1、高三同步輔導(dǎo)材料（第3講）一、教學(xué)進(jìn)度 第三章 導(dǎo)數(shù)與微分二、學(xué)習(xí)指導(dǎo)通過運(yùn)動物體在某一時刻的瞬時速度（）、曲線在某一點(diǎn)處的切線的斜率（）、生產(chǎn)的邊際成本（）三個實(shí)例（ 也導(dǎo)數(shù)的三個重要應(yīng)用，特別地，曲線在某一點(diǎn)處切線的斜率即是導(dǎo)數(shù)的幾何意義）.抽象出它們共同的、實(shí)質(zhì)性的東西：函數(shù)的變化量y與自變量的變化x的比值當(dāng)x0時的極限，并定義為函數(shù)f(x)在這一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù).并進(jìn)而定義了導(dǎo)函數(shù)（簡稱導(dǎo)數(shù)） 導(dǎo)數(shù)應(yīng)用很廣泛，經(jīng)常需要求導(dǎo)，如果都用定義求一遍，不勝其煩，人們就用定義推導(dǎo)出一些常見函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，并作為公式加以應(yīng)用.課本內(nèi)只介紹了兩個求導(dǎo)公式：C/=0，及=（n為正整數(shù)）課本已予推導(dǎo)；兩個法則：

2、f(x)g(x) /=(x)g/(x). Cf（x）/=C(x) .請同學(xué)們根據(jù)定義自行證明一下上述兩個法則后再往下看：f(x)g(x) /= = = =（C） =C=.有了這些工具，我們就能求出一切多項式函數(shù)的導(dǎo)數(shù)了.另外，=， yx. 當(dāng)x很小時，可把它作為一個簡單易記的近似計算公式。導(dǎo)數(shù)就是從瞬時速度，切線斜率，邊際成本等實(shí)際問題中抽象概括出來的，當(dāng)然要反過來服務(wù)指導(dǎo)實(shí)際問題的解決，凡是與變化率相關(guān)的問題都可從微分和導(dǎo)數(shù)理論中受益，本講主要集中講授判斷證明函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的極值和最值。根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，函數(shù)在其定義域內(nèi)某從a到b(ab)的區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，即是對該區(qū)間內(nèi)任意的x1x2

3、(不妨記x= x2x10). 恒有y1y2（記y= y2y10）. 于是A（x1，y1），B（x2，y2）兩點(diǎn)間連線斜率=0. 從而=0. 由x1的任意性，知（a，b）內(nèi)的導(dǎo)函數(shù)值均正；反之，若f(x)在該區(qū)間單調(diào)遞減，即是對該區(qū)間內(nèi)任意的x1x2(不妨仍記x= x2x10). 恒有y1y2.記y= y2y10.則A、B連線斜率=0，從而=0. 所以，導(dǎo)函數(shù)值為正的區(qū)間原函數(shù)必是單調(diào)遞增的，導(dǎo)函數(shù)值為負(fù)的區(qū)間，原函數(shù)必是單調(diào)遞減的。而導(dǎo)函數(shù)值為O的點(diǎn)xo有可能（但不一定就是）是原函數(shù)增、減區(qū)間的接合點(diǎn)，也就是說，f(xo)有可能（但不一定就是）f(x)的一個極大（?。┲? 但到底是不是極值點(diǎn)，

4、還須看導(dǎo)函數(shù)在xo的左、右是否異號，如在xo左邊0，而在xo右邊0，則f(xo)為原函數(shù)的一個極大值；如在xo左邊0，而在xo右邊0，則f(xo)是原函數(shù)的一個極小值；如在xo左右符號相同，則f(xo)不是原函數(shù)的極值.我們原先用定義證明函數(shù)在某區(qū)間單調(diào)，過程相當(dāng)繁雜（對較復(fù)雜的函數(shù)更是如此）.而判斷單調(diào)區(qū)間的界限，則無明章可循，現(xiàn)在我們可以使用導(dǎo)數(shù)這個利器，過程就顯得簡單明了多了，今后再遇到類似問題，盡可以使用它。極值和最值是相互有聯(lián)系的不同概念，總的來說，極值是局部概念，f(xo)如果比xo附近（無論這個“附近”的范圍多小，不含xo）的x的函數(shù)值f(x)都大（?。? 則稱f(xo)就是f(

