1、6.3等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和2014高考會(huì)這樣考1.以等比數(shù)列的定義及等比中項(xiàng)為背景，考查等比數(shù)列的判定；2.運(yùn)用基本量法求解等比數(shù)列問(wèn)題；3.考查等比數(shù)列的應(yīng)用問(wèn)題復(fù)習(xí)備考要這樣做1.注意方程思想在解題中的應(yīng)用；2.使用公式要注意公比q1的情況；3.結(jié)合等比數(shù)列的定義、公式，掌握通性通法1等比數(shù)列的定義如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一常數(shù)(不為零)，那么這個(gè)數(shù)列叫作等比數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫作等比數(shù)列的公比，通常用字母_q_表示2等比數(shù)列的通項(xiàng)公式設(shè)等比數(shù)列an的首項(xiàng)為a1，公比為q，則它的通項(xiàng)ana1qn1.3等比中項(xiàng)若G2ab_(ab0)，那么G叫作a與b的等比中項(xiàng)4等比數(shù)

2、列的常用性質(zhì)(1)通項(xiàng)公式的推廣：anamqnm，(n，mN*)(2)若an為等比數(shù)列，且klmn (k，l，m，nN*)，則akalaman.(3)若an，bn(項(xiàng)數(shù)相同)是等比數(shù)列，則an(0)，a，anbn，仍是等比數(shù)列5等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式等比數(shù)列an的公比為q(q0)，其前n項(xiàng)和為Sn，當(dāng)q1時(shí)，Snna1；當(dāng)q1時(shí)，Sn.6等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)公比不為1的等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，則Sn，S2nSn，S3nS2n仍成等比數(shù)列，其公比為_(kāi)qn_.難點(diǎn)正本疑點(diǎn)清源1等比數(shù)列的特征從等比數(shù)列的定義看，等比數(shù)列的任意項(xiàng)都是非零的，公比q也是非零常數(shù)2等比數(shù)列中的函數(shù)觀點(diǎn)利用函數(shù)、方

3、程的觀點(diǎn)和方法，揭示等比數(shù)列的特征及基本量之間的關(guān)系在借用指數(shù)函數(shù)討論單調(diào)性時(shí)，要特別注意首項(xiàng)和公比的大小3兩個(gè)防范(1)由an1qan，q0并不能立即斷言an為等比數(shù)列，還要驗(yàn)證a10.(2)在運(yùn)用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)，必須注意對(duì)q1與q1分類討論，防止因忽略q1這一特殊情形導(dǎo)致解題失誤1(2012遼寧)已知等比數(shù)列an為遞增數(shù)列，且aa10，2(anan2)5an1，則數(shù)列an的通項(xiàng)公式an_.答案2n解析先判斷數(shù)列的項(xiàng)是正數(shù)，再求出公比和首項(xiàng)aa100，根據(jù)已知條件得25，解得q2.所以aq8a1q9，所以a12，所以an2n.2在等比數(shù)列an中，各項(xiàng)均為正值，且a6a10a3a54

4、1，a4a85，則a4a8_.答案解析由a6a10a3a541及a6a10a，a3a5a，得aa41.因?yàn)閍4a85，所以(a4a8)2a2a4a8a412551.又an0，所以a4a8.3已知a，b，c成等比數(shù)列，如果a，x，b和b，y，c都成等差數(shù)列，則_.答案2解析令a1，b3，c9，則由題意，有x2，y6.此時(shí)2.4(2011廣東)已知an是遞增等比數(shù)列，a22，a4a34，則此數(shù)列的公比q_.答案2解析由a22，a4a34，得方程組q2q20，解得q2或q1.又an是遞增等比數(shù)列，故q2.5(2012課標(biāo)全國(guó))已知an為等比數(shù)列，a4a72，a5a68，則a1a10等于()A7 B5

