1、1,第三節(jié) 二階常系數(shù)線性微分方程的解法,一、二階常系數(shù)線性微分方程解的性質(zhì)與通解的結(jié)構(gòu),二階常系數(shù)線性微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式,其中a,b是常數(shù).,(1),(2),稱為二階常系數(shù)齊次線性微分方程。,2,二階常系數(shù)齊次線性方程解的性質(zhì),回顧,一階齊次線性方程,1、方程(1)的任意兩個(gè)解的和仍是(1)的解；,2、方程(1)的任意一個(gè)解的常數(shù)倍仍是(1)的解；,3,二階常系數(shù)齊次線性方程解的性質(zhì),1、方程(2)的任意兩個(gè)解的和仍是(2)的解；,2、方程(2)的任意一個(gè)解的常數(shù)倍仍是(2)的解；,也是(2)的解.,(稱線性無(wú)關(guān)),則上式為(2)的通解.,定理1,(2),4,二、二階常系數(shù)齊次線性方程的解法

2、,代數(shù)方程(3)稱為微分方程(2)的特征方程,它的根稱為特征根(或特征值).,(3),(2),5,故它們線性無(wú)關(guān),因此(2)的通解為,(3),情形1,6,情形2,7,情形3,可以證明,是(2)的解，,且線性無(wú)關(guān)，,所以方程(2)的通解為,8,小結(jié),特征根的情況,通解的表達(dá)式,實(shí)根,實(shí)根,復(fù)根,9,解,特征方程為,故所求通解為,例1,例2,解,特征方程為,解得,故所求通解為,特征根為,10,解,特征方程為,故通解為,例3,特征根為,11,對(duì)應(yīng)齊次方程,三、二階常系數(shù)非齊次線性方程解的性質(zhì)及求解法,(1),(2),1、方程(1)的任意一個(gè)解加上方程(2)的任意一個(gè)解是(1)的解；,2、方程(1)的

3、任意兩個(gè)解之差是(2)的解 .,定理2,那么方程(1)的通解為,12,問(wèn)題歸結(jié)為求方程(1)的一個(gè)特解.,只討論 f (x) 的兩種類型.,用待定系數(shù)法求解.,對(duì)應(yīng)齊次方程,三、二階常系數(shù)非齊次線性方程解的性質(zhì)及求解法,(1),(2),那么方程(1)的通解為,定理2,13,則,14,情形1,若 r 不是特征根,即,情形2,若 r 是特征方程的單根,即,15,情形3,若 r 是特征方程的二重根,即,16,綜上討論,設(shè)特解為,其中,17,解,對(duì)應(yīng)齊次方程通解,特征方程,特征根,例4,代入原方程,得,18,解,對(duì)應(yīng)齊次方程通解,特征方程,特征根,代入方程，,原方程通解為,例5,得,19,解,對(duì)應(yīng)齊次

4、方程通解,特征方程,特征根,例6,代入方程, 得,20,解,對(duì)應(yīng)齊次方程通解,特征方程,特征根,例6,注意：,現(xiàn)即,即得,這樣比代入原方程要簡(jiǎn)便得多。,21,解,例7,對(duì)應(yīng)齊次方程通解,特征方程,特征根,22,此時(shí)原方程的通解為,23,可以證明,方程(1)具有如下形式的特解:,24,解,例8,所求通解為,對(duì)應(yīng)齊次方程通解,特征方程,特征根,代入原方程,得,25,解,例9,所求通解為,對(duì)應(yīng)齊次方程通解,特征方程,特征根,代入原方程,得,26,定理3 (非齊次線性方程的疊加原理),和,的特解,的一個(gè)特解,27,例10,解,代入得,28,解,代入得,原方程通解為,例10,29,解,例11,是對(duì)應(yīng)齊次方程的通解,但沒(méi)有原方程的特解,故(B)也不對(duì)；,二階非齊次線性微分方程,30,31,解,例12,求