5、x)的一個極大（小）值. 且=0，但=0 . f(xo)卻不一定就是f(x)的極值. 最值是整體概念，若f(x)的定義域是R或開區(qū)間，則最值如果存在必是極值之一（諸極值中最大或最小者）, 當(dāng)然也有可能不存在 . 若f(x)的定義域是閉區(qū)間，則函數(shù)的最值是諸極值和邊界函數(shù)值中之最。從這個意義上講，最值不一定是極值，極值也不一定是最值，f(xo)最大（?。幢赜?0，故求最值，應(yīng)先求所有極值及邊界處的函數(shù)值，再從中挑選最值.三、典型例題講評例1nN*求函數(shù)y=xn（x0）的導(dǎo)函數(shù)我們現(xiàn)在除了兩個基本公式和兩個法則之外，只有定義可用，本題應(yīng)用導(dǎo)數(shù)定義無疑。 y/= = = =.上述結(jié)果的形式與=有

6、何關(guān)系？你能否據(jù)此猜度是什么（R）？解：= = = 這與n為正整數(shù)時(xn)/= 法則相合，（即以n代n，即得上式.）這會使我們猜測R時，=，這個猜測正確與否還需進(jìn)一步證明，且證明方法肯定與上面的方程不同（不能再用二項式定理了）.例2求過拋物線y=ax2+bx+c（a0）上一點(diǎn)P（x0，y0）處的切線方程，并由此證實(shí)拋物線的光學(xué)性質(zhì)。提示：為求斜率，先求導(dǎo)函數(shù)：y/=2ax+b，故切線方程為yy0=(2ax0+b)(xx0)即y=(2ax0+b)xax+c，亦即y=(2ax0+b)xax+c. 拋物線焦點(diǎn)：F（,+）它關(guān)于切線的對稱點(diǎn)之橫坐標(biāo)當(dāng)x0，說明從焦點(diǎn)發(fā)出的光線射到（x0，y0）經(jīng)拋物

7、面反射后反射光線平行于對稱軸，反之亦然。顯然，y0=ax+bx0+c y/=2ax+b 故在P點(diǎn)處切線斜率為2ax0+b，切線方程y(ax+bx0+c)=(2ax0+b)(xx0)，亦即y=(2ax0+b)xax+c.由于y=ax2+bx+c按向量=（，）平移即得到y(tǒng)=ax2，只須證明過其上一點(diǎn)（x0，ax）的切線l ：y=2ax0xax滿足：焦點(diǎn)（0，）關(guān)于l的對稱點(diǎn)為（m，n）.當(dāng)x00時，消去n. 知m=x0.當(dāng)x0=0時，切線為y=0，F(xiàn)之對稱點(diǎn)橫坐標(biāo)顯然是0，故從焦點(diǎn)發(fā)出的光線射到（x0，ax）后被拋物面反射后的方程為x=x0（與對稱軸平行）；反之，與對稱軸平行的光線被拋物面反射后必

8、聚匯于焦點(diǎn).要求過曲線上一點(diǎn)處的切線方程，一般先求出該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值（斜率），再用點(diǎn)斜式寫出后化簡，同時我們還可以據(jù)此寫出該點(diǎn)處的法線方程。例3求函數(shù)y=x4+x2 圖象上的點(diǎn)到直線y=x4的距離的最小值及相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo).首先由得x4+2=0 知，兩曲線無交點(diǎn).y/=4x3+1要與已知直線平行，須4x3+1=1，x=0.故切點(diǎn)：（0 , 2）. d=. 一般地，當(dāng)直線l與y=f(x)的圖像無交點(diǎn)時，與l平行的切線與l間距離應(yīng)為圖像上點(diǎn)到l的距離的最值，以最小值為例（如圖）與l平行的直線若與曲線y=f(x)相交，（A為一交點(diǎn)），則l/與l間必存在y=f(x)上的點(diǎn)C，顯然，C點(diǎn)到l的距離小于l與l/間