5、 C5 D7答案D解析方法一由題意得或a1a10a1(1q9)7.方法二由解得或或a1a10a1(1q9)7.題型一等比數(shù)列的基本量的計(jì)算例1等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn.已知S1，S3，S2成等差數(shù)列(1)求an的公比q；(2)若a1a33，求Sn.思維啟迪：(1)由S1，S3，S2成等差數(shù)列，列方程求出q.(2)由a1a33求出a1，再由通項(xiàng)和公式求出Sn.解(1)依題意有a1(a1a1q)2(a1a1qa1q2)由于a10，故2q2q0.又q0，從而q.(2)由已知可得a1a123.故a14.從而Sn.探究提高等比數(shù)列基本量的運(yùn)算是等比數(shù)列中的一類基本問(wèn)題，數(shù)列中有五個(gè)量a1，n，q，a

6、n，Sn，一般可以“知三求二”，通過(guò)列方程(組)可迎刃而解 等比數(shù)列an滿足：a1a611，a3a4，且公比q(0,1)(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)若該數(shù)列前n項(xiàng)和Sn21，求n的值解(1)a3a4a1a6，又a1a611，故a1，a6可看作方程x211x0的兩根，又q(0,1)，a1，a6，q5，q，ann1n6.(2)由(1)知Sn21，解得n6.題型二等比數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用例2在等比數(shù)列an中，(1)若已知a24，a5，求an；(2)若已知a3a4a58，求a2a3a4a5a6的值思維啟迪：注意巧用性質(zhì)，減少計(jì)算如：對(duì)于等比數(shù)列an，若mnpq (m、n、p、qN*)，則amanap

7、aq；若mn2p(m，n，pN*)，則amana.解(1)設(shè)公比為q，則q3，即q3，q，ana5qn5n4.(2)a3a4a58，又a3a5a，a8，a42.a2a3a4a5a6a2532.探究提高在解決等比數(shù)列的有關(guān)問(wèn)題時(shí)，要注意挖掘隱含條件，利用性質(zhì)，特別是性質(zhì)“若mnpq，則amanapaq”，可以減少運(yùn)算量，提高解題速度 (1)已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列an中，a1a2a35，a7a8a910，則a4a5a6等于 ()A5 B7 C6 D4答案A解析把a(bǔ)1a2a3，a4a5a6，a7a8a9看成一個(gè)整體，則由題意，知它們分別是一個(gè)等比數(shù)列的第1項(xiàng)，第4項(xiàng)和第7項(xiàng)，這里的第4項(xiàng)剛好是第

8、1項(xiàng)與第7項(xiàng)的等比中項(xiàng)因?yàn)閿?shù)列an的各項(xiàng)均為正數(shù)，所以a4a5a65.(2)已知Sn為等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和，且S38，S67，則a4a5a9_.答案解析根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)，知S3，S6S3，S9S6成等比數(shù)列，即8,78，S97成等比數(shù)列，所以(1)28(S97)解得S97.所以a4a5a9S9S378.題型三等比數(shù)列的判定例3已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，數(shù)列bn中，b1a1，bnanan1 (n2)，且anSnn.(1)設(shè)cnan1，求證：cn是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列bn的通項(xiàng)公式思維啟迪：(1)由anSnn及an1Sn1n1轉(zhuǎn)化成an與an1的遞推關(guān)系，再構(gòu)造數(shù)列an1(2)由cn求a

9、n再求bn.(1)證明anSnn，an1Sn1n1.得an1anan11，2an1an1，2(an11)an1，an1是等比數(shù)列又a1a11，a1，首項(xiàng)c1a11，c1，公比q.又cnan1，cn是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列(2)解由(1)可知cnn1n，ancn11n.當(dāng)n2時(shí)，bnanan11nn1nn.又b1a1代入上式也符合，bnn.探究提高注意判斷一個(gè)數(shù)列是等比數(shù)列的方法，另外第(2)問(wèn)中要注意驗(yàn)證n1時(shí)是否符合n2時(shí)的通項(xiàng)公式，能合并的必須合并 已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn2an1，求證：an是等比數(shù)列，并求出通項(xiàng)公式證明Sn2an1，Sn12an11.an1Sn1Sn(2an11)

