1、第3章 多維隨機變量及其分布,3.1 多維隨機變量及聯(lián)合分布,3.2 二維隨機變量的邊緣分布,3.3 條 件 分 布,3.4 隨機變量的相互獨立性,3.5 二維隨機變量函數(shù)的分布,第3章 多維隨機變量及其分布,在實際問題的研究中，只用一個隨機變量往往是不夠的 例如，要研究兒童的生長發(fā)育情況，常用身高和體重兩個隨機變量來描述； 研究某地區(qū)的氣候狀況需要考慮溫度、濕度等多個隨機變量； 研究國民經(jīng)濟狀況，就需要用GDP、固定資產(chǎn)投資、各產(chǎn)業(yè)產(chǎn)值、人均消費額等很多隨機變量來描述 本章學(xué)習(xí)多維隨機變量及其分布的有關(guān)概念、理論和應(yīng)用,【保險中的理賠總量模型】 保險公司在一個會計年度保險單的理賠次數(shù)、每次的

2、理賠額和全年理賠總量均為隨機變量某保險公司為了研究某類保險在一個會計年度的理賠總量，用Xi表示某類保險單的第i次理賠額，N表示在一個會計年度所有這類保單發(fā)生理賠次數(shù)，Y表示這一年中對這類保單的理賠總量建立如下理賠總量模型：,現(xiàn)有一組保單，假設(shè)在一年內(nèi)可能發(fā)生的理賠次數(shù)為0，1，2和3，相應(yīng)的概率為0.1，0.3，0.4和0.2每張保單可能產(chǎn)生的理賠額為1，2，3（萬元），相應(yīng)的概率為0.5，0.4，0.1，試分析理賠總量Y的概率分布，并求理賠總量超過6萬元的概率,【保險中的理賠總量模型】,3.1 多維隨機變量及聯(lián)合分布 3.1.1 多維隨機變量的概念 定義3.1 如果X1()，X2()，Xn(

3、)是定義在同一個樣本空間 = 上的n個隨機變量，則稱 為n維隨機變量或n維隨機向量，簡記為X = (X1，X2，Xn) 注意，多維隨機變量的關(guān)鍵是定義在同一樣本空間上，對于不同樣本空間上的兩個隨機變量，本章將不涉及這類問題,第3章 多維隨機變量及其分布,3.1.1 多維隨機變量的概念,【例3.1】在研究每個家庭的支出情況時，我們感興趣于每個家庭（樣本點）的衣食住行四個方面，若用X1()，X2()，X3()，X4()分別表示衣食住行的花費，則(X1，X2，X3，X4)就是一個四維隨機變量 逐個地來研究每個隨機變量的性質(zhì)是不夠的，還需要將(X1，X2，Xn)作為一個整體來進行研究 本章中主要研究二

4、維隨機變量，二維以上的情況可類似地進行.,定義3.2 設(shè)(X，Y)是二維隨機變量，對于任意實數(shù)x，y，事件X x，Y y同時發(fā)生的概率 稱為二維隨機變量(X，Y)的分布函數(shù)，或X與Y的聯(lián)合分布函數(shù) 如果將二維隨機變量(X，Y)看成是平面上隨機點的坐標(biāo)，那么分布函數(shù)F(x，y)在(x，y)處的函數(shù)值就是隨機點(X，Y)落在以點(x，y)為右上角的無窮矩形內(nèi)的概率.,3.1.2 二維隨機變量及聯(lián)合分布函數(shù),3.1.2 二維隨機變量及聯(lián)合分布函數(shù),容易證明分布函數(shù)F(x，y)具有以下的性質(zhì): (1) 單調(diào)性：F(x，y)分別對x或y是單調(diào)不減的，即 當(dāng) 時，有 當(dāng) 時，有 (2) 有界性：對任意的x

5、和y，有 ，且,3.1.2 二維隨機變量及聯(lián)合分布函數(shù),(3) 右連續(xù)性：對每個變量是右連續(xù)的，即 對任意的x0，有 ； 對任意的y0，有 (4) 非負(fù)性：對任意的a b，c d有 事實上，具有上述四條性質(zhì)的二元函數(shù)F(x，y)一定是某個二維隨機變量的分布函數(shù) 注意，一個二元函數(shù)F(x，y)滿足前三條性質(zhì)時不一定滿足性質(zhì)(4) (見例3.2),3.1.3 二維離散型隨機變量及聯(lián)合分布律,定義3.3 如果二維隨機變量(X，Y)只取有限個或可列個數(shù)對(xi，yj)，則稱(X，Y)為二維離散型隨機變量，稱 為(X，Y)的分布律，或X與Y的聯(lián)合分布律 也可用如下表格形式表示(X，Y)的分布律,3.1.

