1、學(xué)案42空間點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系導(dǎo)學(xué)目標(biāo)： 1.理解空間直線、平面位置關(guān)系的含義.2.了解可以作為推理依據(jù)的公理和定理.3.能運(yùn)用公理、定理和已獲得的結(jié)論證明一些空間圖形的位置關(guān)系的簡單命題自主梳理1平面的基本性質(zhì)公理1：如果一條直線上的_在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)公理2：過_的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面公理3：如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有_過該點(diǎn)的公共直線2直線與直線的位置關(guān)系(1)位置關(guān)系的分類(2)異面直線所成的角定義：設(shè)a，b是兩條異面直線，經(jīng)過空間中任一點(diǎn)O作直線aa，bb，把a(bǔ)與b所成的_叫做異面直線a，b所成的角(或夾角)范圍：_.3直線與平面的位

2、置關(guān)系有_、_、_三種情況4平面與平面的位置關(guān)系有_、_兩種情況5平行公理平行于_的兩條直線互相平行6定理空間中如果兩個(gè)角的兩邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角_自我檢測1(2011泉州月考)若直線a與b是異面直線，直線b與c是異面直線，則直線a與c的位置關(guān)系是()A相交 B相交或異面C平行或異面 D平行、相交或異面2已知a，b是異面直線，直線c直線a，則c與b()A一定是異面直線 B一定是相交直線C不可能是平行直線 D不可能是相交直線3如圖所示，點(diǎn)P，Q，R，S分別在正方體的四條棱上，且是所在棱的中點(diǎn)，則直線PQ與RS是異面直線的一個(gè)圖是()4(2010全國)直三棱柱ABCA1B1C1中，若BAC

3、90，ABACAA1，則異面直線BA1與AC1所成的角等于()A30 B45C60 D905下列命題：空間不同三點(diǎn)確定一個(gè)平面；有三個(gè)公共點(diǎn)的兩個(gè)平面必重合；空間兩兩相交的三條直線確定一個(gè)平面；三角形是平面圖形；平行四邊形、梯形、四邊形都是平面圖形；垂直于同一直線的兩直線平行；一條直線和兩平行線中的一條相交，也必和另一條相交；兩組對邊相等的四邊形是平行四邊形其中正確的命題是_(填序號)探究點(diǎn)一平面的基本性質(zhì)例1如圖所示，空間四邊形ABCD中，E、F、G分別在AB、BC、CD上，且滿足AEEBCFFB21，CGGD31，過E、F、G的平面交AD于H，連接EH.(1)求AHHD；(2)求證：EH、

4、FG、BD三線共點(diǎn)變式遷移1如圖，E、F、G、H分別是空間四邊形AB、BC、CD、DA上的點(diǎn)，且EH與FG相交于點(diǎn)O.求證：B、D、O三點(diǎn)共線探究點(diǎn)二異面直線所成的角例2(2009全國)已知三棱柱ABCA1B1C1的側(cè)棱與底面邊長都相等，A1在底面ABC上的射影為BC的中點(diǎn)，則異面直線AB與CC1所成的角的余弦值為()A. B. C. D.變式遷移2(2011淮南月考)在空間四邊形ABCD中，已知AD1，BC，且ADBC，對角線BD，AC，求AC和BD所成的角轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用例(12分)如圖所示，在四棱錐PABCD中，底面是邊長為2的菱形，DAB60，對角線AC與BD交于點(diǎn)O，PO平面AB

5、CD，PB與平面ABCD所成角為60.(1)求四棱錐的體積；(2)若E是PB的中點(diǎn)，求異面直線DE與PA所成角的余弦值多角度審題對(1)只需求出高PO，易得體積；對(2)可利用定義，過E點(diǎn)作PA的平行線，構(gòu)造三角形再求解【答題模板】解(1)在四棱錐PABCD中，PO平面ABCD，PBO是PB與平面ABCD所成的角，即PBO60，2分在RtAOB中，BOABsin 301，又POOB，POBOtan 60，底面菱形的面積S2222，四棱錐PABCD的體積VPABCD22.6分(2)取AB的中點(diǎn)F，連接EF，DF，E為PB中點(diǎn)，EFPA，DEF為異面直線DE與PA所成角(或其補(bǔ)角)8分在RtAOB

