1、第六章 多目標(biāo)最優(yōu)化方法,6.1 概述 不少經(jīng)濟(jì)問(wèn)題、工程方案、比較問(wèn)題由于不可能追求其單一指標(biāo)的優(yōu)越而作定論，往往需要對(duì)其優(yōu)缺點(diǎn)綜合評(píng)價(jià)，將問(wèn)題歸結(jié)為在某些約束條件下求若干目標(biāo)函數(shù)達(dá)到整體最優(yōu)。,6.1.1 國(guó)名經(jīng)濟(jì)綜合平衡規(guī)劃模型 1.約束條件為 (1) 產(chǎn)品的生產(chǎn)與分配（銷售）平衡方程； (2)自然資源的限制方程； (3) 生產(chǎn)能力的限制方程； (4) 居民勞動(dòng)報(bào)酬與消費(fèi)商品與消費(fèi)商品總額的平衡方程； (5) 主要消費(fèi)品，如商品糧供求平衡方程；,(6)勞動(dòng)力的限制方程； (7)積累與消費(fèi)比例的約束限制。 2. 目標(biāo)函數(shù)有 (1) 國(guó)民收入的數(shù)額達(dá)到最大； (2) 消費(fèi)水平增長(zhǎng)最快； (3

2、) 新住宅面積達(dá)到最大； (4) 物價(jià)上漲率最低； (5) 失業(yè)最?。?(6) 教育普及率最大； (7) 公共福利事業(yè)最好。 6.1.2 工程施工方案比較 1.約束條件 (1) 工期長(zhǎng)短的限制； (2) 分期投資限制，總投資限制； (3) 施工機(jī)械設(shè)備供應(yīng)限制； (4) 主要建材供料的限制；,(5) 動(dòng)力、燃料供應(yīng)限制； (6) 工作面大小的限制； (7) 勞力供應(yīng)的限制（技工、普工、工程技術(shù)人員） 2. 目標(biāo)函數(shù) (1) 總的投資最省； (2) 工期最短； (3) 生產(chǎn)均衡，不均系數(shù)小，施工高峰強(qiáng)度?。?(4) 工程質(zhì)量?jī)?yōu)，良率最高； (5) 能源及原材料消耗最少；,(6) 勞力及機(jī)械設(shè)備用

3、量最少。 顯然目標(biāo)間存在矛盾，彼長(zhǎng)此短，無(wú)一方案全面最優(yōu)，只能整體最優(yōu)。 6.1.3 多目標(biāo)決策的一般數(shù)學(xué)表達(dá)式 設(shè)有m個(gè)約束條件，k個(gè)目標(biāo)函數(shù)，gi(x)0, (i=1,2,.m)表示第i個(gè)約束條件，用fj(x)表示第j個(gè)目標(biāo)函數(shù)(j=1,2,.k)，并令 g(x)= g1(x), g2(x), ,gm(x)T （約束條件）,F(x)= f1(x), f2(x), ,fk(x)T （目標(biāo)函數(shù)） 求多目標(biāo)最優(yōu)化問(wèn)題可記為 即在滿足約束條件的集合R中找出x，使所有的目標(biāo)fi(x)達(dá)到最大。這里 Rxg(x) 0 對(duì)于最小值的目標(biāo)函數(shù)（如前一中所述問(wèn)題中的目標(biāo)函數(shù)4和5）可采用乘以-1的辦法化為且

4、最大值的目標(biāo)函數(shù)。,最優(yōu)解定義：若x0R,對(duì)任一個(gè)xR，總有F(x)F(x0),稱此x0為此多目標(biāo)問(wèn)題的最優(yōu)解。 非劣解定義：若x0R,且不存在xR，使得F(x) F(x0)，則稱x0為此目標(biāo)問(wèn)題的非劣解。 由此可見(jiàn)，所謂非劣解是個(gè)允許解（可行解但卻找不到另一個(gè)可行解，它至少在一個(gè)目標(biāo)值上大于它，而在其它目標(biāo)值上欲等于它，所謂求解多目標(biāo)問(wèn)題往往歸結(jié)為如何從非劣解中求一個(gè)最優(yōu)解）,6.2 多目標(biāo)最優(yōu)化的求解方法多目標(biāo)決策 6.2.1 經(jīng)濟(jì)工作中的多目標(biāo)決策方法 1.主要目標(biāo)法 2.目的規(guī)劃法 3.線性加權(quán)求和法 4.費(fèi)用效果分析法 5.序列最優(yōu)化方法 6.2.2 同等滿意度法,6.3 多目標(biāo)決策