10、(2an1)2an12an.an12an，又S12a11a1，a110.又由an12an知an0，2.an是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列an12n12n1.等差與等比數(shù)列綜合性問(wèn)題的求解典例：(12分)(2011湖北)成等差數(shù)列的三個(gè)正數(shù)的和等于15，并且這三個(gè)數(shù)分別加上2、5、13后成為等比數(shù)列bn中的b3、b4、b5.(1)求數(shù)列bn的通項(xiàng)公式；(2)數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為Sn，求證：數(shù)列是等比數(shù)列審題視角設(shè)等差數(shù)列的三個(gè)正數(shù)，利用等比數(shù)列的性質(zhì)解出公差d，從而求出數(shù)列bn的首項(xiàng)、公比；利用等比數(shù)列的定義可解決第(2)問(wèn)規(guī)范解答(1)解設(shè)成等差數(shù)列的三個(gè)正數(shù)分別為ad，a，ad，依題意，得

11、adaad15，解得a5.2分所以bn中的b3，b4，b5依次為7d,10,18d.依題意，有(7d)(18d)100，解得d2或d13(舍去)4分故bn的第3項(xiàng)為5，公比為2.由b3b122，即5b122，解得b1.所以bn是以為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，其通項(xiàng)公式為bn2n152n3.6分(2)證明數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Sn52n2，即Sn52n2.8分所以S1，2.因此是以為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列12分求解等差和等比數(shù)列綜合性問(wèn)題的一般步驟：第一步：設(shè)等比數(shù)列、等差數(shù)列的基本量；第二步：根據(jù)條件列方程，解出基本量；第三步：根據(jù)公式求通項(xiàng)或前n項(xiàng)和；第四步：根據(jù)定義證明等差、等比數(shù)列；對(duì)于等

12、比數(shù)列，一定要說(shuō)明首項(xiàng)非零溫馨提醒關(guān)于等差(比)數(shù)列的基本運(yùn)算，其實(shí)質(zhì)就是解方程或方程組，需要認(rèn)真計(jì)算，靈活處理已知條件容易出現(xiàn)的問(wèn)題主要有兩個(gè)方面：一是計(jì)算出現(xiàn)失誤，特別是利用因式分解求解方程的根時(shí)，不注意對(duì)根的符號(hào)進(jìn)行判斷；二是不能靈活運(yùn)用等差(比)數(shù)列的基本性質(zhì)轉(zhuǎn)化已知條件，導(dǎo)致列出的方程或方程組較為復(fù)雜，增大運(yùn)算量.方法與技巧1等比數(shù)列的判定方法有以下幾種：(1)定義：q (q是不為零的常數(shù)，nN*)an是等比數(shù)列(2)通項(xiàng)公式：ancqn1 (c、q均是不為零的常數(shù)，nN*)an是等比數(shù)列(3)等比中項(xiàng)法：aanan2(anan1an20，nN*)an是等比數(shù)列2方程觀點(diǎn)以及基本量(

13、首項(xiàng)和公比a1，q)思想仍然是求解等比數(shù)列問(wèn)題的基本方法：在a1，q，n，an，Sn五個(gè)量中，知三求二3在求解與等比數(shù)列有關(guān)的問(wèn)題時(shí)，除了要靈活地運(yùn)用定義和公式外，還要注意性質(zhì)的應(yīng)用，以減少運(yùn)算量而提高解題速度失誤與防范1特別注意q1時(shí)，Snna1這一特殊情況2由an1qan，q0，并不能立即斷言an為等比數(shù)列，還要驗(yàn)證a10.3在運(yùn)用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)，必須注意對(duì)q1與q1分類討論，防止因忽略q1這一特殊情況而導(dǎo)致解題失誤A組專項(xiàng)基礎(chǔ)訓(xùn)練(時(shí)間：35分鐘，滿分：57分)一、選擇題(每小題5分，共20分)1(2011遼寧)若等比數(shù)列an滿足anan116n，則公比為 ()A2B4C8D1

14、6答案B解析由anan116n，知a1a216，a2a3162，后式除以前式得q216，q4.a1a2aq160，q0，q4.2等比數(shù)列中，|a1|1，a58a2.a5a2，則an等于 ()A(2)n1 B(2)n1C(2)n D(2)n答案A解析|a1|1，a11或a11.a58a2a2q3，q38，q2.又a5a2，即a2q3a2，a20.而a2a1qa1(2)0，a11.故ana1(2)n1(2)n1.3在等比數(shù)列an中，a12，前n項(xiàng)和為Sn，若數(shù)列an1也是等比數(shù)列，則Sn等于()A2n12 B3n C2n D3n1答案C解析由已知得數(shù)列an的前三項(xiàng)分別為2,2q,2q2.又(2q1