6、中，AOABcos 30，在RtPOA中，PA，EF.在正三角形ABD和正三角形PDB中，DFDE，由余弦定理得cosDEF10分.所以異面直線DE與PA所成角的余弦值為.12分【突破思維障礙】求兩條異面直線所成角的大小，一般方法是通過平行移動直線，把異面問題轉(zhuǎn)化為共面問題來解決根據(jù)空間等角定理及推論可知，異面直線所成角的大小與頂點(diǎn)位置無關(guān)，往往將角的頂點(diǎn)取在其中的一條直線上，特別地，可以取其中一條直線與另一條直線所在平面的交點(diǎn)或異面線段的端點(diǎn)總之，頂點(diǎn)的選擇要與已知量有關(guān)，以便于計(jì)算，具體步驟如下：(1)利用定義構(gòu)造角，可固定一條，平移另一條，或兩條同時(shí)平移到某個(gè)特殊的位置，頂點(diǎn)選在特殊的位

7、置上；(2)證明作出的角即為所求角；(3)利用三角形來求解，異面直線所成角的范圍是(0，90【易錯(cuò)點(diǎn)剖析】1求異面直線所成的角時(shí)，僅指明哪個(gè)角，而不進(jìn)行證明2忘記異面直線所成角的范圍，余弦值回答為負(fù)值1利用平面基本性質(zhì)證明“線共點(diǎn)”或“點(diǎn)共線”問題：(1)證明共點(diǎn)問題，常用的方法是：先證其中兩條直線交于一點(diǎn)，再證交點(diǎn)在第三條直線上，有時(shí)也可將問題轉(zhuǎn)化為證明三點(diǎn)共線(2)要證明“點(diǎn)共線”可將線看作兩個(gè)平面的交線，只要證明這些點(diǎn)都是這兩個(gè)平面的公共點(diǎn)，根據(jù)公理3可知這些點(diǎn)在交線上，因此共線2異面直線的判定方法：(1)定義法：由定義判斷兩直線不可能在同一平面內(nèi)(2)反證法：用此方法可以證明兩直線是異

8、面直線3求異面直線所成的角的步驟：(1)一般是用平移法(可以借助三角形的中位線、平行四邊形等)作出異面直線的夾角；(2)證明作出的角就是所求的角；(3)利用條件求出這個(gè)角；(4)如果求出的角是銳角或直角，則它就是要求的角，如果求出的角是鈍角，則它的補(bǔ)角才是要求的角(滿分：75分)一、選擇題(每小題5分，共25分)1和兩條異面直線都相交的兩條直線的位置關(guān)系是()A異面 B相交C平行 D異面或相交2給出下列命題：若平面上的直線a與平面上的直線b為異面直線，直線c是與的交線，那么c至多與a、b中的一條相交；若直線a與b異面，直線b與c異面，則直線a與c異面；一定存在平面同時(shí)和異面直線a、b都平行其中

9、正確的命題為()A B C D3(2011寧德月考)如圖所示，在正三角形ABC中，D、E、F分別為各邊的中點(diǎn)，G、H、I、J分別為AF、AD、BE、DE的中點(diǎn)，將ABC沿DE、EF、DF折成三棱錐以后，GH與IJ所成角的度數(shù)為()A90 B60 C45 D04(2009全國)已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA12AB，E為AA1的中點(diǎn)，則異面直線BE與CD1所成角的余弦值為()A. B. C. D.5(2011三明模擬)正四棱錐SABCD的側(cè)棱長為，底面邊長為，E為SA的中點(diǎn)，則異面直線BE和SC所成的角為()A30 B45 C60 D90二、填空題(每小題4分，共12分)6一個(gè)正方