5、中目標(biāo)轉(zhuǎn)化的等效系數(shù)法 所謂等效系數(shù)法，是一種將計(jì)量單位或量綱不統(tǒng)一的目標(biāo)（指標(biāo)）值轉(zhuǎn)化為無(wú)量綱的標(biāo)準(zhǔn)形式，使得所有目標(biāo)值都介于小于等于1和大于等于-1之間,即-1,1之間的實(shí)數(shù)，稱這些實(shí)數(shù)為等效系數(shù)。其方法如下;在表1中有n個(gè)方案和m個(gè)目標(biāo)，于是可產(chǎn)生nm個(gè)目標(biāo)（指標(biāo)）值Dij，這些Dij必須是大于等于0的實(shí)數(shù)。在目標(biāo)是m個(gè)時(shí)可采用如下方法求得n個(gè)方案的等效系數(shù)Dij。,表1,（1）若目標(biāo)函數(shù)fj要求越大越好時(shí)，可先找出該目標(biāo)中最大的Dij值，即（固定j，變i，在相應(yīng)的Dij中找出最大值做DiLj，在fj目標(biāo)中，求出最佳方案Ai的值為DiLj。如f3對(duì)A2方案為最佳，某值D23即是DiLj。

6、腳標(biāo)Lj表示最佳方案的目標(biāo)序號(hào)。） DiLj=maxDii 1in,按下式（1）可求得相應(yīng)的等效系數(shù) Dii*值 由式（1）可見(jiàn)所有的Dii*都是小于等于1和大于等于0之間的實(shí)數(shù)，即0,1，最大的Dii值為1，此時(shí)的目標(biāo)值最優(yōu)，為此對(duì)應(yīng)的方案Ai最佳。 （2）若目標(biāo)fj要求越小越好的話，同樣應(yīng)先找出該目標(biāo)中最大的Dii值,DiLj=maxDii 1in 而后按式（2）可求出相應(yīng)的等效系數(shù)Dii*值 式（2）與式（1）相同，區(qū)別僅在于式（2）中有負(fù)號(hào)。從式（2）中可見(jiàn)，所有的Dii*是小于等于0，大于等于-1的實(shí)數(shù)，即-1,0。,其最大的實(shí)數(shù)為0，表明該值的目標(biāo)值最優(yōu)，與其對(duì)應(yīng)的方案Ai最佳。

7、針對(duì)本文改進(jìn)方法的式（1）、（2）嚴(yán)格成立必須使得全部的Dii0，方能保證式（1）、（2）嚴(yán)格有意義。 通過(guò)（1）式和（2）式的計(jì)算可獲得nm項(xiàng)Dii*值，而Dii*值介于-1,1區(qū)間內(nèi)。,采用如上的等效系數(shù)法求得的Dii*值，相對(duì)而言保持了原來(lái)數(shù)據(jù)的意義。對(duì)于一些不同的數(shù)值除以一個(gè)相同數(shù)值。除的先后其比值不變，所以在同一目標(biāo)指標(biāo)中采用等效系數(shù)法，既可保持原始數(shù)據(jù)間的本來(lái)意義，又可排除一些不必要的事先規(guī)定或人為干擾。 在獲得Dii*基礎(chǔ)上進(jìn)行多目標(biāo)比較與方案比較，對(duì)任意兩種方案Ai和 必然會(huì)出現(xiàn)如下四種關(guān)系：,（1）Ai優(yōu)于 ，表示第Ai個(gè)方案中所有的Dii*值都比方案 的 值要大； （2）A

8、i劣于 ，表示第Ai個(gè)方案中所有的Dii*值都比方案 的 值要??； （3）Ai等價(jià)（相當(dāng)）于 ，表示第Ai個(gè)方案中所有的Dii*值都相等；,（4）Ai和 的優(yōu)劣關(guān)系不定，表示兩個(gè)方案中的Dii*值不能按優(yōu)劣關(guān)系全排列，它們之間是半序關(guān)系，即Ai方案中的某些Dii比方案 中的 值優(yōu)，有些卻劣。 在方案選擇中，出現(xiàn)前三種情況，可很快找到最優(yōu)方案，淘汰所有的劣方案，雖然關(guān)系不定的第四種情況很難比較，它的非劣方案和非劣解不止一個(gè)，可將非劣方案的集合記為 S相繼作出一個(gè)綜合比較的目標(biāo)Ei*,可利用下式找出最大的Eio*綜合評(píng)價(jià)值 這時(shí)得出的Eio*后，與其對(duì)應(yīng)的方案Aio為最優(yōu)方案，也可按照Ei*的大小