9、的距離，亦即A到l的距離.當(dāng)然，我的也可用參數(shù)直接考慮：設(shè)(x0，x+x02)為y=f(x)圖象上任意一點(diǎn)，它到l的距離d= =故距離最小值為.上述等號當(dāng)且僅當(dāng)x0=0時取得故相應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)為（0，-2）.解：y/= 4x3+1，令4x3+1=1，x=0. 由此知過曲線上點(diǎn)（0，2）的切線方程y=x+2 與已知直線平行，它到已知直線距離最近，為d=.例4物體在地球上作自由落體運(yùn)動時，下落距離S=gt2其中t為經(jīng)歷的時間，g=9.8m/s2，若V= =g=9.8m/s，則下列說法正確的是（ ）（A）01s時間段內(nèi)的速率為9.8m/s.（B）在11+ts時間段內(nèi)的速率為9.8m/s.（C）在1s末的速

10、率為9.8m/s（D）若t0，則9.8m/s是11+ts時段的速率.若t0，則9.8m/s是1+ts1時段的速率.本例旨在強(qiáng)化對導(dǎo)數(shù)意義的理解，無論是從相限的本質(zhì)，還是從導(dǎo)數(shù)的物理意義考慮，都應(yīng)選（C），但值得指出的是：中的t可正可負(fù).例5定義在（、）上的函數(shù)f(x)滿足f(1)=2，(1)=3. （1）.（1）求的值;（2）求的值本題無具體的函數(shù)解析式，但所求兩極限的形式很象導(dǎo)數(shù)的定義，故項往導(dǎo)數(shù)定義的形式上去湊，這就需要設(shè)法把x1轉(zhuǎn)化為x0的形式.=（f(x)+2）f(1+x)+2= (1)(f(1)+2)=3(2+2) =（x+1）()=(1)(1+1)=6.例6曲線：y=ax3+bx2

11、+cx+d在（0，1）點(diǎn)處的切線為l1：y=x+1 在（3,4）點(diǎn)處的切線為l2：y=2x+10，求曲線C的方程.已知兩點(diǎn)均在曲線C上. y/=3ax2+2bx+c (0)=C (3)=27a+6b+cl1：y=cx+1 l2：y=(27a+6b+c)(x3)+4與已知比較，分別求出d=1，c=1，a=，b=1. C：y=x3+x2+x+1.求曲線過一點(diǎn)處的切線，先求斜率即導(dǎo)函數(shù)在x0處的值，再用點(diǎn)斜式寫出化簡.例7已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+c當(dāng) x=1時取得極大值7，當(dāng)x=3時取得極小值，求此極小值及f(x).與極值有關(guān)，當(dāng)然先研究導(dǎo)函數(shù)，=3x2+2ax+b. 3和1應(yīng)為其兩根

12、 ，第三個待定系數(shù)應(yīng)由f(1)=7求出，得c=2，f(x)=x33x29x+2，從而求出極小值f(3)=25. 解：(x)=3x2+2ax+b (x)=0的兩根為3，1由韋達(dá)定理 .又7=f(1)=1+(3)+(9)(1)+c c=2 .極小值：f(3)=33+(3)32+(9)3+2=25 .f(x)=x33x29x+2 . 例3記u=xy, 則有x22x+4=0. 記u2=f(x)=. 4y2=(x22x)0 x(0,2)=， 當(dāng)x=時， =0，且在(0,)上0, 在（，2）上0，f(x)在x=時取極大值. 相應(yīng)地y=當(dāng)x=時，有最大值 .例8要制造一個容積為50cm3的圓柱形鍋爐，怎樣的