15、)23(2q21)，整理得2q24q20，解得q1，Sn2n.4在等比數(shù)列an中，a37，前3項(xiàng)之和S321，則公比q的值為 ()A1 B C1或 D1或答案C解析根據(jù)已知條件得3.整理得2q2q10，解得q1或q.二、填空題(每小題5分，共15分)5在等比數(shù)列an中，a1a230，a3a460，則a7a8_.答案240解析a1a2a1(1q)30，a3a4a1q2(1q)60，q22，a7a8a1q6(1q)a1(1q)(q2)3308240.6在數(shù)列an中，已知a11，an2(an1an2a2a1) (n2，nN*)，這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是_答案an解析由已知n2時(shí)，an2Sn1當(dāng)n3時(shí)，a

16、n12Sn2整理得3 (n3)，an7設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，前n項(xiàng)和為Sn，若Sn1，Sn，Sn2成等差數(shù)列，則q的值為_(kāi)答案2解析由已知條件得2SnSn1Sn2，即2Sn2Sn2an1an2，即2.三、解答題(共22分)8(10分)已知等差數(shù)列an滿足a22，a58.(1)求an的通項(xiàng)公式；(2)各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列bn中，b11，b2b3a4，求bn的前n項(xiàng)和Tn.解(1)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，則由已知得.a10，d2.ana1(n1)d2n2.(2)設(shè)等比數(shù)列bn的公比為q，則由已知得qq2a4，a46，q2或q3.等比數(shù)列bn的各項(xiàng)均為正數(shù)，q2.bn的前n項(xiàng)和Tn2n1.9

17、(12分)已知數(shù)列an的各項(xiàng)均為正數(shù)，且前n項(xiàng)和Sn滿足Sn(an1)(an2)若a2，a4，a9成等比數(shù)列，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式解因?yàn)镾n(an1)(an2)，所以當(dāng)n1時(shí)，有S1a1(a11)(a12)，解得a11或a12；當(dāng)n2時(shí)，有Sn1(an11)(an12)并整理，得(anan1)(anan13)0 (n2)因?yàn)閿?shù)列an的各項(xiàng)均為正數(shù)，所以anan13 (n2)當(dāng)a11時(shí)，an13(n1)3n2，此時(shí)aa2a9成立當(dāng)a12時(shí)，an23(n1)3n1，此時(shí)aa2a9不成立所以a12舍去故an3n2.B組專項(xiàng)能力提升(時(shí)間：25分鐘，滿分：43分)一、選擇題(每小題5分，共15分)1已

18、知an是首項(xiàng)為1的等比數(shù)列，若Sn是an的前n項(xiàng)和，且28S3S6，則數(shù)列的前4項(xiàng)和為 ()A.或4 B.或4 C. D.答案C解析設(shè)數(shù)列an的公比為q.當(dāng)q1時(shí)，由a11，得28S328384.而S66，兩者不相等，因此不合題意當(dāng)q1時(shí)，由28S3S6及首項(xiàng)為1，得.解得q3.所以數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an3n1.所以數(shù)列的前4項(xiàng)和為1.2已知方程(x2mx2)(x2nx2)0的四個(gè)根組成以為首項(xiàng)的等比數(shù)列，則等于()A. B.或 C. D以上都不對(duì)答案B解析設(shè)a，b，c，d是方程(x2mx2)(x2nx2)0的四個(gè)根，不妨設(shè)acdan，且a32是a2與a4的等差中項(xiàng)，則數(shù)列an的通項(xiàng)公式是_答案an2n解析因?yàn)閍32是a2與a4的等差中項(xiàng)，所以2(a32)a2a4.因?yàn)閍2a3a428，所以2(a32)a328.所以a38，a2a420.設(shè)數(shù)列an的公比為q，則解得或因?yàn)閿?shù)列an滿足an1an，所以a12，q2.所以