10、體紙盒展開后如圖所示，在原正方體紙盒中有如下結(jié)論：ABEF；AB與CM所成的角為60；EF與MN是異面直線；MNCD.則正確結(jié)論的序號是_7(2009四川)如圖所示，已知正三棱柱ABCA1B1C1的各條棱長都相等，M是側(cè)棱CC1的中點(diǎn)，則異面直線AB1和BM所成的角的大小是_8如圖所示，正四面體PABC中，M為棱AB的中點(diǎn)，則PA與CM所成角的余弦值為_三、解答題(共38分)9(12分)(2011溫州月考)如圖所示，正方體ABCDA1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是AB和AA1的中點(diǎn)求證：(1)E，C，D1，F(xiàn)四點(diǎn)共面；(2)CE，D1F，DA三線共點(diǎn)10(12分)在棱長為a的正方體ABCDA1B

11、1C1D1中，P，Q，R分別是棱CC1，A1D1，A1B1的中點(diǎn)，畫出過這三點(diǎn)的截面，并求這個(gè)截面的周長11(14分)(2011舟山模擬)如圖，正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為2，E為AB的中點(diǎn)(1)求證：AC平面BDD1；(2)求異面直線BD1與CE所成角的余弦值(3)求點(diǎn)B到平面A1EC的距離學(xué)案42空間點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系自主梳理1兩點(diǎn)不在一條直線上一條2.(1)平行相交(2)銳角或直角3.平行相交在平面內(nèi)4平行相交5.同一條直線6.相等或互補(bǔ)自我檢測1Da，c都與直線b異面，并不能確定直線a，c的關(guān)系2Ca，b是異面直線，直線c直線a.因而cD b，否則，若cb，則ab與已知

12、矛盾，因而cDb.3CA中PQRS；B中RSPQ；D中RS和PQ相交4C將直三棱柱ABCA1B1C1補(bǔ)成如圖所示的幾何體由已知易知：該幾何體為正方體連接C1D，則C1DBA1.異面直線BA1與AC1所成的角為AC1D(或補(bǔ)角)，在等邊AC1D中，AC1D60.5課堂活動區(qū)例1解題導(dǎo)引證明線共點(diǎn)的問題實(shí)質(zhì)上是證明點(diǎn)在線上的問題，其基本理論是把直線看作兩平面的交線，點(diǎn)看作是兩平面的公共點(diǎn)，由公理3得證(1)解2，EFAC.EF平面ACD.而EF平面EFGH，且平面EFGH平面ACDGH，EFGH.而EFAC，ACGH.3，即AHHD31.(2)證明EFGH，且，EFGH，四邊形EFGH為梯形令EH

13、FGP，則PEH，而EH平面ABD，PFG，F(xiàn)G平面BCD，平面ABD平面BCDBD，PBD.EH、FG、BD三線共點(diǎn)變式遷移1證明EAB，HAD，E平面ABD，H平面ABD.EH平面ABD.EHFGO，O平面ABD.同理可證O平面BCD，O平面ABD平面BCD，即OBD，B、D、O三點(diǎn)共線例2解題導(dǎo)引高考中對異面直線所成角的考查，一般出現(xiàn)在綜合題的某一步，求異面直線所成角的一般步驟為：(1)平移：選擇適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)，平移異面直線中的一條或兩條成為相交直線，這里的點(diǎn)通常選擇特殊位置的點(diǎn)，如線段的中點(diǎn)或端點(diǎn)，也可以是異面直線中某一條直線上的特殊點(diǎn)(2)證明：證明所作的角是異面直線所成的角(3)尋找：在