13、尺寸最省料（即表面積最?。刻崾?：若記底面半徑為cm，高為h cm，則r2h=50.表面積 *要求最值，先求導(dǎo)函數(shù)：. 知時，=0. 且時，0. 時, 0. 故當(dāng)時S有極小值+=(cm2) .當(dāng)然，如果不等式學(xué)得好，我們也可把*式改寫為. 等號當(dāng)且僅當(dāng)=. 即r =cm時.解：記底面半徑為rcm，高為hcm，由已知，=50. 表面積S= =，令=0 ， 得r=. 且在為負(fù)，而當(dāng)為r為正.故當(dāng)r =時，S有最小值30（cm2）例9已知x、yR+. x22x+4y2=0. 求xy的最大值. 初看不知怎樣下手. 記u=xy, 則有x22x+4=0. 即u2=f(x)= 它的定義域可用4y2=2xx

14、20求得，為(0，2). 要使正數(shù)u取得最大值，須u2取得最大值. =. 當(dāng)=0時，x=0(舍去)或，且當(dāng)x（0，）時，0. 時，0. 故f(x)在x=時取得極大值. 它也是f(x)的最大值.由上可知，當(dāng)x=時，（此時y=），u=xy取得最大值.本題若直接寫為u=或用三角換元，囿于目前教材的內(nèi)容，我們就無法求導(dǎo)了.例10已知f(x)=x2+1. g(x)=ff(x). (x)=g(x)+f(x). 問是否存在實(shí)數(shù)，使(x)在（，上單調(diào)遞減而在，0上單調(diào)遞增？復(fù)合函數(shù)求單調(diào)區(qū)間在以前是很棘手的問題，現(xiàn)在我們嘗試用導(dǎo)數(shù)法解決這類問題(x)=ff(x)+f(x)=(x2+1)2+1+(x2+1) =

15、x4+(2+)x2+2+ (x)=4x3+2(2+)x. 令(x)0. 當(dāng)2時, 為x0. 與已知不合. 當(dāng)2時, x(, 0)(, +), 此時(x)在(, , 0, 單調(diào)遞減, 而在, 0及, +單調(diào)遞增.由已知, =, 知=3.解：(x)=ff(x)+f(x)=x4+(2+)x2+2+(x)=4x3+2(2+)x令(x)0，此時如2解為x0, 原函數(shù)(x)在，0單調(diào)減0，+單調(diào)增，與已知條件矛盾，故知2，此時(x)0的解集為(，0)(，+) 故(x)在，及0，單調(diào)遞減，而在，0及，+單調(diào)遞增與已知要求比較，知=3.x1x1例11已知函數(shù)f(x)= 判斷f(x)在x=1 處是否可導(dǎo).提示：

16、按照定義，可導(dǎo)存在與均存在且相等.今知=. 而=.故不存在. f(x)在x=1處不可導(dǎo). 在本題中，f(x)= f(x)=f(1)=1. 說明f(x)在x=1處連續(xù). 但不能說明它在x=1處可導(dǎo)，這兩者是必須分清楚的，連續(xù)是可導(dǎo)的必要條件. 解：若f(x)在x=1處可導(dǎo)，則=應(yīng)存在，但由f(x)解析式知，上述極限不存在（=，而=，不相等）f(x)在x=1處不可導(dǎo).鞏固練習(xí)A1選擇題（1）曲線y=x3在P點(diǎn)處的切線斜率為k,若k=3，則P點(diǎn)為（ ）（A）（2，8） （B）（1，1）或（1，1） （C）（2，8） （D）（，）（2）一質(zhì)點(diǎn)在運(yùn)動中經(jīng)過的路程S和經(jīng)歷的時間t有關(guān)系S=53t2，則它在

17、1,+t內(nèi)的平均速度為（ ）（A）3t+6 （B）3t+6 （C）3t6 （D）3t6（3）曲線y=x3x2+5，過其上橫坐標(biāo)為1的點(diǎn)作曲線的切線，則切線的傾斜角為（ ）（A） （B） （C） （D）（4）過曲線y=x2上一點(diǎn)作切線與直線3xy+1=0交成450角，則切點(diǎn)坐標(biāo)為（ ）（A）（1，1） （B） （，）或（1，1）（C）（，）或（1，1） （D）（1，1）或（1，1）2. 求過點(diǎn)P（2，2）且與曲線y=x2相切的直線方程.3. 已知函數(shù)f(x)=x2(x1)，若=x0，求x0的值.4.路燈距地面8m，一身高1.6m的人沿穿過燈下的直路以84m/min的速度行走，則人影長度變化速率是

