,中的余子式,Page 12,故得,于是有,Page 13,定理 行列式等于它的任一行（列）的各元素與其對應的代數(shù)余子式乘積之和

2、，即,證,二、行列式按行（列）展開法則,Page 14,Page 15,推論 行列式任一行（列）的元素與另一行（列）的對應元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零，即,證,Page 16,同理,Page 17,關(guān)于代數(shù)余子式的重要性質(zhì),Page 18,定義,行列式 的各個元素的代數(shù)余子式 所 構(gòu)成的如下矩陣,性質(zhì),證明,則,稱為矩陣 的伴隨矩陣.,Page 19,故,同理可得,分塊對角陣的行列式,Page 20,例1,用降階法計算,Page 21,Page 22,例2 計算行列式,解,Page 23,Page 24,例3計算,解,Page 25,Page 26,Page 27,Page 28,評注本題是

3、利用行列式的性質(zhì)將所給行列 式的某行（列）化成只含有一個非零元素，然后按此行（列）展開，每展開一次，行列式的階數(shù)可降低 1階，如此繼續(xù)進行，直到行列式能直接計算出來為止（一般展開成二階行列式）這種方法對階數(shù)不高的數(shù)字行列式比較適用,Page 29,證,用數(shù)學歸納法,Page 30,Page 31,n-1階范德蒙德行列式,Page 32,注：對于此類型行列式，可直接用公式計算。,利用范德蒙行列式計算,利用范德蒙行列式計算行列式，應根據(jù)范德 蒙行列式的特點，將所給行列式化為范德蒙行列 式，然后根據(jù)范德蒙行列式計算出結(jié)果。,Page 33,例5計算,解,Page 34,上面等式右端行列式為n階范德蒙

4、行列式，由 范德蒙行列式知,Page 35,評注本題所給行列式各行（列）都是某元 素的不同方冪，而其方冪次數(shù)或其排列與范德蒙 行列式不完全相同，需要利用行列式的性質(zhì)（如 提取公因子、調(diào)換各行（列）的次序等）將此行 列式化成范德蒙行列式,Page 36,例6 計算n階三對角行列式,解: 將 按第1行展開，得,用遞推法計算,Page 37,即,Page 38,同理：,當 時，可得,當 時，由(1)得,Page 39,例7計算,解,Page 40,Page 41,Page 42,由此遞推，得,如此繼續(xù)下去，可得,Page 43,Page 44,評注,Page 45,求第一行各元素的代數(shù)余子式之和,Page 46,解,第一行各元素的代數(shù)余子式之和可以表示成,爪型行列式,Page 47,用數(shù)學歸納法,例9證明,Page 48,證,對階數(shù)n用數(shù)學歸納法,Page 4