9、排序，所有方案Ai按優(yōu)先順序排序列，供決策者選用。,6.4 方案優(yōu)選及多目標(biāo)決策 設(shè)目標(biāo)函數(shù)為V的 比較方案的集合為X，則其數(shù)學(xué)模型為： VminU(x) xX 通常多目標(biāo)問(wèn)題不存在使多個(gè)分目標(biāo)均達(dá)到最優(yōu)的“最佳”解，因而只能在不同意義下尋求最優(yōu)，眾所周知，若“最佳”解存在，那么,它一定是在任何意義下都達(dá)到最優(yōu)，下面采用兩種方法確定最優(yōu)策略（方案）。 6.4.1 多目標(biāo)決策優(yōu)序數(shù)法 考慮問(wèn)題 VminU（x） xX 其中： x是有限個(gè)方案組成的集合x(chóng)1,x2,xn；比較指標(biāo)集合為 （見(jiàn)表3） 其中ui(x)表示第i個(gè)指標(biāo)，它可以是定量的，,也可以是定性的，M1,2,m， N1,2,n而且要求m

10、2，n2，為將指標(biāo)轉(zhuǎn)化為比較序數(shù)aijl （相當(dāng)于等效系數(shù)），則令 （ 指標(biāo)編號(hào)）(見(jiàn)表401),（2）求比較優(yōu)序數(shù)aij 并稱aij為方案xi對(duì)方案xj在整體目標(biāo)上的優(yōu)序數(shù)，aji為劣序數(shù)，我們將aij排成矩陣形式如下 : (見(jiàn)表2 和表402) （3）求總優(yōu)序數(shù)Ki 第i方案xi的總優(yōu)序數(shù)記為,表2 多 目 標(biāo) 優(yōu) 序 數(shù) 矩 陣,并把第j個(gè)方案xj的劣序數(shù)記為 （4）根據(jù)Ki的 大小優(yōu)選決策次序 其 表明一個(gè)方案 的優(yōu)序數(shù)Ki與劣序數(shù)Hi成反比，決策方法是按Ki的大小將所有的方案排序，可選擇一個(gè)方案xe使得,并把xe排在最前面的第一位，隨后，若第e個(gè)方案xe滿足 則把xe排在第2位，以此

11、類推，于是可把各個(gè)方案排成一個(gè)優(yōu)選決策次序，供決策機(jī)構(gòu)參考，則把xe排在第3位。,6.4.2 多目標(biāo)決策的加權(quán)優(yōu)序數(shù)法 針對(duì)各目標(biāo)重要性不同，（上述優(yōu)序數(shù)法是把所有的目標(biāo)按同等重要性考慮的）事實(shí)上各目標(biāo)函數(shù)中各目標(biāo)的重要性是不相同的，故對(duì)指標(biāo)賦予不同的權(quán)重，令UL(x)有權(quán)重位WL, LM 要求：,故可對(duì)上述方法作如下修正 令 其實(shí)這里的Ki和原來(lái)aijl存在如下關(guān)系：,利用Ki代替方法1中的Ki便可排出對(duì)各方案的優(yōu)選決策順序。 用賦權(quán)后的優(yōu)序數(shù)總和代替未賦權(quán)的優(yōu)序數(shù)總和指標(biāo)比較。 6.4.3 三峽施工場(chǎng)外交通的目標(biāo)（指標(biāo)） 1.交通系統(tǒng)比較工程總投資：U1(x) (萬(wàn)元) 表示各單位設(shè)計(jì)概算

12、投資和完善方案增補(bǔ)投資的總和。,2.總裝運(yùn)費(fèi)：U2(x) (萬(wàn)元) 方案xi完成砂石料和商品材料總運(yùn)量的裝運(yùn)費(fèi)和客運(yùn)費(fèi)總和。 3.交通工程的施工工期：U3(x) (年) 方案xi設(shè)計(jì)單位提出的工期。 4.運(yùn)輸系統(tǒng)的可靠性：U4(x) 方案xi設(shè)自然因素（受冰凍，汛期水霧，雨季塌方，霧天等影響）造成交通運(yùn)輸系統(tǒng)中斷的影響程度，劃分為三個(gè)等級(jí)，,可靠性較高的屬1等，可靠性一般的屬2等，可靠性較差的屬3等。 5.職工通勤旅途消耗時(shí)間：U5(x) (分鐘) 方案xi職工通勤旅途消耗的時(shí)間包括離家到乘車（船）地方消耗的正常時(shí)間，車(船)行駛的時(shí)間，下車（船）到工地的時(shí)間以及下班沿程返回基地的時(shí)間。,6.