18、多少？（要求以m/s為單位）5.已知直線y=3x+1是曲線y=x32x+a的一條切線，求a的值.6.已知f(x)=(xa)(xb)，g(x)=cx+d.（ a、b、c、d為常數(shù)），G(x)=f(x)g(x). 求證：G/x=f/xg(x)+f(x)g/(x)7.當(dāng)f(x)，g(x)為其它可導(dǎo)函數(shù)時，上題結(jié)論能否成立？能成立，請用定義證明，不能成立，試舉一反例說明.8.設(shè)曲線S：y=x36x2x+6，S在哪一點(diǎn)處的切線斜率最小？設(shè)此點(diǎn)為P（x0，y0）求證：曲線S關(guān)于P點(diǎn)中心對稱.9.已知函數(shù)f(x)=x2+ax+b，g(x)=x2+cx+d. 若f(2x+1)=4g(x)，且f/x=g/(x)

19、，f(5)=30，求g(4).10.曲線y=x(x+1)(2x)上有一點(diǎn)P，它的坐標(biāo)均為整數(shù)，且過P點(diǎn)的切線斜率為正數(shù)，求此點(diǎn)坐標(biāo)及相應(yīng)的切線方程.11.已知函數(shù)y=x3+ax2+bx+c的圖像過點(diǎn)P（1,2）.過P點(diǎn)的切線與圖象僅P點(diǎn)一個公共點(diǎn)，又知切線斜率的最小值為2，求f(x)的解析式.12已知f(x)是R上的可導(dǎo)函數(shù).（1）f(x)在x=a處的導(dǎo)數(shù)值與f(x)在x=a處的導(dǎo)數(shù)值有什么關(guān)系？（2）若f(x)為偶函數(shù)，的奇偶性如何？ 參考答案1（1）y/=3x2，令3x2=3，知k=1，故選（B）（2）=6+3t. 選（C）（3）y/=x22x. 當(dāng)x=1時，y/=1 選（D）（4）=ta

20、n450 知k=2或， 令y/=2x=k，知x=1或.選（C）2y/=2x，過其上一點(diǎn)（x0，x）的切線方程為 yx=2x0(xx0)，過P（2，2），故2x=2x0（2x0） x0=2. 故切線方程為y=(4)x(6).3f(x)=x3x2，=3x22x， 令3x2x0=x0知x0=0或1.4=5. OM= 4BM 同理ON=4CN兩式相減，知，影長變化BMCN= (OMON) =MN=t84m/minV=21m/min=m/s.5y/=3x22. 令3x22=3 x=.代入切線方程知y0=1， a=y0+2x0x=1.6f(x)=x2(a+b)x+ab =2x(a+b). =c g(x)+

21、f(x) =2x(a+b)(cx+d)+c(x2(a+b)x+ab)=3cx2+2(dacbc)x+abcadbd.又G(x)=x2(a+b)x+ab(d+cx) =cx3+(dacbc)x2+(abcabbd)x+abd. G/(x)=3cx2+2(dacbc)x+abcadbdG/(x)= g(x)+f(x) .7結(jié)論f(x)g(x)/=f/(x)g(x)+f(x)g/(x)仍成立，證明如下：f(x)g(x)/= =g(x+x)+f(x)=g(x)+f(x)8y/=3x212x1當(dāng)x=2時有最小值.故P：（2, 12）.S在（2，12）處的切線斜率最小，為13.又y=(x2+2)36(x2

