1、函數(shù)的單調(diào)性 和曲線的凸凹,一、單調(diào)性的判別法 （利用導(dǎo)數(shù)解決單調(diào)性問題）,定理,(2)函數(shù)的單調(diào)性是一個(gè)區(qū)間上的性質(zhì)，要用導(dǎo)數(shù)在這一區(qū)間上的符號(hào)來判定，而不能用一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)符號(hào)來判別一個(gè)區(qū)間上的單調(diào)性,(1)將此定理中的閉區(qū)間換成其他各種區(qū)間 （包括無窮區(qū)間），結(jié)論仍成立。,注意：,即：區(qū)間內(nèi)個(gè)別點(diǎn)導(dǎo)數(shù)為零,不影響區(qū)間的單調(diào)性.,例如,單調(diào)增加,函數(shù)圖像與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系：,對于某區(qū)間上的函數(shù)y = f(x)，導(dǎo)數(shù)為正，曲線上升；導(dǎo)數(shù)為零，曲線不升不降（水平曲線）；導(dǎo)數(shù)為負(fù)， 曲線下降。,例1,解:,例2,解,解,練 習(xí),函數(shù)單調(diào)增加.,問題:如上例，函數(shù)在定義區(qū)間上不是單調(diào)的，但在各個(gè)部分區(qū)間上

2、單調(diào),定義:若函數(shù)在其定義域的某個(gè)區(qū)間內(nèi)是單調(diào)的，則該區(qū)間稱為函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.,導(dǎo)數(shù)等于零的點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)，可能是單調(diào)區(qū)間的分界點(diǎn),方法:,二、單調(diào)區(qū)間的求法,例3,解,單調(diào)區(qū)間為,例4,解,單調(diào)區(qū)間為,注意:導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)，有可能成為 單調(diào)區(qū)間的分界點(diǎn)。,說明:,單調(diào)區(qū)間的分界點(diǎn)除駐點(diǎn)外,也可是導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn).,例如,2) 如果函數(shù)在某駐點(diǎn)兩邊導(dǎo)數(shù)同號(hào), 則不改變函數(shù)的單調(diào)性 .,例如,求函數(shù),單調(diào)區(qū)間。,練 習(xí),解,在-1,3內(nèi)，,函數(shù)的定義域,利用單調(diào)性證明不等式，也是我們常用的方法。,例5,證 設(shè),三、曲線凹凸性與拐點(diǎn),問題:如何研究曲線的彎曲方向?,圖形上任意弧總是位于任意切線的上方,

3、（向上）凹的,（向上）凸的,圖形上任意弧總是位于任意切線的下方,（向上）凹的,（向上）凸的,定義,四、曲線凹凸的判定,定理,例6,解,曲線在 為凸的,例7,解,注意到,五、曲線的拐點(diǎn)及其求法,1、定 義,注意:拐點(diǎn)處的切線必在拐點(diǎn)處穿過曲線.,2、拐點(diǎn)的求法,方法1:,判定曲線的凹凸性 與求曲線的拐點(diǎn)的一般步驟為：,(1) 求函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù) ；,并求出所有使二階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)；,(3) 對步驟(2)中求出的每一個(gè)點(diǎn)，檢查,其鄰近左、右兩側(cè),的符號(hào)，確定,曲線的凹凸區(qū)間和拐點(diǎn).,例8,解,凹的,凸的,凹的,拐點(diǎn),拐點(diǎn),例9,解,注意:,內(nèi)容小結(jié),1. 可導(dǎo)函數(shù)單調(diào)性判別,在 I 上單調(diào)遞增,在 I 上單調(diào)遞減,2.曲線凹凸與拐點(diǎn)的判別,拐點(diǎn), 連續(xù)曲線上有切線的凹凸分界點(diǎn),思考題,思考題解答,例,練 習(xí),確定函數(shù) 的單