13、職工通勤安全的保證法：U6(x)（等級(jí)） 方案xi職工通勤安全的保證性，劃分為二等，對(duì)安全保證性大的定為1等，保證性一般的定為2等。 7.征地畝數(shù)：U7(x) 方案xi交通工程占地，或因交通運(yùn)輸可靠性較差，要求增大倉(cāng)庫(kù)或堆場(chǎng)的容積增加占地面積和原交通工程占地面積的總和（車站碼頭道路）。,8.無(wú)利運(yùn)費(fèi)率：U8(x) (元/噸) 方案xi每運(yùn)輸一噸貨物所需的無(wú)利運(yùn)費(fèi)可按中國(guó)船舶工業(yè)總公司第九設(shè)計(jì)院提供如下公式計(jì)算（不計(jì)盈利的運(yùn)費(fèi)率） 其中Jn(x)表示方案xi的運(yùn)輸工具n擔(dān)負(fù)的最大年運(yùn)量，表示運(yùn)營(yíng)成本。,式中An為運(yùn)輸工具的造價(jià) S為運(yùn)輸工具的運(yùn)營(yíng)成本，y為投資年利率（取3），H為運(yùn)輸工具使用年限

14、，取20年，J為年運(yùn)量，n為子系統(tǒng)序號(hào)。,9.完成單位運(yùn)量的設(shè)計(jì)投資率：U9(x)(元/噸) 方案xi完成一噸貨運(yùn)所花的設(shè)計(jì)投資 U9(x)=U1(x)/Q(x) 效益投資比 式中Q(x)為交通運(yùn)輸方案xi擔(dān)負(fù)的總貨運(yùn)量(噸) 10運(yùn)輸系統(tǒng)職工總?cè)藬?shù)：U10(x) (人) 方案xi完成運(yùn)輸系統(tǒng)運(yùn)行管理的職工總?cè)藬?shù)（反映管理的難易、繁簡(jiǎn)）。 11.運(yùn)輸工具能源消耗費(fèi)用：U11(x)(萬(wàn)元),方案xi完成商品材料、砂石料和客運(yùn)、總運(yùn)量消耗的能源費(fèi)用。 12.對(duì)長(zhǎng)江航運(yùn)有無(wú)影響：U12(x) 方案xi完成運(yùn)輸任務(wù)對(duì)長(zhǎng)江航運(yùn)有無(wú)干擾影響，有影響為2，無(wú)影響為1。 13.外來(lái)物資的裝卸次數(shù)：U13(x)

15、 方案xi運(yùn)輸外來(lái)物資至壩址的裝和卸總次數(shù)。 以上各指標(biāo)及方案的值詳見(jiàn)表3（運(yùn)輸系統(tǒng)決策分析技術(shù)經(jīng)濟(jì)指標(biāo)表）,6.4.4 決策意見(jiàn) 1.火車輪渡直達(dá)前方兩岸的情況 將表42中的aij，排出優(yōu)序數(shù)決策矩陣如表43 以表43中Ki的大小為序，其決策順序應(yīng)為： x3 x2 x4 x1 鐵路 水運(yùn) 公路 火車輪渡 2.火車輪渡只達(dá)左岸樂(lè)天溪的情況 取消右岸楊家灣碼頭，省掉一些碼頭工,程投資，但又增加了一些轉(zhuǎn)運(yùn)費(fèi)，按加權(quán)優(yōu)序數(shù)法，排出如表44，從該表44中的aij排出加權(quán)多目標(biāo)優(yōu)序數(shù)決策矩陣如表45中Ki的大小為序，其決策順序應(yīng)為 x3 x4 x2 x1 鐵路 公路 水運(yùn) 火車輪渡 建議對(duì)三峽工程施工對(duì)外交通運(yùn)輸方案做決策時(shí)，應(yīng)采用鐵路為主，水運(yùn)與公路為輔的方案，就鐵路工程本身，應(yīng)采用鐵二院推薦的姜家廟電力機(jī)車牽引方案見(jiàn)表46 。,表3 運(yùn)輸系統(tǒng)決策分析技術(shù)經(jīng)濟(jì)指標(biāo)表,表42 火車輪渡直達(dá)兩岸(楊家灣設(shè)碼頭) 加權(quán)多指標(biāo)決策對(duì)比優(yōu)序數(shù)矩陣的計(jì)算