22、+2)2(x2+2)+6 =(x2)313(x2) 12故曲線C的圖象按向量=(2，+12)平移后方程為y/=x13x/為奇數(shù)，關(guān)于原點(diǎn)對稱，故P（2，12）為曲線S的對稱中心.9由已知(2x+1)2+a(2x+1)+b=4(x2+cx+d) =2x+a =2x+c a=c 又知52+5a+b=30 5a+b=5 由知a=c=2. 依次代入、知b=5，d= g(4)=42+24=2310y=x3+x2+2x y/=3x2+2x+2 令y/0 知x(，) 又xz x=0或1 P點(diǎn)坐標(biāo)為（0，0）或（1，2）.切線斜率k=2或1，切線方程為y=2x或y=x+1.11y/=3x2+2ax+b =3+

23、2a+b過P點(diǎn)切線方程y2=(3+2a+b)(x1) 與y=x3+ax2+bx+c聯(lián)立，并注意到曲線過點(diǎn)P（1，2）知a+b+c=1 x3+ax2(3+2a)x+2+a=0 即(x1)(x2+(a+1)x2a)=0令(a+1)2+4(2+a)=(a+3)20 知a=3.b=2，b=5， c=15+3=1.f(x)=x33x2+5x1.12互為相反數(shù).f(x)在x=a處的導(dǎo)數(shù)值為=.(2) 是奇函數(shù),這是因為= f(x)為偶函數(shù),故可進(jìn)而寫為=.鞏固練習(xí)B1已知在函數(shù)y=x3+ax2a中，=0 且f(xo)=0, 則a的值為_2已知函數(shù)f(x)滿足：f(3)=2, (3)=2, 則極限的值為_3

24、已知函數(shù)f(x)=x33ax2+2bx在x=1處有極小值1，求a、b的值，并求出f(x)的單調(diào)區(qū)間.4過點(diǎn)P（2，2）作曲線S：y=3xx3的切線，可作幾條？5已知曲線C1：y=3x4+a與曲線C2：Y=4x3有交點(diǎn)，且兩曲線在交點(diǎn)處有相同的切線，求a的值.6討論函數(shù)y=的單調(diào)性.7直角三角形鐵皮ABC的斜邊長AB=2, A=30O，現(xiàn)欲從角上剪去三塊（圖中陰影部分），用其余部分做成一個無蓋的直三棱柱形鐵盒，怎樣下料可使鐵盒容積最大？8如圖，一個圓錐形容器底面半徑為rcm，高為hcm. 現(xiàn)以ncm3/s的速率往容器內(nèi)注水，求ts末水面上升的速率.9設(shè)函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d 在x

25、=1及x=1處有極值，且f(1)=2a, 求證f(x)是奇函數(shù).10x1, 求證：2x3. 11某物體一天中溫度T（OC）是時間t(小時)的函數(shù)：T(t)=at3+bt2+ct+d. (a0) 當(dāng)t=0時，表示正午12點(diǎn)的溫度T（O），12點(diǎn)以后的時間為正，12點(diǎn)以前的時間為負(fù)?，F(xiàn)測得該物體在上午8時的溫度為8OC，12時的溫度為60OC，13時的溫度為58OC，且上午8時和下午16時的溫度變比率相同.(1)寫出T（t）的函數(shù)解析式；(2)求1012時（包含10時和12時）的最高溫度12一種塑料包裝罐如右圖所示，下部為一個圓柱形，上部為一個半球形，球的半徑與圓柱底面半徑相同，由于機(jī)器每次注塑量已定（即已確定罐體表面積.怎樣的尺寸能使其容積最大？參考答案1=3x2+2ax 當(dāng)x=0或a時值為0 若xO=0，則a=0, a =0 若xO=a, 則（a）3+a（a）2a=0, a=0或3 a=0或3.2記x=3+x，則=3(3)+2=8.3=3x26ax+2b 由已知 解得此時=3x22x1 令0. 得x1或.f(x)在(，及1，+）單調(diào)增，在，1單調(diào)遞減.4=33x2 過曲線上一點(diǎn)(xO，3xOxO3)的切線方程為y=(33xO2)(xxO)+ 3xOxO3.切線應(yīng)過P（2，2）點(diǎn)，故有2=(33xO2)(2xO)+