1、四川省南江四中高一數(shù)學(xué)初高中銜接教材：三角形的“四心”三角形是最重要的基本平面圖形，很多較復(fù)雜的圖形問題可以化歸為三角形的問題.圖2圖1如圖1 ，在三角形中，有三條邊，三個(gè)角，三個(gè)頂點(diǎn)，在三角形中，角平分線、中線、高（如圖 2）是三角形中的三種重要線段. 三角形的三條中線相交于一點(diǎn)，這個(gè)交點(diǎn)稱為三角形的重心.三角形的重心在三角形的內(nèi)部，恰好是每條中線的三等分點(diǎn).例1 求證三角形的三條中線交于一點(diǎn)，且被該交點(diǎn)分成的兩段長(zhǎng)度之比為2：1.已知 D、E、F分別為三邊BC、CA、AB的中點(diǎn)，求證 AD、BE、CF交于一點(diǎn)，且都被該點(diǎn)分成2：1.證明 連結(jié)DE，設(shè)AD、BE交于點(diǎn)G，D、E分別為BC、A

2、E的中點(diǎn)，則DE/AB，且，且相似比為1：2，.設(shè)AD、CF交于點(diǎn)，同理可得，則與重合， AD、BE、CF交于一點(diǎn)，且都被該點(diǎn)分成.三角形的三條角平分線相交于一點(diǎn)，是三角形的內(nèi)心. 三角形的內(nèi)心在三角形的內(nèi)部，它到三角形的三邊的距離相等. 例2 已知的三邊長(zhǎng)分別為，I為的內(nèi)心，且I在的邊上的射影分別為，求證：.證明 作的內(nèi)切圓，則分別為內(nèi)切圓在三邊上的切點(diǎn)，為圓的從同一點(diǎn)作的兩條切線，同理，BD=BF，CD=CE.即.例3 若三角形的內(nèi)心與重心為同一點(diǎn)，求證：這個(gè)三角形為正三角形.已知 O為三角形ABC的重心和內(nèi)心.求證 三角形ABC為等邊三角形.證明 如圖，連AO并延長(zhǎng)交BC于D.O為三角形

3、的內(nèi)心，故AD平分，（角平分線性質(zhì)定理）O為三角形的重心，D為BC的中點(diǎn)，即BD=DC.，即.同理可得，AB=BC.為等邊三角形.三角形的三條高所在直線相交于一點(diǎn)，該點(diǎn)稱為三角形的垂心.銳角三角形的垂心一定在三角形的內(nèi)部，直角三角形的垂心為他的直角頂點(diǎn)，鈍角三角形的垂心在三角形的外部.（如圖） 例4 求證：三角形的三條高交于一點(diǎn).已知 中，AD與BE交于H點(diǎn).求證 .證明 以CH為直徑作圓，在以CH為直徑的圓上，.同理，E、D在以AB為直徑的圓上，可得.，又與有公共角，即.過不共線的三點(diǎn)A、B、C有且只有一個(gè)圓，該圓是三角形ABC的外接圓，圓心O為三角形的外心.三角形的外心到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，是各邊的垂直平分線的交點(diǎn).練習(xí)1求證：若三角形的垂心和重心重合，求證：該三角形為正三角形.2 （1） 若三角形ABC的面積為S，且三邊長(zhǎng)分別為，則三角形的內(nèi)切圓的半