14、立體圖形中，尋找或作出含有此角的三角形，并解之(4)取舍：因?yàn)楫惷嬷本€所成角的取值范圍是090，所以所作的角為鈍角時(shí)，應(yīng)取它的補(bǔ)角作為異面直線所成的角D如圖，A1D平面ABC，且D為BC的中點(diǎn)，設(shè)三棱柱的各棱長為1，則AD，由A1D平面ABC知A1D，RtA1BD中，易求A1B.CC1AA1，AB與AA1所成的角即為AB與CC1所成的角在A1BA中，由余弦定理可知cosA1AB.AB與CC1所成的角的余弦值為.變式遷移2解如圖所示，分別取AD、CD、AB、BD的中點(diǎn)E、F、G、H，連接EF、FH、HG、GE、GF.由三角形的中位線定理知，EFAC，且EF，GEBD，且GE.GE和EF所成的銳角

15、(或直角)就是AC和BD所成的角同理，GHAD，HFBC.GH，HF，又ADBC，GHF90，GF2GH2HF21.在EFG中，EG2EF21GF2，GEF90，即AC和BD所成的角為90.課后練習(xí)區(qū)1D2C錯(cuò)，c可與a、b都相交；錯(cuò)，因?yàn)閍、c可能相交也可能平行；正確，例如過異面直線a、b的公垂線段的中點(diǎn)且與公垂線垂直的平面即可滿足條件3B將三角形折成三棱錐，如圖所示，HG與IJ為一對異面直線，過D分別作HG與IJ的平行線，因GHDF，IJAD，所以ADF為所求，因此HG與IJ所成角為60.4C如圖所示，連接A1B，則A1BC D1故異面直線BE與CD1所成的角即為BE與A1B所成的角設(shè)AB

16、a，則A1Ea，A1Ba，BEa.A1BE中，由余弦定理得cosA1BE.5C設(shè)AC中點(diǎn)為O，則OESC，連接BO，則BEO(或其補(bǔ)角)即為異面直線BE和SC所成的角，EOSC，BOBD，在SAB中，cos A，BE.在BEO中，cosBEO，BEO60.6解析把正方體的平面展開圖還原成原來的正方體，如圖所示，易知ABEF，ABCM，EF與MN異面，MNCD，故正確790解析延長A1B1至D，使A1B1B1D，則AB1BD，MBD就是直線AB1和BM所成的角設(shè)三棱柱的各條棱長為2，則BM，BD2，C1D2A1D2A1C2A1DA1C1cos 601642412.DM2C1D2C1M213，co

17、sDBM0，DBM90.8.解析如圖，取PB中點(diǎn)N，連接CN、MN.CMN為PA與CM所成的角(或補(bǔ)角)，設(shè)PA2，則CM，MN1，CN.cosCMN.9證明(1)如圖所示，連接CD1，EF，A1B，E、F分別是AB和AA1的中點(diǎn)，EFA1B，且EFA1B，(2分)又A1D1綊BC，四邊形A1BCD1是平行四邊形，A1BCD1，EFCD1，EF與CD1確定一個(gè)平面，E，F(xiàn)，C，D1，即E，C，D1，F(xiàn)四點(diǎn)共面(6分)(2)由(1)知EFCD1，且EFCD1，四邊形CD1FE是梯形，CE與D1F必相交，設(shè)交點(diǎn)為P，(8分)則PCE平面ABCD，且PD1F平面A1ADD1，P平面ABCD且P平面A

18、1ADD1.(10分)又平面ABCD平面A1ADD1AD，PAD，CE，D1F，DA三線共點(diǎn)(12分)10解如圖所示，連接QR并延長，分別與C1B1，C1D1的延長線交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)連接EP交BB1于M點(diǎn)，連接FP交DD1于N點(diǎn)再連接RM，QN，則五邊形PMRQN為過三點(diǎn)P，Q，R的截面(3分)由Q，R分別是邊A1D1，A1B1的中點(diǎn)，知QRA1ERB1，(6分)B1EQA1a，由EB1MEC1P，知EMEPEB1EC113，(9分)PMEPa，同理PNPMa，易求RMQNa，QRa，五邊形PMRQN的周長為a.(12分)11(1)證明由已知有D1D平面ABCD得ACD1D，又由ABCD是正方形，得ACB