6、3 二維離散型隨機變量及聯(lián)合分布律,聯(lián)合分布律有如下性質(zhì)： (1) 非負(fù)性： (2) 歸一性： 求二維離散型隨機變量(X，Y)的分布律，關(guān)鍵是寫出(X，Y)所有可能取到的數(shù)對及其發(fā)生的概率,3.1.3 二維離散型隨機變量及聯(lián)合分布律,【例3.3】甲乙兩人獨立進行射擊，甲每次命中率為0.2，乙每次命中率為0.5以X、Y分別表示甲、乙各射擊兩次的命中次數(shù)，試求(X，Y)的分布律 解：由題知，X、Y均可取0，1，2由于甲、乙是獨立進行射擊，所以X = i與Y = j兩事件相互獨立，i，j = 0，1，2于是 PX = i，Y = j = PX = iPY = j i，j = 0，1，2 故(X，Y)

7、的分布律為,【補充例 】袋中有2只黑球、2只白球、3只紅球，在其中任取2只球.以X表示取到黑球的只數(shù)，以Y表示取到白球的只數(shù).(1)求(X,Y)的分布律. (2)求概率,解: (1)X所有可能取的不同值為0,1,2;Y所有可能取的不同值為0,1,2. (X,Y)的分布律為,分布律也可寫成以下表格的形式.,3.1.3 二維離散型隨機變量及聯(lián)合分布律,(2),3.1.3 二維離散型隨機變量及聯(lián)合分布律,3.1.4 二維連續(xù)型隨機變量及聯(lián)合概率密度 定義3.4 如果存在二元非負(fù)函數(shù)f (x，y)，使得二維隨機變量(X，Y)的分布函數(shù)F(x，y)可表示為 則稱(X,Y)為二維連續(xù)型隨機變量,稱f(x,

8、y)為(X,Y)的概率密度，或X與Y的聯(lián)合概率密度 顯然，在F(x，y)偏導(dǎo)數(shù)存在的點上有,3.1 多維隨機變量及聯(lián)合分布,3.1.4 二維連續(xù)型隨機變量及聯(lián)合概率密度,聯(lián)合概率密度有如下性質(zhì)： (1) 非負(fù)性：f(x，y) 0 (2) 歸一性： (3) 二維隨機變量(X，Y)落在平面上某個區(qū)域G內(nèi)的概率為,【例3.5】已知隨機變量X和Y的聯(lián)合概率密度為 試求PX Y 解：由聯(lián)合概率密度的性質(zhì)3知： 積分區(qū)域x y與f(x，y)取值非零的區(qū)域的交集如圖.所以,3.1.4 二維連續(xù)型隨機變量及聯(lián)合概率密度,【例3.6】設(shè)二維隨機變量(X，Y)具有概率密度 求分布函數(shù)F(x，y) 解：,3.1.4

9、 二維連續(xù)型隨機變量及聯(lián)合概率密度,解:（1）由于在區(qū)域G: 00, 其他f(x,y)0所以,3.1 多維隨機變量及聯(lián)合分布,【補充例 】,解得k=2,3.1 多維隨機變量及聯(lián)合分布,解:（1）由于在區(qū)域G: 00, 其他f(x,y)0所以,（2）設(shè)區(qū)域為: ,3.1 多維隨機變量及聯(lián)合分布,3.1.5 常用二維分布 1. 二維均勻分布 定義3.5 設(shè)G是平面上的一個有界區(qū)域，其面積為A，令 以f(x，y)為概率密度的二維隨機變量(X，Y)稱為服從區(qū)域G上的均勻分布,3.1 多維隨機變量及聯(lián)合分布,3.1.5 常用二維分布,【例3.7】設(shè)( X，Y )服從區(qū)域 G：0 x 2；0 y 2上的均勻分布， 求P| X Y